二次函數(shù)壓軸題帶詳細答案

第頁二次函數(shù)壓軸題強化訓練（帶具體答案）一．解答題（共30小題）1．（2016?深圳模擬）已知：如圖，在平面直角坐標系中，直線及x軸,y軸的交點分別為A,B，將∠對折，使點O的對應點H落在直線上，折痕交x軸于點C．（1）直接寫出點C的坐標，并求過A,B,C三點的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為D，在直線上是否存在點P，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）設拋物線的對稱軸及直線的交點為T，Q為線段上一點，直接寫出﹣的取值范圍．2．（2015?棗莊）如圖，直線2及拋物線26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段上異于A,B的動點，過點P作⊥x軸于點D，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求△為直角三角形時點P的坐標．3．（2007?玉溪）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（1，0），直線及該二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．（1）求m的值及這個二次函數(shù)的關系式；（2）P為線段上的一個動點（點P及A,B不重合），過P作x軸的垂線及這個二次函數(shù)的圖象交于點E，設線段的長為h，點P的橫坐標為x，求h及x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）D為直線及這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段上是否存在一點P，使得四邊形是平行四邊形？若存在，懇求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2013?涼山州）如圖，拋物線2﹣2（a≠0）交x軸于A,B兩點，A點坐標為（3，0），及y軸交于點C（0，4），以,為邊作矩形交拋物線于點G．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l在邊（不包括O,A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交于點F，交于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數(shù)式表示的長；（3）在（2）的條件下，連結，則在上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P,C,F為頂點的三角形和△相像？若存在，求出此時m的值，并直接推斷△的形態(tài)；若不存在，請說明理由．5．（2009?綦江縣）如圖，已知拋物線（x﹣1）2+3（a≠0）經過點A（﹣2，0），拋物線的頂點為D，過O作射線∥．過頂點平行于x軸的直線交射線于點C，B在x軸正半軸上，連接．（1）求該拋物線的解析式；（2）若動點P從點O動身，以每秒1個長度單位的速度沿射線運動，設點P運動的時間為t（s）．問當t為何值時，四邊形分別為平行四邊形，直角梯形，等腰梯形？（3）若，動點P和動點Q分別從點O和點B同時動身，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿和運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設它們的運動的時間為t（s），連接，當t為何值時，四邊形的面積最??？并求出最小值及此時的長．6．（2013?天水）如圖1，已知拋物線2（a≠0）經過A（3，0）,B（4，4）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）將直線向下平移m個單位長度后，得到的直線及拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠∠，則在（2）的條件下，求出全部滿意△∽△的點P坐標（點P,O,D分別及點N,O,B對應）．7．（2014?河南）如圖，拋物線﹣x2及x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線﹣3及y軸交于點C，及x軸交于點D．點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作⊥x軸于點F，交直線于點E．設點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；（2）若5，求m的值；（3）若點E′是點E關于直線的對稱點，是否存在點P，使點E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2013?德州）如圖，在直角坐標系中有始終角三角形，O為坐標原點，1，∠3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△，拋物線2經過點A,B,C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t，①設拋物線對稱軸l及x軸交于一點E，連接，交于F，求出當△及△相像時，點P的坐標；②是否存在一點P，使△的面積最大？若存在，求出△的面積的最大值；若不存在，請說明理由．9．（2013?河南）如圖，拋物線﹣x2及直線2交于C,D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，）．點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作⊥x軸于點E，交于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O,C,P,F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．（3）若存在點P，使∠45°，請直接寫出相應的點P的坐標．10．（2013?重慶）如圖，已知拋物線2的圖象及x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且及y軸交于點C（0，5）．（1）求直線及拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作∥y軸交直線于點N，求的最大值；（3）在（2）的條件下，取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上隨意一點，以為邊作平行四邊形，設平行四邊形的面積為S1，△的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標．11．（2013?徐州）如圖，二次函數(shù)2﹣的圖象及x軸交于點A（﹣3，0）和點B，以為邊在x軸上方作正方形，點P是x軸上一動點，連接，過點P作的垂線及y軸交于點E．（1）請直接寫出點D的坐標：；（2）當點P在線段（點P不及A,O重合）上運動至何處時，線段的長有最大值，求出這個最大值；（3）是否存在這樣的點P，使△是等腰三角形？若存在，懇求出點P的坐標及此時△及正方形重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．12．（2013?泰安）如圖，拋物線2及y軸交于點C（0，﹣4），及x軸交于點A，B，且B點的坐標為（2，0）．（1）求該拋物線的解析式．（2）若點P是上的一動點，過點P作∥，交于E，連接，求△面積的最大值．（3）若點D為的中點，點M是線段上一點，且△為等腰三角形，求M點的坐標．13．（2014?廣元）如圖甲，四邊形的邊,分別在x軸,y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A,D，交y軸于點E，連接,,．已知∠，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標；（2）求證：是△外接圓的切線；（3）摸索究坐標軸上是否存在一點P，使以D,E,P為頂點的三角形及△相像，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）設△沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△及△重疊部分的面積為s，求s及t之間的函數(shù)關系式，并指出t的取值范圍．14．（2014?成都）如圖，已知拋物線（2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）及x軸從左至右依次交于A，B兩點，及y軸交于點C，經過點B的直線﹣及拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形及△相像，求k的值；（3）在（1）的條件下，設F為線段上一點（不含端點），連接，一動點M從點A動身，沿線段以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？15．（2014?南寧）在平面直角坐標系中，拋物線2+（k﹣1）x﹣k及直線1交于A，B兩點，點A在點B的左側．（1）如圖1，當1時，直接寫出A，B兩點的坐標；（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線下方，試求出△面積的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，拋物線2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）及x軸交于點C,D兩點（點C在點D的左側），在直線1上是否存在唯一一點Q，使得∠90°？若存在，懇求出此時k的值；若不存在，請說明理由．16．（2013?防城港）如圖，拋物線﹣（x﹣1）2及x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側）兩點，及y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（﹣1，0）．（1）求點B，C的坐標；（2）推斷△的形態(tài)并說明理由；（3）將△沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△．△及△重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S及t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．17．（2014?重慶）如圖，拋物線﹣x2﹣23的圖象及x軸交于A,B兩點（點A在點B的左邊），及y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．（1）求A,B,C的坐標；（2）點M為線段上一點（點M不及點A,B重合），過點M作x軸的垂線，及直線交于點E，及拋物線交于點P，過點P作∥交拋物線于點Q，過點Q作⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形的周長最大時，求△的面積；（3）在（2）的條件下，當矩形的周長最大時，連接．過拋物線上一點F作y軸的平行線，及直線交于點G（點G在點F的上方）．若2，求點F的坐標．18．（2014?欽州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線﹣x2及x軸交于A,D兩點，及y軸交于點B，四邊形是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段上的動點，過點E作⊥x軸交拋物線于點P，交于點G，交于點H．（1）求該拋物線的解析式；（2）當點P在直線上方時，請用含m的代數(shù)式表示的長度；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P,B,G為頂點的三角形及△相像？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．19．（2014?昆明）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線2﹣3（a≠0）及x軸交于點A（﹣2，0）,B（4，0）兩點，及y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P從A點動身，在線段上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點動身，在線段上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，當△存在時，求運動多少秒使△的面積最大，最大面積是多少？（3）當△的面積最大時，在下方的拋物線上存在點K，使S△：S△5：2，求K點坐標．20．（2013?恩施州）如圖所示，直線l：33及x軸交于點A，及y軸交于點B．把△沿y軸翻折，點A落到點C，拋物線過點B,C和D（3，0）．（1）求直線和拋物線的解析式．（2）若及拋物線的對稱軸交于點M，點N在坐標軸上，以點N,B,D為頂點的三角形及△相像，求全部滿意條件的點N的坐標．（3）在拋物線上是否存在點P，使S△6？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．21．（2013?畢節(jié)地區(qū)）如圖，拋物線2及x軸交于點A,B，且A點的坐標為（1，0），及y軸交于點C（0，1）．（1）求拋物線的解析式，并求出點B坐標；（2）過點B作∥交拋物線于點D，連接,,，求四邊形的周長；（結果保留根號）（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作垂直于x軸，垂足為點E，使以B,P,E為頂點的三角形及△相像？若存在懇求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．22．（2014?德州）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且4，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點P，使得△是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出全部符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）過動點P作垂直于y軸于點E，交直線于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接，當線段的長度最短時，求出點P的坐標．23．（2014?吉林）如圖①，直線l：（m＜0，n＞0）及x，y軸分別相交于A，B兩點，將△繞點O逆時針旋轉90°得到△，過點A，B，D的拋物線P叫做l的關聯(lián)拋物線，而l叫做P的關聯(lián)直線．（1）若l：﹣22，則P表示的函數(shù)解析式為；若P：﹣x2﹣34，則l表示的函數(shù)解析式為．（2）求P的對稱軸（用含m，n的代數(shù)式表示）；（3）如圖②，若l：﹣24，P的對稱軸及相交于點E，點F在l上，點Q在P的對稱軸上．當以點C，E，Q，F(xiàn)為頂點的四邊形是以為一邊的平行四邊形時，求點Q的坐標；（4）如圖③，若l：﹣4m，G為中點，H為中點，連接，M為中點，連接．若，直接寫出l，P表示的函數(shù)解析式．24．（2013?武漢）如圖，點P是直線l：﹣2x﹣2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線2于A,B兩點．（1）若直線m的解析式為﹣，求A，B兩點的坐標；（2）①若點P的坐標為（﹣2，t）．當時，請直接寫出點A的坐標；②試證明：對于直線l上隨意給定的一點P，在拋物線上能找到點A，使得成立．（3）設直線l交y軸于點C，若△的外心在邊上，且∠∠，求點P的坐標．25．（2013?遂寧）如圖，拋物線2及x軸交于點A（2，0），交y軸于點B（0，）．直線過點A及y軸交于點C，及拋物線的另一個交點是D．（1）求拋物線2及直線的解析式；（2）設點P是直線上方的拋物線上一動點（不及點A,D重合），過點P作y軸的平行線，交直線于點M，作⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形是平行四邊形？若存在懇求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，作⊥于點N，設△的周長為l，點P的橫坐標為x，求l及x的函數(shù)關系式，并求出l的最大值．26．（2013?舟山）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（x﹣m）2﹣m2的頂點為A，及y軸的交點為B，連結，⊥，交y軸于點C，延長到點D，使，連結．作∥x軸，∥y軸．（1）當2時，求點B的坐標；（2）求的長？（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數(shù)關系式？②過點D作的平行線，及第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當m為何值時，以A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？27．（2006?重慶）已知：m,n是方程x2﹣65=0的兩個實數(shù)根，且m＜n，拋物線﹣x2的圖象經過點A（m，0）,B（0，n）．（1）求這個拋物線的解析式；（2）設（1）中拋物線及x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C,D的坐標和△的面積；（3）P是線段上的一點，過點P作⊥x軸，及拋物線交于H點，若直線把△分成面積之比為2：3的兩部分，懇求出P點的坐標．28．（2015?阜新）如圖，拋物線﹣x2交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P在拋物線上，且S△4，求點P的坐標；（3）如圖b，設點Q是線段上的一動點，作⊥x軸，交拋物線于點D，求線段長度的最大值．29．（2014?白銀）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為M的拋物線是由拋物線2﹣3向右平移一個單位后得到的，它及y軸負半軸交于點A，點B在該拋物線上，且橫坐標為3．（1）求點M,A,B坐標；（2）連接,,，求∠的正切值；（3）點P是頂點為M的拋物線上一點，且位于對稱軸的右側，設及x正半軸的夾角為α，當α=∠時，求P點坐標．30．（2014?宿遷）如圖，已知拋物線2（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設過點A，B，C三點的圓及y軸的另一個交點為D．（1）如圖1，已知點A，B，C的坐標分別為（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此拋物線的表達式及點D的坐標；②若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△面積的最大值；（2）如圖2，若1，求證：無論b，c取何值，點D均為定點，求出該定點坐標．二次函數(shù)壓軸題強化答案一．解答題（共30小題）1．（2016?深圳模擬）已知：如圖，在平面直角坐標系中，直線及x軸,y軸的交點分別為A,B，將∠對折，使點O的對應點H落在直線上，折痕交x軸于點C．（1）直接寫出點C的坐標，并求過A,B,C三點的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為D，在直線上是否存在點P，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）設拋物線的對稱軸及直線的交點為T，Q為線段上一點，直接寫出﹣的取值范圍．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題；開放型．【分析】（1）點A的坐標是縱坐標為0，得橫坐標為8，所以點A的坐標為（8，0）；點B的坐標是橫坐標為0，解得縱坐標為6，所以點B的坐標為（0，6）；由題意得：是∠的角平分線，所以，6∵10，∴4，設，則8﹣x由勾股定理得：3∴點C的坐標為（3，0）將此三點代入二次函數(shù)一般式，列的方程組即可求得；（2）求得直線的解析式，依據平行四邊形的性質，對角相等，對邊平行且相等，借助于三角函數(shù)即可求得；（3）如圖，由對稱性可知，﹣﹣．當點Q及點B重合時，Q,H,A三點共線，﹣取得最大值4（即為的長）；設線段的垂直平分線及直線的交點為K，當點Q及點K重合時，﹣取得最小值0．【解答】解：（1）點C的坐標為（3，0）．（1分）∵點A,B的坐標分別為A（8，0），B（0，6），∴可設過A,B,C三點的拋物線的解析式為（x﹣3）（x﹣8）．將0，6代入拋物線的解析式，得．（2分）∴過A,B,C三點的拋物線的解析式為．（3分）（2）可得拋物線的對稱軸為直線，頂點D的坐標為，設拋物線的對稱軸及x軸的交點為G．直線的解析式為﹣26.4分）設點P的坐標為（x，﹣26）．解法一：如圖，作∥交直線于點P，連接，作⊥x軸于點M．即．解得．經檢驗是原方程的解．此時點P的坐標為．（5分）但此時，＜．∴＜，即四邊形的對邊及平行但不相等，∴直線上不存在符合條件的點P（6分）解法二：如圖，取的中點E，作點D關于點E的對稱點P，作⊥x軸于點N．則∠∠，．可得△≌△．由，可得E點的坐標為（4，0）．∴點P的坐標為．（5分）∵時，，∴點P不在直線上．∴直線上不存在符合條件的點P．（6分）（3）﹣的取值范圍是．（8分）當Q在的垂直平分線上及直線的交點時，（如點K處），此時，則﹣0，當Q在的延長線及直線交點時，此時﹣最大，直線的解析式為：﹣6，直線的解析式為：﹣26，聯(lián)立可得：交點為（0，6），∴6，10，∴﹣4，∴﹣的取值范圍是：0≤﹣≤4．【點評】此題考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)以及平行四邊形的綜合知識，解題的關鍵是仔細識圖，留意數(shù)形結合思想的應用．2．（2015?棗莊）如圖，直線2及拋物線26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段上異于A,B的動點，過點P作⊥x軸于點D，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求△為直角三角形時點P的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）已知B（4，m）在直線2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A,B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．（2）要弄清的長，實際是直線及拋物線函數(shù)值的差．可設出P點橫坐標，依據直線和拋物線的解析式表示出P,C的縱坐標，進而得到關于及P點橫坐標的函數(shù)關系式，依據函數(shù)的性質即可求出的最大值．（3）當△為直角三角形時，依據直角頂點的不同，有三種情形，須要分類探討，分別求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直線2上，∴4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）,B（4，6）在拋物線26上，∴，解得，∴拋物線的解析式為2x2﹣86．（2）設動點P的坐標為（n，2），則C點的坐標為（n，2n2﹣86），∴（2）﹣（2n2﹣86），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵＞0，∴當時，線段最大且為．（3）∵△為直角三角形，i）若點P為直角頂點，則∠90°．由題意易知，∥y軸，∠45°，因此這種情形不存在；）若點A為直角頂點，則∠90°．如答圖3﹣1，過點A（，）作⊥x軸于點N，則，．過點A作⊥直線，交x軸于點M，則由題意易知，△為等腰直角三角形，∴，∴3，∴M（3，0）．設直線的解析式為：，則：，解得，∴直線的解析式為：﹣3①又拋物線的解析式為：2x2﹣86②聯(lián)立①②式，解得：3或（及點A重合，舍去）∴C（3，0），即點C,M點重合．當3時，2=5，∴P1（3，5）；）若點C為直角頂點，則∠90°．∵2x2﹣86=2（x﹣2）2﹣2，∴拋物線的對稱軸為直線2．如答圖3﹣2，作點A（，）關于對稱軸2的對稱點C，則點C在拋物線上，且C（，）．當時，2=．∴P2（，）．∵點P1（3，5）,P2（，）均在線段上，∴綜上所述，△為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（，）．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定,二次函數(shù)最值的應用以及直角三角形的判定,函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識．3．（2007?玉溪）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（1，0），直線及該二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．（1）求m的值及這個二次函數(shù)的關系式；（2）P為線段上的一個動點（點P及A,B不重合），過P作x軸的垂線及這個二次函數(shù)的圖象交于點E，設線段的長為h，點P的橫坐標為x，求h及x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）D為直線及這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段上是否存在一點P，使得四邊形是平行四邊形？若存在，懇求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）因為直線過點A，將A點坐標直接代入解析式即可求得m的值；設出二次函數(shù)的頂點式，將（3，4）代入即可；（2）由于P和E的橫坐標相同，將P點橫坐標代入直線和拋物線解析式，可得其縱坐標表達式，h即為二者之差；依據P,E在二者之間，所以可知x的取值范圍是0＜x＜3；（3）先假設存在點P，依據四邊形是平行四形的條件進行推理，若能求出P點坐標，則證明存在點P，否則P點不存在．【解答】解：（1）∵點A（3，4）在直線上，∴4=3．∴1．設所求二次函數(shù)的關系式為（x﹣1）2．∵點A（3，4）在二次函數(shù)（x﹣1）2的圖象上，∴4（3﹣1）2，∴1．∴所求二次函數(shù)的關系式為（x﹣1）2．即2﹣21．（2）設P,E兩點的縱坐標分別為和．=（1）﹣（x2﹣21）=﹣x2+3x．即﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四邊形是平行四邊形，必需有．∵點D在直線1上，∴點D的坐標為（1，2），∴﹣x2+32．即x2﹣32=0．解之，得x1=2，x2=1（不合題意，舍去）∴當P點的坐標為（2，3）時，四邊形是平行四邊形．解法2：要使四邊形是平行四邊形，必需有∥．設直線的函數(shù)關系式為．∵直線經過點C（1，0），∴0=1，∴﹣1．∴直線的函數(shù)關系式為﹣1．得x2﹣32=0．解之，得x1=2，x2=1（不合題意，舍去）∴當P點的坐標為（2，3）時，四邊形是平行四邊形．【點評】此題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象上點的坐標特征，結合圖形有利于解答；（3）是一道存在性問題，有肯定的開放性，須要先假設點P存在，然后進行驗證計算．4．（2013?涼山州）如圖，拋物線2﹣2（a≠0）交x軸于A,B兩點，A點坐標為（3，0），及y軸交于點C（0，4），以,為邊作矩形交拋物線于點G．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l在邊（不包括O,A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交于點F，交于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數(shù)式表示的長；（3）在（2）的條件下，連結，則在上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P,C,F為頂點的三角形和△相像？若存在，求出此時m的值，并直接推斷△的形態(tài)；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）將A（3，0），C（0，4）代入2﹣2，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）先依據A,C的坐標，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進而依據拋物線和直線的解析式分別表示出點P,點M的坐標，即可得到的長；（3）由于∠和∠都是直角，F(xiàn)和E對應，則若以P,C,F為頂點的三角形和△相像時，分兩種狀況進行探討：①△∽△，②△∽△；可分別用含m的代數(shù)式表示出,,,的長，依據相像三角形對應邊的比相等列出比例式，求出m的值，再依據相像三角形的性質，直角三角形,等腰三角形的判定推斷出△的形態(tài)．【解答】解：（1）∵拋物線2﹣2（a≠0）經過點A（3，0），點C（0，4），∴，解得，∴拋物線的解析式為﹣x24；（2）設直線的解析式為，∵A（3，0），點C（0，4），∴，解得，∴直線的解析式為﹣4．∵點M的橫坐標為m，點M在上，∴M點的坐標為（m，﹣4），∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線﹣x24上，∴點P的坐標為（m，﹣m24），∴﹣（﹣m24）﹣（﹣4）=﹣m2+4m，即﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的條件下，連結，在上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P,C,F為頂點的三角形和△相像．理由如下：由題意，可得3﹣m，﹣4，，若以P,C,F為頂點的三角形和△相像，狀況：①P點在F上，﹣m24﹣4=﹣m2．若△∽△，則：：，即（﹣m2）：（3﹣m）：（﹣4），∵m≠0且m≠3，在直角△中，∵∠∠90°，∴∠∠90°，即∠90°，∴△為直角三角形；②P點在F下，4﹣（﹣m24）2﹣m若△∽△，則：：，即（m2﹣m）：（3﹣m）：（﹣4），∵m≠0且m≠3，∴（不合題意舍去）．∵∠90°，∴∠∠＞90°，∴△為鈍角三角形；③若△∽△，則：：，即m：（3﹣m）=（﹣m2）：（﹣4），∵m≠0且m≠3，∴1．∴△為等腰三角形．綜上所述，存在這樣的點P使△及△相像．此時m的值為或1，△為直角三角形或等腰三角形．【點評】此題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù),一次函數(shù)的解析式，矩形的性質，相像三角形的判定和性質，直角三角形,等腰三角形的判定，難度適中．要留意的是當相像三角形的對應邊和對應角不明確時，要分類探討，以免漏解．5．（2009?綦江縣）如圖，已知拋物線（x﹣1）2+3（a≠0）經過點A（﹣2，0），拋物線的頂點為D，過O作射線∥．過頂點平行于x軸的直線交射線于點C，B在x軸正半軸上，連接．（1）求該拋物線的解析式；（2）若動點P從點O動身，以每秒1個長度單位的速度沿射線運動，設點P運動的時間為t（s）．問當t為何值時，四邊形分別為平行四邊形，直角梯形，等腰梯形？（3）若，動點P和動點Q分別從點O和點B同時動身，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿和運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設它們的運動的時間為t（s），連接，當t為何值時，四邊形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈导按藭r的長．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）將A的坐標代入拋物線（x﹣1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到拋物線的解析式；（2）易得D的坐標，過D作⊥于N；進而可得,,的長，依據平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質，用t將其中的關系表示出來，并求解可得答案；（3）依據（2）的結論，易得△是等邊三角形，可得,關于t的關系式，將四邊形的面積用t表示出來，進而分析可得最小值及此時t的值，進而可求得的長．【解答】解：（1）∵拋物線（x﹣1）2+3（a≠0）經過點A（﹣2，0），∴0=93，∴﹣（1分）∴二次函數(shù)的解析式為：﹣x2；（3分）（2）①∵D為拋物線的頂點，∴D（1，3），過D作⊥于N，則3，3，∴6，∴∠60°．（4分）①當時，四邊形是平行四邊形，∴6，∴6（s）．（5分）②當⊥時，四邊形是直角梯形，過O作⊥于H，2，則1（假如沒求出∠60°可由△∽△（求1）∴5，5（s）（6分）③當時，四邊形是等腰梯形，易證：△≌△′，∴﹣26﹣2=4，∴4（s）綜上所述：當6,5,4時，對應四邊形分別是平行四邊形,直角梯形,等腰梯形；（7分）（3）由（2）及已知，∠60°，，△是等邊三角形則6，，2t，∴6﹣2t（0＜t＜3）過P作⊥于E，則（8分）∴×6×3×（6﹣2t）×t=（t﹣）2+（9分）當時，四邊形的面積最小值為．（10分）∴此時3，，；∴3﹣=，，∴．（11分）【點評】本題考查學生將二次函數(shù)的圖象及解析式相結合處理問題,解決問題的實力．6．（2013?天水）如圖1，已知拋物線2（a≠0）經過A（3，0）,B（4，4）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）將直線向下平移m個單位長度后，得到的直線及拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠∠，則在（2）的條件下，求出全部滿意△∽△的點P坐標（點P,O,D分別及點N,O,B對應）．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）依據已知條件可求出的解析式為，則向下平移m個單位長度后的解析式為：﹣m．由于拋物線及直線只有一個公共點，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標；（3）綜合利用幾何變換和相像關系求解．方法一：翻折變換，將△沿x軸翻折；方法二：旋轉變換，將△繞原點順時針旋轉90°．特殊留意求出P點坐標之后，該點關于直線﹣x的對稱點也滿意題意，即滿意題意的P點有兩個，避開漏解．【解答】解：（1）∵拋物線2（a≠0）經過A（3，0）,B（4，4）∴將A及B兩點坐標代入得：，解得：，∴拋物線的解析式是2﹣3x．（2）設直線的解析式為1x，由點B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直線的解析式為，∴直線向下平移m個單位長度后的解析式為：﹣m，∵點D在拋物線2﹣3x上，∴可設D（x，x2﹣3x），又∵點D在直線﹣m上，∴x2﹣3﹣m，即x2﹣40，∵拋物線及直線只有一個公共點，∴△=16﹣40，解得：4，此時x12=2，2﹣3﹣2，∴D點的坐標為（2，﹣2）．（3）∵直線的解析式為，且A（3，0），∴點A關于直線的對稱點A′的坐標是（0，3），依據軸對稱性質和三線合一性質得出∠A′∠，設直線A′B的解析式為23，過點（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，∴直線A′B的解析式是，∵∠∠，∠A′∠，∴′和重合，即點N在直線A′B上，∴設點N（n，），又點N在拋物線2﹣3x上，∴2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合題意，舍去）∴N點的坐標為（﹣，）．方法一：如圖1，將△沿x軸翻折，得到△N11，則N1（，），B1（4，﹣4），∴O,D,B1都在直線﹣x上．∵△P1∽△，△≌△N11，∴△P1∽△N11，∴點P1的坐標為（，）．將△1D沿直線﹣x翻折，可得另一個滿意條件的點P2（，），綜上所述，點P的坐標是（，）或（，）．方法二：如圖2，將△繞原點順時針旋轉90°，得到△N22，則N2（，），B2（4，﹣4），∴O,D,B1都在直線﹣x上．∵△P1∽△，△≌△N22，∴△P1∽△N22，∴點P1的坐標為（，）．將△1D沿直線﹣x翻折，可得另一個滿意條件的點P2（，），綜上所述，點P的坐標是（，）或（，）．方法三：∵直線：是一三象限平分線，∴A（3，0）關于直線的對稱點為A′（0，3），∴得：x1=4（舍），x2=﹣，∴N（﹣，），∵D（2，﹣2），∴：﹣x，∴N（﹣，）旋轉90°后N1（，）或N關于x軸對稱點N2（﹣，﹣），∵4，2，∵P為1或2中點，∴P1（，），P2（，）．【點評】本題是基于二次函數(shù)的代數(shù)幾何綜合題，綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式,一次函數(shù)（直線）的平移,一元二次方程根的判別式,翻折變換,旋轉變換以及相像三角形等重要知識點．本題將初中階段重點代數(shù),幾何知識熔于一爐，難度很大，對學生實力要求極高，具有良好的區(qū)分度，是一道特別好的中考壓軸題．7．（2014?河南）如圖，拋物線﹣x2及x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線﹣3及y軸交于點C，及x軸交于點D．點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作⊥x軸于點F，交直線于點E．設點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；（2）若5，求m的值；（3）若點E′是點E關于直線的對稱點，是否存在點P，使點E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）用含m的代數(shù)式分別表示出,，然后列方程求解；（3）解題關鍵是識別出當四邊形′是菱形，然后依據的條件，列出方程求解；當四邊形′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到點P坐標．【解答】方法一：解：（1）將點A,B坐標代入拋物線解析式，得：，解得，∴拋物線的解析式為：﹣x2+45．（2）∵點P的橫坐標為m，∴P（m，﹣m2+45），E（m，﹣3），F(xiàn)（m，0）．∴﹣（﹣m2+45）﹣（﹣3）﹣m22|，﹣（﹣3）﹣0﹣3|．由題意，5，即：|﹣m225|﹣315|①若﹣m2215，整理得：2m2﹣1726=0，解得：2或；②若﹣m22=﹣（15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：或．由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故,這兩個解均舍去．∴2或．（3）假設存在．作出示意圖如下：∵點E,E′關于直線對稱，∴∠1=∠2，′，′．∵平行于y軸，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴，∴′′，即四邊形′是菱形．當四邊形′是菱形存在時，由直線解析式﹣3，可得4，3，由勾股定理得5．過點E作∥x軸，交y軸于點M，易得△∽△，∴，即，解得，∴，又由（2）可知：﹣m22|∴|﹣m22．①若﹣m22，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得4或﹣；②若﹣m22=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故3+這個解舍去．當四邊形′是菱形這一條件不存在時，此時P點橫坐標為0，E，C，E'三點重合及y軸上，菱形不存在．綜上所述，存在滿意條件的點P，可求得點P坐標為（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）方法二：（1）略．（2）略．（3）若E關于直線的對稱點E′在y軸上，則直線及直線關于軸對稱．∴點D關于直線的對稱點D′也在y軸上，∴′⊥，∵﹣3，∴D（4，0），5，∵3，∴′=8或′=2，①當′=8時，D′（0，8），設P（t，﹣t2+45），D（4，0），C（0，3），∵⊥′，∴×′=﹣1，∴2t2﹣7t﹣4=0，∴t1=4，t2=，②當′=2時，D′（0，﹣2），設P（t，﹣t2+45），∵⊥′，∴×′=﹣1，∴=﹣1，∴t1=3+，t2=3﹣，∵點P是x軸上方的拋物線上一動點，∴﹣1＜t＜5，∴點P的坐標為（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．【點評】本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象及性質,點的坐標,待定系數(shù)法,菱形,相像三角形等多個知識點，重點考查了分類探討思想及方程思想的敏捷運用．須要留意的是，為了避開漏解，表示線段長度的代數(shù)式均含有肯定值，解方程時須要分類探討,分別計算．8．（2013?德州）如圖，在直角坐標系中有始終角三角形，O為坐標原點，1，∠3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△，拋物線2經過點A,B,C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t，①設拋物線對稱軸l及x軸交于一點E，連接，交于F，求出當△及△相像時，點P的坐標；②是否存在一點P，使△的面積最大？若存在，求出△的面積的最大值；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）先求出A,B,C的坐標，再運用待定系數(shù)法就可以直接求出二次函數(shù)的解析式；（2）①由（1）的解析式可以求出拋物線的對稱軸，分類探討當∠90°時，當∠90°時，依據相像三角形的性質就可以求出P點的坐標；②先運用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設及的交點為N，依據的解析式表示出點N的坐標，再依據S△△△就可以表示出三角形的面積，運用頂點式就可以求出結論．【解答】解：（1）在△中，1，∠3，∴33．∵△是由△繞點O逆時針旋轉90°而得到的，∴3，1，∴A,B,C的坐標分別為（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式為解得：．∴拋物線的解析式為﹣x2﹣23；（2）①∵拋物線的解析式為﹣x2﹣23，∴對稱軸﹣=﹣1，∴E點的坐標為（﹣1，0）．如圖，當∠90°時，△∽△．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P（﹣1，4）；當∠90°時，△∽△，過點P作⊥x軸于點M，則△∽△．∴3．∵P的橫坐標為t，∴P（t，﹣t2﹣23）．∵P在第二象限，∴﹣t2﹣23，﹣1﹣t，∴﹣t2﹣23=﹣（t﹣1）（3），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因為P及C重合，所以舍去），∴﹣2時，﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P（﹣2，3）．∴當△及△相像時，P點的坐標為：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②設直線的解析式為，由題意，得解得：，∴直線的解析式為：1．設及的交點為N，則點N的坐標為（t，1），∴1．∴﹣﹣t2﹣23﹣（1）=﹣t2﹣+2．∵S△△△，∴S△??=×3（﹣t2﹣+2）=﹣（）2+，∴當﹣時，S△的最大值為．【點評】本題考查了相像三角形的判定及性質的運用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，三角形的面積公式的運用，二次函數(shù)的頂點式的運用，解答本題時，先求出二次函數(shù)的解析式是關鍵，用函數(shù)關系式表示出△的面積由頂點式求最大值是難點．9．（2013?河南）如圖，拋物線﹣x2及直線2交于C,D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，）．點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作⊥x軸于點E，交于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O,C,P,F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．（3）若存在點P，使∠45°，請直接寫出相應的點P的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）首先求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）本問采納數(shù)形結合的數(shù)學思想求解．將直線2沿y軸向上或向下平移2個單位之后得到的直線，及拋物線y軸右側的交點，即為所求之交點．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；（3）本問符合條件的點P有2個，如答圖2所示，留意不要漏解．在求點P坐標的時候，須要充分挖掘已知條件，構造直角三角形或相像三角形，解方程求出點P的坐標．【解答】解：（1）在直線解析式2中，令0，得2，∴C（0，2）．∵點C（0，2）,D（3，）在拋物線﹣x2上，解得，2，∴拋物線的解析式為：﹣x22．（2）∵∥，且以O,C,P,F為頂點的四邊形是平行四邊形，∴2，∴將直線2沿y軸向上,下平移2個單位之后得到的直線，及拋物線y軸右側的交點，即為所求之交點．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個．將直線2沿y軸向上平移2個單位，得到直線4，聯(lián)立，解得x1=1，x2=2，∴m1=1，m2=2；將直線2沿y軸向下平移2個單位，得到直線，聯(lián)立，解得x3=，x4=（在y軸左側，不合題意，舍去），∴m3=．∴當m為值為1，2或時，以O,C,P,F為頂點的四邊形是平行四邊形．（3）存在．理由：設點P的橫坐標為m，則P（m，﹣m22），F(xiàn)（m，2）．如答圖2所示，過點C作⊥于點M，則，2，∴∠2．在△中，由勾股定理得：．過點P作⊥于點N，則?∠?∠2．∵∠45°，而2，∴，2，在△中，由勾股定理得：．∵﹣（﹣m22）﹣（2）=﹣m2+3m，∴﹣m2+3，整理得：m2﹣0，解得0（舍去）或，∴P（，）；同理求得，另一點為P（，）．∴符合條件的點P的坐標為（，）或（，）．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象及性質,一次函數(shù)的圖象及性質,解方程（方程組）,平行四邊形,相像三角形（或三角函數(shù)）,勾股定理等重要知識點．第（2）問采納數(shù)形結合思想求解，直觀形象且易于理解；第（3）問中，符合條件的點P有兩個，留意不要漏解．10．（2013?重慶）如圖，已知拋物線2的圖象及x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且及y軸交于點C（0，5）．（1）求直線及拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作∥y軸交直線于點N，求的最大值；（3）在（2）的條件下，取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上隨意一點，以為邊作平行四邊形，設平行四邊形的面積為S1，△的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）設直線的解析式為，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入，運用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入2，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）的長是直線的函數(shù)值及拋物線的函數(shù)值的差，據此可得出一個關于的長和M點橫坐標的函數(shù)關系式，依據函數(shù)的性質即可求出的最大值；（3）先求出△的面積S2=5，則S1=6S2=30．再設平行四邊形的邊上的高為，依據平行四邊形的面積公式得出3，過點D作直線的平行線，交拋物線及點P，交x軸于點E，在直線上截取，則四邊形為平行四邊形．證明△為等腰直角三角形，則6，求出E的坐標為（﹣1，0），運用待定系數(shù)法求出直線的解析式為﹣x﹣1，然后解方程組，即可求出點P的坐標．【解答】解：（1）設直線的解析式為，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入，得，解得，所以直線的解析式為﹣5；將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入2，得，解得，所以拋物線的解析式為2﹣65；（2）設M（x，x2﹣65）（1＜x＜5），則N（x，﹣5），∵（﹣5）﹣（x2﹣65）=﹣x2+5﹣（x﹣）2+，∴當時，有最大值；（3）方法一：∵取得最大值時，2.5，∴﹣5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣65=0，得1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴5﹣1=4，∴△的面積S2=×4×2.5=5，∴平行四邊形的面積S1=6S2=30．設平行四邊形的邊上的高為，則⊥．∵5，∴?30，∴3．過點D作直線的平行線，交拋物線及點P，交x軸于點E，在直線上截取，則四邊形為平行四邊形．∵⊥，∠45°，∴∠45°，∴△為等腰直角三角形，6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），設直線的解析式為﹣，將E（﹣1，0）代入，得10，解得﹣1∴直線的解析式為﹣x﹣1．解方程組，得，，∴點P的坐標為P1（2，﹣3）（及點D重合）或P2（3，﹣4）．方法二：∵取得最大值時，2.5，∴﹣5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣65=0，得1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴5﹣1=4，∴△的面積S2=×4×2.5=5，∴平行四邊形的面積S1=6S2=30．∵S△1，∴該問題等價于在拋物線上找到一點P，使得S△15，過點P作x軸垂線交直線于點H，設P（t，t2﹣65），∴H（t，﹣5），∴S△15，∴×（5﹣0）×[（﹣5）﹣（t2﹣65）]=15，∴t2﹣56=0，∴點P的坐標為P1（2，﹣3）或P2（3，﹣4）．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù),二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質等知識點，綜合性較強，考查學生運用方程組,數(shù)形結合的思想方法．（2）中弄清線段長度的函數(shù)意義是關鍵，（3）中確定P及Q的位置是關鍵．11．（2013?徐州）如圖，二次函數(shù)2﹣的圖象及x軸交于點A（﹣3，0）和點B，以為邊在x軸上方作正方形，點P是x軸上一動點，連接，過點P作的垂線及y軸交于點E．（1）請直接寫出點D的坐標：（﹣3，4）；（2）當點P在線段（點P不及A,O重合）上運動至何處時，線段的長有最大值，求出這個最大值；（3）是否存在這樣的點P，使△是等腰三角形？若存在，懇求出點P的坐標及此時△及正方形重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）將點A的坐標代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得點B的坐標即可求得正方形的邊長，從而求得點D的縱坐標；（2），，利用△∽△得到比例式，從而得到有關兩個變量的二次函數(shù)，求最值即可；（3）分點P位于y軸左側和右側兩種狀況探討即可得到重疊部分的面積．【解答】解：（1）（﹣3，4）；（2）設，由∠∠∠90°得△∽△∴﹣﹣（t﹣）2+∴當時，l有最大值即P為中點時，的最大值為；（3）存在．①點P點在y軸左側時，交于點G，P點的坐標為（﹣4，0），∴﹣4﹣3=1，由△≌△得1∴：：4：1∴重疊部分的面積②當P點在y軸右側時，P點的坐標為（4，0），此時重疊部分的面積為【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，及二次函數(shù)的最值結合起來，題目的難度較大．12．（2013?泰安）如圖，拋物線2及y軸交于點C（0，﹣4），及x軸交于點A，B，且B點的坐標為（2，0）．（1）求該拋物線的解析式．（2）若點P是上的一動點，過點P作∥，交于E，連接，求△面積的最大值．（3）若點D為的中點，點M是線段上一點，且△為等腰三角形，求M點的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出△面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質求出其最大值；（3）△為等腰三角形，可能有三種情形，須要分類探討．【解答】解：（1）把點C（0，﹣4），B（2，0）分別代入2中，得，解得∴該拋物線的解析式為2﹣4．（2）令0，即x2﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△?12．設P點坐標為（x，0），則2﹣x．∴，即，化簡得：S△（2﹣x）2．S△△﹣S△?﹣S△×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）22﹣=﹣（1）2+3∴當﹣1時，S△的最大值為3．（3）△為等腰三角形，可能有三種情形：（I）當時，如答圖①所示．2，∴∠∠45°，∴∠90°，∴M點的坐標為（﹣2，﹣2）；（）當時，如答圖②所示．過點M作⊥于點N，則點N為的中點，∴1，3，又△為等腰直角三角形，∴3，∴M點的坐標為（﹣1，﹣3）；（）當時，∵△為等腰直角三角形，∴點O到的距離為×4=，即上的點及點O之間的最小距離為．∵＞2，∴的狀況不存在．綜上所述，點M的坐標為（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象及性質,待定系數(shù)法,相像三角形,等腰三角形等知識點，以及分類探討的數(shù)學思想．第（2）問將面積的最值轉化為二次函數(shù)的極值問題，留意其中求面積表達式的方法；第（3）問重在考查分類探討的數(shù)學思想，留意三種可能的情形須要一一分析，不能遺漏．13．（2014?廣元）如圖甲，四邊形的邊,分別在x軸,y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A,D，交y軸于點E，連接,,．已知∠，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標；（2）求證：是△外接圓的切線；（3）摸索究坐標軸上是否存在一點P，使以D,E,P為頂點的三角形及△相像，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）設△沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△及△重疊部分的面積為s，求s及t之間的函數(shù)關系式，并指出t的取值范圍．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；分類探討．【分析】（1）已知A,D,E三點的坐標，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式，進而能得到頂點B的坐標．（2）過B作⊥y軸于M，由A,B,E三點坐標，可推斷出△,△都為等腰直角三角形，易證得∠90°，即△是直角三角形，而是△外接圓的直徑，因此只需證明及垂直即可．,長易得，能求出∠的值，結合∠的值，可得到∠∠，由此證得∠∠∠∠∠90°，此題得證．（3）△中，∠90°，∠，即3，若以D,E,P為頂點的三角形及△相像，那么該三角形必需滿意兩個條件：①有一個角是直角,②兩直角邊滿意1：3的比例關系；然后分狀況進行求解即可．（4）過E作∥x軸交于F，當E點運動在之間時，△及△重疊部分是個四邊形；當E點運動到F點右側時，△及△重疊部分是個三角形．按上述兩種狀況按圖形之間的和差關系進行求解．【解答】（1）解：由題意，設拋物線解析式為（x﹣3）（1）．將E（0，3）代入上式，解得：﹣1．∴﹣x2+23．則點B（1，4）．（2）證明：如圖1，過點B作⊥y于點M，則M（0，4）．在△中，3，∴∠1=∠2=45°，3．在△中，﹣1，∴∠∠45°，．∴∠180°﹣∠1﹣∠90°．∴是△外接圓的直徑．在△中，∠∠，在△中，∠∠3=90°，∴∠∠3=90°．∴∠90°，即⊥．∴是△外接圓的切線．（3）解：△中，∠90°，∠，∠，∠；若以D,E,P為頂點的三角形及△相像，則△必為直角三角形；①為斜邊時，P1在x軸上，此時P1及O重合；由D（﹣1，0）,E（0，3），得1,3，即∠∠，即∠∠滿意△∽△的條件，因此O點是符合條件的P1點，坐標為（0，0）．②為短直角邊時，P2在x軸上；若以D,E,P為頂點的三角形及△相像，則∠2=∠90°，∠2∠；而，則2÷∠2÷=10，22﹣9即：P2（9，0）；③為長直角邊時，點P3在y軸上；若以D,E,P為頂點的三角形及△相像，則∠3=∠90°，∠3∠；則3÷∠3=÷=，33﹣；綜上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．（4）解：設直線的解析式為．將A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．∴﹣26．過點E作射線∥x軸交于點F，當3時，得，∴F（，3）．狀況一：如圖2，當0＜t≤時，設△平移到△的位置，交于點H，交于點S．則，過點H作⊥x軸于點K，交于點L．由△∽△，得，即．解得2t．∴S陰△﹣S△﹣S△×3×3﹣（3﹣t）2﹣t?2﹣t2+3t．狀況二：如圖3，當＜t≤3時，設△平移到△的位置，交于點I，交于點V．由△∽△，得．即，解得2（3﹣t）．∵3﹣t，∴S陰?（3﹣t）22﹣3．綜上所述：．【點評】該題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定,切線的判定,相像三角形的判定,圖形面積的解法等重點知識，綜合性強，難度系數(shù)較大．此題的難點在于后兩個小題，它們都須要分狀況進行探討，簡單出現(xiàn)漏解的狀況．在解答動點類的函數(shù)問題時，肯定不要遺漏對應的自變量取值范圍．14．（2014?成都）如圖，已知拋物線（2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）及x軸從左至右依次交于A，B兩點，及y軸交于點C，經過點B的直線﹣及拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形及△相像，求k的值；（3）在（1）的條件下，設F為線段上一點（不含端點），連接，一動點M從點A動身，沿線段以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）首先求出點A,B坐標，然后求出直線的解析式，求得點D坐標，代入拋物線解析式，求得k的值；（2）因為點P在第一象限內的拋物線上，所以∠為鈍角．因此若兩個三角形相像，只可能是△∽△或△∽△．如答圖2，依據以上兩種狀況進行分類探討，分別計算；（3）由題意，動點M運動的路徑為折線，運動時間：．如答圖3，作協(xié)助線，將轉化為；再由垂線段最短，得到垂線段及直線的交點，即為所求的F點．【解答】解：（1）拋物線（2）（x﹣4），令0，解得﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線﹣經過點B（4，0），∴﹣×40，解得，∴直線解析式為：﹣．當﹣5時，3，∴D（﹣5，3）．∵點D（﹣5，3）在拋物線（2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴拋物線的函數(shù)表達式為：（2）（x﹣4）．（2）由拋物線解析式，令0，得﹣k，∴C（0，﹣k），．因為點P在第一象限內的拋物線上，所以∠為鈍角．因此若兩個三角形相像，只可能是△∽△或△∽△．①若△∽△，則有∠∠，如答圖2﹣1所示．設P（x，y），過點P作⊥x軸于點N，則，．∠∠，即：，∴P（x，），代入拋物線解析式（2）（x﹣4），得（2）（x﹣4），整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：8或﹣2（及點A重合，舍去），∴P（8，5k）．∴，即，解得：．②若△∽△，則有∠∠，如答圖2﹣2所示．及①同理，可求得：．綜上所述，或．（3）如答圖3，由（1）知：D（﹣5，3），如答圖2﹣2，過點D作⊥x軸于點N，則3，5，4+5=9，∴∠30°．過點D作∥x軸，則∠∠30°．過點F作⊥于點G，則．由題意，動點M運動的路徑為折線，運動時間：，∴，即運動的時間值等于折線的長度值．由垂線段最短可知，折線的長度的最小值為及x軸之間的垂線段．過點A作⊥于點H，則t最小，及直線的交點，即為所求之F點．∵A點橫坐標為﹣2，直線解析式為：﹣，∴﹣×（﹣2）2，∴F（﹣2，2）．綜上所述，當點F坐標為（﹣2，2）時，點M在整個運動過程中用時最少．【點評】本題是二次函數(shù)壓軸題，難度很大．第（2）問中須要分類探討，避開漏解；在計算過程中，解析式中含有未知數(shù)k，增加了計算的難度，留意解題過程中的技巧；第（3）問中，運用了轉化思想使得試題難度大大降低，須要仔細體會．15．（2014?南寧）在平面直角坐標系中，拋物線2+（k﹣1）x﹣k及直線1交于A，B兩點，點A在點B的左側．（1）如圖1，當1時，直接寫出A，B兩點的坐標；（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線下方，試求出△面積的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，拋物線2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）及x軸交于點C,D兩點（點C在點D的左側），在直線1上是否存在唯一一點Q，使得∠90°？若存在，懇求出此時k的值；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．【分析】方法一：（1）當1時，聯(lián)立拋物線及直線的解析式，解方程求得點A,B的坐標；（2）如答圖2，作協(xié)助線，求出△面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質求出最大值及點P的坐標；（3）“存在唯一一點Q，使得∠90°”的含義是，以為直徑的圓及直線相切于點Q，由圓周角定理可知，此時∠90°且點Q為唯一．以此為基礎，構造相像三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．須要另外留意一點是考慮直線是否及拋物線交于C點，此時亦存在唯一一點Q，使得∠90°．方法二：（1）聯(lián)立直線及拋物線方程求出點A，B坐標．（2）利用面積公式求出P點坐標．（3）列出定點O坐標，用參數(shù)表示C，Q點坐標，利用黃金法則二求出k的值．【解答】方法一：解：（1）當1時，拋物線解析式為2﹣1，直線解析式為1．聯(lián)立兩個解析式，得：x2﹣11，解得：﹣1或2，當﹣1時，1=0；當2時，1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）設P（x，x2﹣1）．如答圖2所示，過點P作∥y軸，交直線于點F，則F（x，1）．∴﹣（1）﹣（x2﹣1）=﹣x22．S△△△（﹣）（﹣）（﹣）∴S△（﹣x22）=﹣（x﹣）2+當時，2﹣1=﹣．∴△面積最大值為，此時點P坐標為（，﹣）．（3）設直線：1及x軸,y軸分別交于點E,F，則E（﹣，0），F(xiàn)（0，1），，1．在△中，由勾股定理得：．令2+（k﹣1）x﹣0，即（）（x﹣1）=0，解得：﹣k或1．∴C（﹣k，0），．Ⅰ,假設存在唯一一點Q，使得∠90°，如答圖3所示，則以為直徑的圓及直線相切于點Q，依據圓周角定理，此時∠90°．設點N為中點，連接，則⊥，．∵∠∠，∠∠90°，∴，即：，解得：±，∵k＞0，∴存在唯一一點Q，使得∠90°，此時．Ⅱ,若直線過點C時，此時直線及圓的交點只有另一點Q點，故亦存在唯一一點Q，使得∠90°，將C（﹣k，0）代入1中，可得1，﹣1（舍去），故存在唯一一點Q，使得∠90°，此時1．綜上所述，或1時，存在唯一一點Q，使得∠90°．方法二：（1）略．（2）過點P作x軸垂線，叫直線于F，設P（t，t2﹣1），則F（t，1）∴S△（﹣）（﹣），∴S△（1﹣t2+1）（2+1），∴S△﹣t23，當時，S△有最大值，∴S△．（3）∵2+（k﹣1）x﹣k，∴（）（x﹣1），當0時，x1=﹣k，x2=1，∴C（﹣k，0），D（1，0），點Q在1上，設Q（t，1），O（0，0），∵∠90°，∴⊥，∴×﹣1，∴（k2+1）t2+31=0有唯一解，∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0，∴k1=，k2=﹣（k＞0故舍去），∴．【點評】本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象及性質,解方程,勾股定理,直線及圓的位置關系,相像等重要知識點，有肯定的難度．第（2）問中，留意圖形面積的計算方法；第（3）問中，解題關鍵是理解“存在唯一一點Q，使得∠90°”的含義．16．（2013?防城港）如圖，拋物線﹣（x﹣1）2及x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側）兩點，及y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（﹣1，0）．（1）求點B，C的坐標；（2）推斷△的形態(tài)并說明理由；（3）將△沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△．△及△重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S及t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】壓軸題．【分析】（1）首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后進一步確定點B，C的坐標；（2）分別求出△三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判定△為直角三角形；（3）△沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：（I）當0＜t≤時，如答圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形；（）當＜t＜3時，如答圖3所示，此時重疊部分為一個三角形．【解答】解：（1）∵點A（﹣1，0）在拋物線﹣（x﹣1）2上，∴0=﹣（﹣1﹣1）2，得4，∴拋物線解析式為：﹣（x﹣1）2+4，令0，得3，∴C（0，3）；令0，得﹣1或3，∴B（3，0）．（2）△為直角三角形．理由如下：由拋物線解析式，得頂點D的坐標為（1，4）．如答圖1所示，過點D作⊥x軸于點M，則1，4，﹣2．過點C作⊥于點N，則1，﹣﹣1．在△中，由勾股定理得：；在△中，由勾股定理得：；在△中，由勾股定理得：．∵222，∴△為直角三角形（勾股定理的逆定理）．（3）設直線的解析式為，∵B（3，0），C（0，3），解得﹣1，3，∴﹣3，直線是直線向右平移t個單位得到，∴直線的解析式為：﹣（x﹣t）+3=﹣3；設直線的解析式為，∵B（3，0），D（1，4），解得：﹣2，6，∴﹣26．連接并延長，射線交于點G，則G（，3）．在△向右平移的過程中：（I）當0＜t≤時，如答圖2所示：設及交于點K，可得，3﹣t．設及的交點為F，則：，解得，∴F（3﹣t，2t）．△﹣S△﹣S△?﹣?﹣?×3×3﹣（3﹣t）2﹣t?22+3t；（）當＜t＜3時，如答圖3所示：設分別及,交于點K,點J．∴，3﹣t．直線解析式為﹣26，令，得6﹣2t，∴J（t，6﹣2t）．△﹣S△?﹣?（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）22﹣3．綜上所述，S及t的函數(shù)關系式為：【點評】本題是運動型二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象及性質,待定系數(shù)法,一次函數(shù)的圖象及性質,勾股定理及其逆定理,圖形面積計算等知識點．難點在于第（3）問，弄清圖形運動過程是解題的先決條件，在計算圖形面積時，要充分利用各種圖形面積的和差關系．17．（2014?重慶）如圖，拋物線﹣x2﹣23的圖象及x軸交于A,B兩點（點A在點B的左邊），及y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．（1）求A,B,C的坐標；（2）點M為線段上一點（點M不及點A,B重合），過點M作x軸的垂線，及直線交于點E，及拋物線交于點P，過點P作∥交拋物線于點Q，過點Q作⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形的周長最大時，求△的面積；（3）在（2）的條件下，當矩形的周長最大時，連接．過拋物線上一點F作y軸的平行線，及直線交于點G（點G在點F的上方）．若2，求點F的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．【分析】方法一：（1）通過解析式即可得出C點坐標，令0，解方程得出方程的解，即可求得A,B的坐標．（2）設M點橫坐標為m，則﹣m2﹣23，（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形的周長﹣2m2﹣82，將﹣2m2﹣82配方，依據二次函數(shù)的性質，即可得出m的值，然后求得直線的解析式，把代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．（3）設F（n，﹣n2﹣23），依據已知若2，即可求得．方法二：（1）略．（2）求出P，Q的參數(shù)坐標，并得出周長的函數(shù)表達式，求出P點，進而求出E點坐標，并求出△的面積．（3）求出D點坐標，并求出長度；再求出F，G的參數(shù)坐標，并得到的函數(shù)表達式，利用，求點F的坐標．（4）利用點P，B求出直線的斜率及中點坐標，進而的直線方程，再及拋物線聯(lián)立，進而求出G，H坐標．【解答】方法一：解：（1）由拋物線﹣x2﹣23可知，C（0，3），令0，則0=﹣x2﹣23，解得﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（2）由拋物線﹣x2﹣23可知，對稱軸為﹣1，設M點的橫坐標為m，則﹣m2﹣23，（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形的周長=2（）=（﹣m2﹣23﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣82=﹣2（2）2+10，∴當﹣2時矩形的周長最大．∵A（﹣3，0），C（0，3），設直線解析式為，解得1，3，∴解析式3，當﹣2時，則E（﹣2，1），∴1，1，（3）∵M點的橫坐標為﹣2，拋物線的對稱軸為﹣1，∴N應及原點重合，Q點及C點重合，把﹣1代入﹣x2﹣23，解得4，∴D（﹣1，4）∵2，∴4，設F（n，﹣n2﹣23），則G（n，3），∵點G在點F的上方，∴（3）﹣（﹣n2﹣23）=4，解得：﹣4或1．∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．方法二：（1）略．（2）設P（t，﹣t2﹣23），Q（﹣2﹣t，﹣t2﹣23），∴矩形周長為：22，∴222（﹣2﹣t﹣t）+2（﹣t2﹣23），∴22﹣2t2﹣82，∴當﹣2時，周長最大，∴P（﹣2，3），∵A（﹣3，0），C（0，3），∴：3，∵點E在直線上，且，把﹣2代入，∴E（﹣2，1），∴S△××1×1=，（3）∵D為拋物線頂點，∴D（﹣1，4），Q（0，3），∵22×=4，∴t2+3t﹣4=0，∴t1=﹣4，t2=1，∴F1（﹣4，﹣5），F(xiàn)2（1，0）．（4）∵點P及點B關于直線L對稱，∴被垂直平分，∵P（﹣2，3），B（1，0），∴﹣1，∴×﹣1，∴1，∵F為的中點，∴G（，），H（，）．【點評】本題考查了二次函數(shù)及坐標軸的交點的求法，矩形的性質，一元二次方程的解法，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結合,方程思想是解題的關鍵．18．（2014?欽州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線﹣x2及x軸交于A,D兩點，及y軸交于點B，四邊形是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段上的動點，過點E作⊥x軸交拋物線于點P，交于點G，交于點H．（1）求該拋物線的解析式；（2）當點P在直線上方時，請用含m的代數(shù)式表示的長度；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P,B,G為頂點的三角形及△相像？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網版權全部【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）將A（1，0），B（0，4）代入﹣x2，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣m2﹣4），G（m，4），則﹣m2﹣4﹣4=﹣m2﹣m，點P在直線上方時，故須要求出m的取值范圍；（3）先由拋物線的解析式求出D（﹣3，0），則當點P在直線上方時，﹣2＜m＜0．再運用待定系數(shù)法求出直線的解析式為4，于是得出H（m，4）．當以P,B,G為頂點的三角形及△相像時，由于∠∠90°，所以分兩種狀況進行探討：①△∽△；②△∽△．都可以依據相像三角形對應邊成比例列出比例關系式，進而求出m的值．【解答】解：（1）∵拋物線﹣x2及x軸交于點A（1，0），及y軸交于點B（0，4），∴，解得，∴拋物線的解析式為﹣x2﹣4；（2）∵E（m，0），B（0，4），⊥x軸交拋物線于點P，交于點G，∴P（m，﹣m2﹣4），G（m，4），∴﹣m2﹣4﹣4=﹣m2﹣m；點P在直線上方時，故須要求出拋物線及直線的交點，令4=﹣m2﹣4，解得﹣2或0，即m的取值范圍：﹣2＜m＜0，的長度為：﹣m2﹣m（﹣2＜m＜0）；（3）在（2）的條件下，存在點P，使得以P,B,G為頂點的三角形及△相像