反證法典型例題

韓城·象中·毋寧選修1-2：第三章推理與證明反證法典例第一頁，共十四頁。例1.已知：一個整數(shù)的平方能被2整除，求證：這個數(shù)是偶數(shù)。證明：設(shè)整數(shù)a的平方能被2整除.

假設(shè)a不是偶數(shù)，則a是奇數(shù)，不妨設(shè)a=2m+1(m是整數(shù))∴a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1∴a2是奇數(shù)，與已知矛盾。∴假設(shè)不成立，所以a是偶數(shù)。2精品PPT·值得借鑒第二頁，共十四頁。例2.證明：如果a>b>0，那么3精品PPT·值得借鑒第三頁，共十四頁。例3.已知a≠0，求證關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個根。4精品PPT·值得借鑒第四頁，共十四頁。P已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD

不全是直徑求證：AB、CD不能互相平分。ABCDO例4.求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能互相平分.5精品PPT·值得借鑒第五頁，共十四頁。例5.求證：是無理數(shù).6精品PPT·值得借鑒第六頁，共十四頁。

(4)結(jié)論為“唯一”類的命題。正難則反!應(yīng)用反證法的情形：

(1)直接證明困難;(2)需分成很多類進(jìn)行討論；(3)結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”這一類的命題；7精品PPT·值得借鑒第七頁，共十四頁。例6.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.求證:a,b,c>0證明:

假設(shè)c<0,則a+b>0,ab<0.所以,a,b,c>0.

ab+bc+ca=ab+(a+b)c<0.矛盾!假設(shè)不成立.8精品PPT·值得借鑒第八頁，共十四頁。例7.已知0<a,b,c<1,求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同時大于1/4.證明:

假設(shè)(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同時大于1/4.則(1)+(2)+(3)得:0>0,矛盾!假設(shè)不成立.所以,(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同時大于1/4.

9精品PPT·值得借鑒第九頁，共十四頁。例7.已知0<a,b,c<1,求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同時大于1/4.證明:

假設(shè)(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同時大于1/4.則(1)+(2)+(3)得:矛盾!假設(shè)不成立.原結(jié)論成立.10精品PPT·值得借鑒第十頁，共十四頁。PPT內(nèi)容概述韓城·象中·毋寧。韓城·象中·毋寧。則a是奇數(shù)，不妨設(shè)a=2m+1(m是整數(shù))?！郺2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1。精品PPT·值得借鑒。例2.證明：如果a>b>0，那么。已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD。例4.求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能互相平分.。例5.求證：是無理數(shù).。(3)結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”。求證:a,b,c>0。證明:假設(shè)c<0,則a+b>0,ab<0.。所以,a,b,c>0.。ab+bc+ca=ab+(a+b)c<0.。(1)+(2)+(3)得:0>0,矛盾。(1)+(2)+(3)得:。假設(shè)不成立.原結(jié)論成立.。已知:f(x)=x2+px+q.。例9.已知A,B,C為三個正角.且sin2A+sin2B+sin2C=1.。求證:A+B+C<900.。<1-cos2(A-B)≤1.。從而,A+B+C<900.第十一頁，共十四頁。例8.已知:f(x)=x2+px+q.求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于

?.12精品PPT·值得借鑒第十二頁，共十四頁。例9.已知A,B,C為三個正角.且sin2A+sin2B+sin2C=1.求證:A+B+C<900.解:假設(shè)A+B+C≥900,由于A,B,C為三個正角,所以它們都為銳角,且有cos(A+B)<cos(A-B).1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B)<1-cos2(A-B)≤1.矛盾!假設(shè)不成立.從而,A+B+C<900.13精品PPT·值得借鑒第十三頁，共十四頁。推理

合情推理