傳熱學(xué)第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

2024/4/41第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

§3-1

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程§3-2

集總參數(shù)法§3-3

一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解2024/4/42第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱UnsteadyHeatConduction定義：導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。特點(diǎn)：溫度隨時(shí)間變化，熱流也隨時(shí)間變化。自然界和工程上許多導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)，t=f(

)例如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內(nèi)燃機(jī)等裝置起動(dòng)、停機(jī)、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度2024/4/43非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：周期性和非周期性〔瞬態(tài)導(dǎo)熱〕周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在周期性變化邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，物體溫度按一定的周期發(fā)生變化。非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，物體的溫度隨時(shí)間不斷地升高〔加熱過程〕或降低〔冷卻過程〕，在經(jīng)歷相當(dāng)長時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質(zhì)溫度，最終到達(dá)熱平衡2024/4/44§3-1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程1溫度分布一平壁初始溫度為t0，令其左側(cè)外表的溫度突然升高到t1，右側(cè)與溫度為t0的空氣接觸。首先，物體緊挨高溫外表的局部溫度上升很快，經(jīng)過一定時(shí)間后內(nèi)部區(qū)域溫度依次變化，最終整體溫度分布保持恒定，當(dāng)為常數(shù)時(shí)，最終溫度分布為直線。2024/4/45(a)

=

1

(b)

=

2

(c)

=

3

(d)

=

42024/4/462兩個(gè)階段：非正規(guī)狀況階段〔初始狀況階段〕、正規(guī)狀況階段非正規(guī)狀況階段〔初始狀況階段〕：在=3時(shí)刻之前的階段，物體內(nèi)的溫度分布受初始溫度分布的影響較大。必須用無窮級數(shù)描述t0t1=3正規(guī)狀況階段：在

=

3時(shí)刻之后，初始溫度分布的影響已經(jīng)消失，物體內(nèi)的溫度分布主要受邊界條件的影響，可以用初等函數(shù)描述。2024/4/473熱量變化：與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的另一區(qū)別：同一時(shí)刻流過不同截面的熱流量是不同的。通過截面A的熱流量是從最高值不斷減小，在其它各截面上，其截面溫度開始升高之前通過該截面的熱流量是零，溫度開始升高之后，熱流量才開始增加。這說明：溫度變化要積聚或消耗熱量。2024/4/484邊界條件對溫度分布的影響x0xtt∞(b)(c)(a)環(huán)境〔邊界條件〕對系統(tǒng)溫度分布的影響是很顯著的,這里以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程〔也就是大平板的加熱或冷卻過程〕為例來加以說明。圖示一個(gè)大平板的加熱過程，并畫出在某一時(shí)刻的三種不同邊界情況的溫度分布曲線〔a〕、〔b〕、〔c〕2024/4/49曲線（a）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻遠(yuǎn)小于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻,

即從曲線上看，物體內(nèi)部溫度變化比較大，而環(huán)境與物體邊界幾乎無溫差，此時(shí)可以認(rèn)為。那么，邊界條件就變成了第一類邊界條件，即給定物體邊界上的溫度。

x0xtt∞(b)(c)(a)2024/4/410曲線（b）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻相當(dāng)于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻,

即

這也是正常的第三類邊界條件x0xtt∞(b)(c)(a)2024/4/411曲線（c）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻遠(yuǎn)大于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻,

即從曲線上看，物體內(nèi)部的溫度幾乎是均勻的，這也就說物體的溫度場僅僅是時(shí)間的函數(shù)，而與空間坐標(biāo)無關(guān)。我們稱這樣的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱系統(tǒng)為集總參數(shù)系統(tǒng)〔一個(gè)等溫系統(tǒng)或物體〕。x0xtt∞(b)(c)(a)2024/4/4122024/4/413把導(dǎo)熱熱阻與換熱熱阻相比可得到一個(gè)無因次的數(shù)，我們稱之為畢歐〔Boit〕數(shù)，即那么，上述三種情況那么對應(yīng)著Bi>>1、Bi1和Bi<<1。畢歐數(shù)是導(dǎo)熱分析中的一個(gè)重要的無因次準(zhǔn)那么，它表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的比照關(guān)系。2024/4/414類似于Bi數(shù)這種表征某一類物理現(xiàn)象或物體特征的無量綱數(shù)稱為特征數(shù)，特征數(shù)中的幾何尺度稱為特征尺度。2024/4/415fromIntroductiontoHeatTransferbyIncroperaandDewitt,1996BismallBi=1BilargeEquivalenttolumpedTEquivalenttoprescribedTsTransienttemperaturedistributioninaplanewallsymmetricallycooledbyconvection2024/4/416§3-2集總參數(shù)法

(Lumpedheatcapacitymethod)1定義忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時(shí)，，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即，與空間位置無關(guān)，因此，也稱為零維問題。2024/4/417以下幾種情況，Bi數(shù)將很小，可用集總參數(shù)法：〔1〕導(dǎo)熱系數(shù)相當(dāng)大；〔2〕幾何尺寸很??；〔3〕外表換熱系數(shù)很小。2溫度分布h,t

AQcΔΕρ,c,V,t0一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、外表積為A、密度為、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中。2024/4/418引入過余溫度：初始條件為：能量守恒：單位時(shí)間物體熱力學(xué)能的變化量應(yīng)該等于物體外表與流體之間的對流換熱量α,t0AQcΔΕρ,c,V,t0別離變量：2024/4/419積分得：指數(shù)可寫成：過余溫度隨時(shí)間的變化

2024/4/420無量綱熱阻無量綱時(shí)間Biv越小，表示內(nèi)部熱阻小或外部熱阻大，那么內(nèi)部溫度就越均勻，集總參數(shù)法的誤差就越小。Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入傳播到物體內(nèi)部,物體各點(diǎn)的溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。2024/4/421物體中的溫度隨時(shí)間呈指數(shù)變化方程中指數(shù)的量綱：稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，記為

c，也稱弛豫時(shí)間。

2024/4/422θ/θ0τ/τs0.386101當(dāng)物體冷卻或加熱過程所經(jīng)歷的時(shí)間等于其時(shí)間常數(shù)時(shí)，即τ=τc，有：當(dāng)τ=4τc時(shí)，工程上認(rèn)為=4τc時(shí)導(dǎo)熱體已到達(dá)熱平衡狀態(tài)3時(shí)間常數(shù)2024/4/423如果導(dǎo)熱體的熱容量〔Vc〕小、換熱條件好〔hA大〕，時(shí)間常數(shù)(Vc/hA)小那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快.時(shí)間常數(shù)越小，物體的溫度變化就越快，物體就越迅速地接近周圍流體的溫度。2024/4/424時(shí)間常數(shù)：反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來的傳熱動(dòng)態(tài)特征，時(shí)間常數(shù)小的響應(yīng)快，時(shí)間常數(shù)大的響應(yīng)慢。用熱電偶測量流體溫度，總是希望熱電偶的時(shí)間常數(shù)越小越好。時(shí)間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速地反映流體的溫度變化。問題：怎樣可以令熱電偶時(shí)間常數(shù)保持很??？2024/4/425時(shí)間常數(shù)與其幾何形狀〔A、V〕、密度〔ρ〕及比熱〔c〕有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況〔h〕相關(guān)。可見，同一物質(zhì)不同的形狀其時(shí)間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時(shí)間常數(shù)也是不相同。2024/4/4264.時(shí)間0~

內(nèi)傳遞的總熱流量導(dǎo)熱體在時(shí)間0~

內(nèi)傳給流體的總熱量：在時(shí)刻，外表熱流量為：加熱與冷卻均適用2024/4/427如何去判定一個(gè)任意的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng)？V/A具有長度的因次，稱為集總參數(shù)系統(tǒng)的特征尺寸。為判定系統(tǒng)是否為集總參數(shù)系統(tǒng)，M為形狀修正系數(shù)。5.集總參數(shù)系統(tǒng)的判定

2024/4/428厚度為2

的大平板直徑為2R的長圓柱體

直徑為2R的球體2024/4/429例：一溫度計(jì)水銀泡是圓柱形，長20mm，內(nèi)徑4mm，測量氣體溫度，外表傳熱系數(shù)h=12.5W/(m2·K),假設(shè)要溫度計(jì)的溫度與氣體的溫度之差小于初始過余溫度的10%，求測溫所需要的時(shí)間。水銀=10.36W/(m·K),=13110kg/m3,c=0.138kJ/(kg·K).解：2024/4/430故可以用集總參數(shù)法。由上式解得：

=333，s=5.6min為了減小測溫誤差，測溫時(shí)間應(yīng)盡量加長。2024/4/431§3-3一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解

AnalyticalSolutiontoOne-DimensionalSystem

當(dāng)幾何形狀及邊界條件都比較簡單時(shí)可獲得分析解。2024/4/432厚度2的無限大平壁，、a為常數(shù)；=0時(shí)溫度為t0;突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t并保持不變；壁外表與介質(zhì)之間的外表傳熱系數(shù)為h。兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對稱。中心為原點(diǎn)。1無限大的平板的分析解2024/4/433導(dǎo)熱微分方程：初始條件：邊界條件：(第三類)2024/4/4342024/4/435采用別離變量法求解：取只能為常數(shù)：只為

的函數(shù)只為x的函數(shù)2024/4/436對積分得到式中C1是積分常數(shù)，常數(shù)值D的正負(fù)可以從物理概念上加以確定。當(dāng)時(shí)間τ趨于無窮大時(shí)，過程到達(dá)穩(wěn)態(tài)，物體到達(dá)周圍環(huán)境溫度，所以D必須為負(fù)值，否那么物體溫度將無窮增大。2024/4/437令那么有以及以上兩式的通解為：于是2024/4/438常數(shù)A、B和β可由邊界條件確定。(1)(2)(3)由邊界條件〔2〕得B=0〔a〕邊界條件〔3〕代入(b)得(c)〔a〕式成為(b)2024/4/439將右端整理成：注意，這里Bi數(shù)的尺度為平板厚度的一半。顯然，β是兩曲線交點(diǎn)對應(yīng)的所有值。式(c)稱為特征方程。β稱為特征值。分別為β1、β2……βn。2024/4/440….通解為所有特解之和：至此，我們獲得了無窮個(gè)特解：2024/4/441利用初始條件求An解的最后形式為：令βnδ=μn2024/4/442傅里葉準(zhǔn)那么—無量綱距離2024/4/443定義無量綱的熱量其中這是非穩(wěn)態(tài)過程所能傳遞的最大熱量〔物體內(nèi)能改變總量〕Q為從初始時(shí)刻至某一時(shí)刻

所傳遞的熱量:是

時(shí)刻物體的平均過余溫度。2024/4/4442非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段當(dāng)Fo>0.2時(shí)，采用級數(shù)的第一項(xiàng)計(jì)算偏差小于1%，故當(dāng)Fo>0.2時(shí):其中

1

是第一特征值，是Bi的函數(shù)。Bi0.010.050.10.51.05.01050100

1

0.09980.22170.31110.65330.86031.31381.42891.54001.55521.57082024/4/445為了分析這時(shí)溫度分布的特點(diǎn)，將式兩邊取對數(shù)得：

式右邊第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)時(shí)間的線性函數(shù)，的系數(shù)只與Bi有關(guān)，即只取決于第三類邊界條件、平壁的物性與幾何尺寸。右邊第二項(xiàng)只與Bi、x/有關(guān)，與時(shí)間無關(guān)。2024/4/446可以看出，當(dāng)Fo>0.2,平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過余溫度的對數(shù)都隨時(shí)間線性變化，并且變化曲線的斜率都相等,這一溫度變化階段稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段。2024/4/447對正規(guī)狀況階段，即Fo>0.2時(shí)，平壁中心〔x=0〕過余溫度由式〔3-29〕可得任一點(diǎn)過余溫度與中心過余溫度之比為與時(shí)間無關(guān)！2024/4/448可見，當(dāng)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段以后，雖然

和

m都隨時(shí)間而變化，但它們的比值與時(shí)間τ無關(guān)，而僅與幾何位置x/

及畢渥數(shù)Bi有關(guān)。即無論初始分布如何，無量綱溫度

/

m都是一樣的。

2024/4/449兩邊對時(shí)間求導(dǎo)

上式左邊是過余溫度對時(shí)間的相對變化率，稱為冷卻率〔或加熱率〕。上式說明，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，物體所有各點(diǎn)的冷卻率或加熱率都相同，且不隨時(shí)間而變化，其值僅取決于物體的物性參數(shù)、幾何形狀與尺寸以及外表傳熱系數(shù)。與時(shí)間無關(guān)！2024/4/450令x=可以計(jì)算平壁外表溫度和中心溫度的比值。又由表3-1可知，當(dāng)Bi<0.1時(shí)，1<0.3111，從而cos(1)>0.95。即當(dāng)Bi<0.1時(shí)，平壁外表溫度和中心溫度的差異小于5%，可以近似認(rèn)為整個(gè)平壁溫度是均勻的。這就是3-2節(jié)集總參數(shù)法的界定值定為Bi<0.1的原因。2024/4/451進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，所傳遞的熱量也容易計(jì)算，由于：

可得出進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，從初始時(shí)刻至某一時(shí)刻所傳遞的熱量為

2024/4/452分析解也適用于一側(cè)絕熱、另一側(cè)為第三類邊界條件、厚度為δ的一維平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。〔對稱條件和絕熱條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式是相同的〕針對第一類邊界條件的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，那么可令h；當(dāng)外表傳熱系數(shù)為無窮大時(shí)，平壁外表溫度為流體溫度。故當(dāng)時(shí)，分析解就是物體外表溫度發(fā)生突然變化后保持不變，即第一類邊界條件的解。由表3-1可知，當(dāng)時(shí)，1=/2，這樣正規(guī)狀況階段第一類邊界條件下大平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布為：

2024/4/4533采用海斯勒〔Heisler〕圖計(jì)算對于Fo0.2時(shí)無限大平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，溫度場可按公式計(jì)算；也可用諾謨圖計(jì)算，其中用于確定溫度分布的圖線稱為海斯勒圖。為平板中心的過余溫度三個(gè)變量加一個(gè)應(yīng)變量變換與坐標(biāo)無關(guān)與時(shí)間無關(guān)2024/4/4542024/4/4552024/4/456無量綱的熱量2024/4/457如何利用線算圖a〕對于由時(shí)間求溫度的步驟為，計(jì)算Bi數(shù)、Fo數(shù)和x/δ，從圖中查找θm/θ0和θ/θm，計(jì)算出，最后求出溫度tb)對于由溫度求時(shí)間步驟為，計(jì)算Bi數(shù)、x/δ和θ/θ0,從圖中查找θ/θm,，計(jì)算θm/θ0然后從圖中查找Fo,再求出時(shí)間

。

c〕平板吸收〔或放出〕的熱量，可在計(jì)算Q0和Bi數(shù)、Fo數(shù)之后，從圖3-6中Q/Q0查找，再計(jì)算出2024/4/458Fo數(shù)及Bi數(shù)的影響：(1)當(dāng)Bi數(shù)一定時(shí)，