2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第16講 拉格朗日中值定理在高考中的應(yīng)用（原卷版）

第16講拉格朗日中值定理在高考中的應(yīng)用拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,在高中數(shù)學(xué)中也是比較重要的一塊,其定理本身比較簡(jiǎn)潔,也可以在高考中解決一類不等式問(wèn)題,其解法比較快捷,我們來(lái)認(rèn)識(shí)一下這個(gè)定理吧!拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:若函數(shù)滿足如下條件:(1)在閉區(qū)間上連續(xù).(2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.幾何意義:在以為端點(diǎn)的曲線上至少存在一點(diǎn),該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線.【例】已知函數(shù),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于?若存在,求的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得的圖像上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于,即對(duì)任意,都有.即求任意兩點(diǎn)割線斜率的大小,由中值定理知存在,有,轉(zhuǎn)為求切線斜率的大小.即在上恒成立的問(wèn)題.拉格朗日證明無(wú)參不等式用拉格朗日中值定理證明不等式的一般步驟:第一步:在不等式中找合適的函數(shù).第二步:利用拉格朗日中值定理轉(zhuǎn)換,即.（或）,并確定的范圍.第三步:利用的范圍對(duì)不等式放縮,從而證明不等式.【例1】設(shè),證明:.【例2】當(dāng)時(shí),證明:.【例3】當(dāng)時(shí),證明:.【例4】當(dāng)時(shí),證明:.拉格朗日證明一元含參不等式利用拉格朗日中值定理證明一元含參不等式問(wèn)題的一般步驟:第一步:參變分離為:或成立.[其中,只有這種結(jié)構(gòu)才可以使用]第二步:拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化為或.[其中第三步:轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.【例1】設(shè)函數(shù),若對(duì)所有,都有,求的取值范圍.【例2】設(shè)函數(shù),證明:若對(duì)所有,都有,則的范圍是.【例3】設(shè)函數(shù),如果對(duì)任何,都有,求的取值范圍.拉格朗日證明雙變量含參不等式由拉格朗日中值定理解決具有特點(diǎn)的證明或求參數(shù)的范圍問(wèn)題的一般步驟:第一步：把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明或(其中結(jié)構(gòu)的問(wèn)題.第二步:利用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化.即證明或.第三步:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證與的大小關(guān)系.【例1】設(shè)函數(shù),.若對(duì)任意,恒成立,求的取值范圍.【例2】設(shè)函數(shù),若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍。【例3】已知.(1)討論的單調(diào)性.(2)設(shè),求證:,.(2)法一:雙元構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)法法二:拉格朗日中值定