中考數(shù)學最值-胡不歸問題(解析+例題)

中考數(shù)學最值——胡不歸問題（點在直線上運動）（PA+k·PB型最值）【歷史典故】從前，有一個小伙子在外地學徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A→B（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”。這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風靡千百年的“胡不歸問題”?！局R儲備】=1\*GB3①三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊。=2\*GB3②兩點之間線段最短。=3\*GB3③連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短。【模型分析】=1\*GB3①條件：已知A、B為定點，P為射線AC上一動點。=2\*GB3②問題：P在何處時，BP+nmAP最短（nm＜=3\*GB3③方法：第一步在AC的一側(cè)，PB的異側(cè)構(gòu)造∠CAE=α，使得sinα=nm第二步做BH⊥AE，交AC于P，點P就是所求位置，BH就是其最小值。【模型分析】【問題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD的距離為AB的長度，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點D，船速為a，再乘汽車，車速為船速的n倍，點D選在何處時，所用時間最短?【特例分析】若n=2,則時間t=ADa+CD2a,當a為定值時,問題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定一點D,使得ADa+CD2a的值最小。如圖②,過點C做射線CM，使得∠(1)過點D作DE⊥CM,垂足為E,試說明：DE=CD2；(2)請在圖②中畫出所用時間最短的登陸點D′.【經(jīng)典例題】如圖③,拋物線y=－34x2＋94x＋3與x軸分別交于A,B兩點,與y軸交于點C,E為OB中點,設F為線段BC上一點(不含端點),連接EF.一動點P從E出發(fā),沿線段EF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿著線段FC以每秒53個單位的速度運動到C后停止。若點P【鞏固訓練】練習1：如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM＋12BM的最小值為_____練習2：如圖，等腰ΔABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高為A0，點D為射線A0上一點，一動點P從點A出發(fā)，沿AD-DC運動，動點P在AD上運動速度3個單位每秒，動點P在CD上運動的速度為1個單位每秒，則當AD=時，運動時間最短為秒。練習3：如圖,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點,則PB+32PD的最小值等于___練習4：如圖,△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點E,D是線段BE上的一個動點,則CD+55BD的最小值是(A.

25B.

45C.

53D.

10練習5：如圖，菱形ABCD的對角線AC上有一動點P，BC=6，∠ABC=150°，則線段AP+BP+PD的最小值為___。練習6：如圖，拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A，B兩點，過B的直線交拋物線于E，且tan∠EBA=43，有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點處覓食，則螞蟻從A到E的最短時間是___s練習7：如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，O經(jīng)過點C，且圓的直徑AB在線段AE上。設點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接OD，當12CD+OD的最小值為練習8：如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(?1，0),B(0，?3)，C(2，0)，其對稱軸與x軸交于點D.(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；(2)點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，求點M的坐標；(3)若P為y軸上的一個動點,連接PD,求12PB+PD練習9：如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，交x軸于D、C兩點，連接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）。（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，tan∠BAC=。（2）P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出所有符合條件的P點坐標，若不存在，請說明理由。（3）設E為線段AC上一點（不含端點），連接DE，一動點M從點D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個單位的速度運動到E點，再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到點A后停止，當點E的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？練習10：如圖，已知拋物線與x軸從左至右依次交于點A、B，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一個交點為D。（1）若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式。（2）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標為多少時，點M在整個運動過程中用時最少？（3）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值。練習11：已知拋物線，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點A的直線與拋物線的另一個交點為D。（1）若點D的橫坐標為2，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為。（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有一點P，使得以A、B、P