中考數(shù)學(xué)最值-胡不歸問題(解析+例題)

中考數(shù)學(xué)最值——胡不歸問題（點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)）（PA+k·PB型最值）【歷史典故】從前，有一個(gè)小伙子在外地學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A→B（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況，當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”。這個(gè)古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問題”。【知識(shí)儲(chǔ)備】=1\*GB3①三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊。=2\*GB3②兩點(diǎn)之間線段最短。=3\*GB3③連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短?！灸Ｐ头治觥?1\*GB3①條件：已知A、B為定點(diǎn)，P為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)。=2\*GB3②問題：P在何處時(shí)，BP+nmAP最短（nm＜=3\*GB3③方法：第一步在AC的一側(cè)，PB的異側(cè)構(gòu)造∠CAE=α，使得sinα=nm第二步做BH⊥AE，交AC于P，點(diǎn)P就是所求位置，BH就是其最小值?！灸Ｐ头治觥俊締栴}提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD的距離為AB的長度，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點(diǎn)D，船速為a，再乘汽車，車速為船速的n倍，點(diǎn)D選在何處時(shí)，所用時(shí)間最短?【特例分析】若n=2,則時(shí)間t=ADa+CD2a,當(dāng)a為定值時(shí),問題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定一點(diǎn)D,使得ADa+CD2a的值最小。如圖②,過點(diǎn)C做射線CM，使得∠(1)過點(diǎn)D作DE⊥CM,垂足為E,試說明：DE=CD2；(2)請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)D′.【經(jīng)典例題】如圖③,拋物線y=－34x2＋94x＋3與x軸分別交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,E為OB中點(diǎn),設(shè)F為線段BC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接EF.一動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā),沿線段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿著線段FC以每秒53個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止。若點(diǎn)P【鞏固訓(xùn)練】練習(xí)1：如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM＋12BM的最小值為_____練習(xí)2：如圖，等腰ΔABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高為A0，點(diǎn)D為射線A0上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD-DC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速度3個(gè)單位每秒，動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為1個(gè)單位每秒，則當(dāng)AD=時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為秒。練習(xí)3：如圖,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),則PB+32PD的最小值等于___練習(xí)4：如圖,△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點(diǎn)E,D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則CD+55BD的最小值是(A.

25B.

45C.

53D.

10練習(xí)5：如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，BC=6，∠ABC=150°，則線段AP+BP+PD的最小值為___。練習(xí)6：如圖，拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，過B的直線交拋物線于E，且tan∠EBA=43，有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)處覓食，則螞蟻從A到E的最短時(shí)間是___s練習(xí)7：如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上。設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接OD，當(dāng)12CD+OD的最小值為練習(xí)8：如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(?1，0),B(0，?3)，C(2，0)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD,求12PB+PD練習(xí)9：如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于D、C兩點(diǎn)，連接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）。（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，tan∠BAC=。（2）P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。（3）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？練習(xí)10：如圖，已知拋物線與x軸從左至右依次交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D。（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式。（2）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？（3）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求k的值。練習(xí)11：已知拋物線，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D。（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為。（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P，使得以A、B、P