重難點02平面向量的實際應(yīng)用與新定義（原卷版）

重難點02平面向量的實際應(yīng)用與新定義目錄題型一：用向量證明線段垂直題型二：用向量解決夾角問題題型三：用向量解決線段的長度問題題型四：向量與幾何最值題型五：向量在幾何中的其他應(yīng)用題型六：向量中的新定義技巧方法技巧方法1.兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.2.夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).3.|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).4.向量線性運算的三要素向量的線性運算滿足三角形法則和平行四邊形法則，向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”.5.三個常用結(jié)論(1)O為△ABC的重心的充要條件是eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；(2)四邊形ABCD中，E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))；(3)對于平面上的任一點O，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y＝1.注意向量共線與三點共線的區(qū)別.6.平面向量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).7.平面向量一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組.8.用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.9.計算向量數(shù)量積的三種方法定義、坐標(biāo)運算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活運用，與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.10.求向量模的常用方法利用公式|a|2＝a2，將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算.11.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.能力拓展能力拓展題型一：用向量證明線段垂直一、單選題1．（2022春·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期末）若平面四邊形滿足，在方向上的數(shù)量投影是0，則該四邊形一定是（

）A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2．（2022春·上海黃浦·高一上海市向明中學(xué)?？计谀┰谥校謩e是內(nèi)角所對的邊，若（其中,且則的形狀是A．有一個角為的等腰三角形 B．正三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、解答題3．（2021春·高一單元測試）已知O為的外心，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)C，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．（1）若，，，，試用，、表示；（2）證明：；（3）若，，外接圓的半徑為，用表示．4．（2021春·高一課時練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊BC在正方形BEFG的邊BG上，聯(lián)結(jié)AG、CE，AG交DC于H．（1）證明：；（2）當(dāng)點C在BG的什么位置時，最??？題型二：用向量解決夾角問題一、單選題1．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)平面向量，，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）中，，則一定是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定二、填空題3．（2022春·上海普陀·高一?？计谀┤粝蛄颗c的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是______．4．（2022春·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習(xí)）已知，，與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是_______________．三、解答題5．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┤鐖D，在中，，．點D在邊BC上，且．(1)，，求；(2)，AD恰為BC邊上的高，求角A；(3)，求t的取值范圍．6．（2021春·上海·高一專題練習(xí)）已知△頂點為直角坐標(biāo)分別為，，．若虛數(shù)（）是實系數(shù)一元二次方程的根，且是鈍角，求的取值范圍．7．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知，，向量與向量的夾角為，設(shè)向量，向量．（1）求的值；（2）設(shè)，求的表達(dá)式；若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．8．（2021春·上海·高一專題練習(xí)）在中，滿足：，M是的中點.（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若O是線段上任意一點，且，求的最小值：（3）若點P是內(nèi)一點，且，，，求的最小值.9．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知，，是同一平面內(nèi)的三個向量，其中.（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.題型三：用向量解決線段的長度問題一、單選題1．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）若,且,則四邊形是A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形2．（2021春·高一單元測試）設(shè)，是邊上一定點，滿足，且對于邊上任一點P，恒有.則（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2021春·高一課時練習(xí)）在中，是的中點，，，則線段長的最小值為___________4．（2021春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的最小值為______.5．（2022春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，起點為坐標(biāo)原點的向量滿足，且，（）．若存在向量、，對于任意實數(shù)，不等式成立，則實數(shù)的最大值為___________．三、解答題6．（2021·高一課時練習(xí)）在一個平面內(nèi)，一質(zhì)點受三個力、、的作用保持平衡（即、、的和為零向量），其中與的夾角為，與的夾角為.（1）若，，，求力、的大?。唬?）若，求與.（用反三角函數(shù)表示）7．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點?點（其中?為常數(shù)，且），點為坐標(biāo)原點．（1）設(shè)點為線段靠近點的三等分點，，求的值；（2）如圖，設(shè)點是線段的等分點，，其中，，，，求當(dāng)時，求的值（用含?的式子表示）（3）若，，求的最小值．題型四：向量與幾何最值一、單選題1．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為（

）A． B．1C． D．

2．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知點是所在平面內(nèi)的動點，且滿足，射線與邊交于點，若，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．二、多選題3．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在直角三角形中，，點在以為圓心且與邊相切的圓上，則（

）A．點所在圓的半徑為2 B．點所在圓的半徑為1C．的最大值為14 D．的最大值為16三、填空題4．（2022春·上海浦東新·高一上海市進才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等邊三角形的邊長為1，點在的邊上運動，則的最大值為___________.5．（2022春·上海普陀·高一上海市晉元高級中學(xué)校考期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奧會開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運動聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們再次領(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力.順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊ABCDEF.若正六邊形的邊長為1，點P是其內(nèi)部一點（包含邊界），則的取值范圍為___________.6．（2022春·上海楊浦·高一?？计谀┤鐖D，定圓的半徑為3，A，B為圓上的兩點，且的最小值為2，則______．7．（2022春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考期末）已知為單位圓（注：單位圓指的是半徑為1的圓）的一條定弦，為單位圓上的點.當(dāng)在中任意取值時，關(guān)于的函數(shù)的最小值記作.分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點在單位圓上運動時，的最大值為.根據(jù)以上信息，可以推導(dǎo)得到線段的長度為______.8．（2022春·上海楊浦·高一?？计谀┤鐖D，等邊是半徑為的圓的內(nèi)接三角形，是邊的中點，是圓外一點，且，當(dāng)繞圓心旋轉(zhuǎn)時，則的取值范圍為_________.9．（2022春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，起點為坐標(biāo)原點的向量滿足，且，（）．若存在向量、，對于任意實數(shù)，不等式成立，則實數(shù)的最大值為___________．10．（2022春·上海奉賢·高一校考期中）如圖，扇形的半徑為1，且，點C在弧上運動，若，則的最大值是__________11．（2022春·上海閔行·高一閔行中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知是邊長為的正六邊形的一條邊，點在正六邊形內(nèi)(含邊界)，則的取值范圍是___________.12．（2022春·上海黃浦·高一上海市向明中學(xué)?？计谀┮阎矫嫦蛄繚M足，且與的夾角為，則的取值范圍是___________.13．（2022春·上海虹口·高一校考期末）在復(fù)平面中，已知點，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別為，且滿足，則的最大值為___________.14．（2022春·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，若存在，使得與夾角為，且，則的最小值為___________.四、解答題15．（2022春·上海長寧·高一上海市延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，設(shè)DE中點為M，AB中點為N．(1)若，求證：C、M、N三點共線；(2)若，求的最小值．題型五：向量在幾何中的其他應(yīng)用一、單選題1．（2022春·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考期末）滿足的△ABC（

）A．一定為銳角三角形 B．一定為直角三角形C．一定為鈍角三角形 D．可能為銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形2．（2022春·上海浦東新·高一上海市進才中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，若，則△ABC的形狀一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習(xí)）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，滿足，則的面積與的面積的比值為（

）A． B． C． D．4．（2022春·上海浦東新·高一上海市進才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為平面上的兩個定點，且，該平面上的動線段的端點滿足，則動線段所形成圖形的面積是（

）A．5 B．10 C．15 D．205．（2022春·上海黃浦·高一上海市向明中學(xué)?？计谀┰谥校謩e是內(nèi)角所對的邊，若（其中,且則的形狀是A．有一個角為的等腰三角形 B．正三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形6．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習(xí)）O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：＝，則直線AP一定通過△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心7．（2022春·上海閔行·高一上海市七寶中學(xué)校考期中）若是外接圓圓心，是的內(nèi)角，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．8．（2021春·上海·高一期中）在中，角的對邊分別為已知，且，點O滿足，，則的面積為（

）A． B． C． D．9．（2021春·上?！じ咭黄谥校┰谥?，，點滿足，若，其中，動點的軌跡所覆蓋的面積為（

）A． B． C． D．10．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知點是所在平面內(nèi)的動點，且滿足，射線與邊交于點，若，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．二、多選題11．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）三角形蘊涵大量迷人性質(zhì)，例如校本第19頁有這么一個性質(zhì)：若點在內(nèi)部，用、、分別代表、、的面積，則有，現(xiàn)在假設(shè)銳角三角形頂點、、所對的邊長分別為、、，為其垂心，為三角形外心，、、的單位向量分別為、、．則下列命題正確的有（

）A．至少存在2022個三角形，使成立B．存在三角形，使C．對任意銳角三角形均有成立D．存在銳角三角形使得12．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）點O在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（

）A．若，則點O是的重心．B．若，則點O是的內(nèi)心．C．若，則點O是的外心．D．若，則點O是的垂心．三、填空題13．（2021春·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）在四邊形中，若，且，則四邊形的形狀是______________.14．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為，，，為的外接圓，，給出下列四個結(jié)論：①若，則；②若P在上，則；③若P在上，則的最大值為2；④若，則點P的軌跡所對應(yīng)圖形的面積為.其中所有正確結(jié)論的序號是_________.15．（2022春·上海長寧·高一?？计谥校┓橇阆蛄颗c滿足，且，則的形狀為_______________________．16．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)H是的垂心，且，則______.17．（2021春·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△中，，，．若為△內(nèi)部的點且滿足，則________．四、解答題18．（2022春·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)校考期末）已知等邊三角形ABC的邊長為2，P為三角形ABC所在平面上一點．(1)若，求△PAB的面積；(2)若，求的最大值；(3)求的最小值．19．（2021春·上海·高一期中）已知,,分別為三個內(nèi)角的對邊，,.（1）求；（2）若的中點，，求,.20．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知等邊三角形中，點為線段上一點，且.（1）若等邊三角形邊長為6，且，求；（2）若，求的值（3）若，求實數(shù)的取值范圍.21．（2021春·上海·高一專題練習(xí)）已知△AOB中，邊，令過AB邊上一點(異于端點)引邊OB的垂線垂足為再由引邊OA的垂線垂足為又由引邊AB的垂線垂足為設(shè).（1）求；（2）證明：；（3）當(dāng)重合時，求的面積.題型六：向量中的新定義一、單選題1．（2021春·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，定義、的向量積，為當(dāng)、的起點相同時，由的方向逆時針旋轉(zhuǎn)到與方向相同時，旋轉(zhuǎn)過的最小角，對于，，的向量積有如下的五個結(jié)論：①；

②；③；

④；⑤；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個二、填空題2．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于任意平面向量可實施以下6種變換，包括2種v變換和4種w變換：模變?yōu)樵瓉淼谋叮瑫r逆時針旋轉(zhuǎn)90°；：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時順時針旋轉(zhuǎn)90°；：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時逆時針旋轉(zhuǎn)45°；：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時順時針旋轉(zhuǎn)45°；：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時逆時針旋轉(zhuǎn)135°；：模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時順時針旋轉(zhuǎn)135°．記集合，若每次從集合S中隨機抽取一種變換.經(jīng)過n次抽取，依次將第i次抽取的變換記為，即可得到一個n維有序變換序列，記為，則以下判斷中正確的序號是______．①單位向量經(jīng)過2022次v變換后所得向量一定與向量垂直；②單位向量經(jīng)過2022次w變換后所得向量一定與向量平行；③單位向量經(jīng)過變換后得到向量，則中有且只有2個v變換；④單位向量經(jīng)過變換后不可能得到向量；⑤存在n，使得單位向量經(jīng)過次變換后，得到．三、解答題3．（2021·上海·高一專題練習(xí)）已知向量與向量的對應(yīng)關(guān)系用表示.（1）證明：對任意向量、及常數(shù)、，恒有；（2