等差數(shù)列與等比數(shù)列基本公式

關于等差數(shù)列與等比數(shù)列基本公式等差數(shù)列與等比數(shù)列基本公式等差數(shù)列an-an-1=d(常數(shù))an=a1+(n-1)da,A,b等差,則A=等比數(shù)列an/an-1=q(常數(shù))an=a1qn-1a,G,b等比,則G2=abSn=na1(q=1)Sn=第2頁,共29頁，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列{an},{bn}的性質:m+n=k+l,則am+an=ak+al;{nk}等差,則等差;{kan+b}等差;{k1an+k2bn}等差;a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等差.{an}等差

Sn=cn2+bn(c≠0).第3頁,共29頁，2024年2月25日，星期天等比數(shù)列{an},{bn}的性質:

m+n=k+l(m,n,k,l∈N),則aman=akal;{nk}等差,則{kan}等比;{k1ank2bn}等比;a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等比.公比qn;{an}等比

Sn=c(qn-1)(c≠0){an}等比且an>0,則{lgan}等差;等比;第4頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1:四個數(shù),前三個成等比數(shù)列,它們的和是19;后三個成等差數(shù)列,和是12,求此四個數(shù).解法1:如圖:a1,a2,a3,a4等比(a2)2=a1a3等差2a3=a2+a4已知:a1+a2+a3=19已知:a2+a3+a4=12a1+a2+a3=19(a2)2=a1a3a2+a3+a4=122a3=a2+a4a1=9a2=6a3=4a4=2a1=25a2=-10a3=4a4=18或第5頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1:四個數(shù),前三個成等比數(shù)列,它們的和是19;后三個成等差數(shù)列,和是12,求此四個數(shù).如圖:a1,a2,a3,a4解法2:a-d,a,a+d等差等比a1,a-d,a已知和為12=>a-d+a+a+d=12已知三數(shù)和為19=>=>或四數(shù)為:9,6,4,2或25,-10,4,18.19第6頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

為了便于解方程，應該充分分析條件的特征,盡量減少未知數(shù)的個數(shù),用最少的未知數(shù)表達出數(shù)列的有關項的數(shù)量關系，促使復雜的問題轉化為較簡單的問題，獲得最佳的解決方法。歸納

練習1第7頁,共29頁，2024年2月25日，星期天練習11.已知等比數(shù)列{an}中,an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=()(A)5(B)10(C)15(D)202.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且S10=100,S100=10,則S110=()(A)90(B)-90(C)110(D)-1103.ABC的三內角成等差數(shù)列,三邊成等比數(shù)列,則三內角的公差為()(A)0(B)150(C)300(D)450ADA第8頁,共29頁，2024年2月25日，星期天1.已知等比數(shù)列{an}中,an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=a2a4=(a3)2a4a6=(a5)2原式=(a3+a5)2=25=>a3+a5=5(an>0)提示:第9頁,共29頁，2024年2月25日，星期天2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且S10=100,S100=10,則S110=()(A)90(B)-90(C)110(D)-110S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差數(shù)列,公差100d.解:∴(S20-S10)-S10=100d)∴S110-S100=S10+(11-1)100d=100+100(-11/5)=-120S110=-120+S100=-110=>10d=-11/5S110-S100=S10+(11-1)100d第10頁,共29頁，2024年2月25日，星期天3.ABC的三內角成等差數(shù)列,三邊成等比數(shù)列,則三內角的公差為()解:∵A+B+C=18002B=A+C,b2=ac∴B=600,A+C=1200由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC故A=B=C,公差d=0.第11頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例2:已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差d≠0,{an}的部分項組成下列數(shù)列:

恰好為等比數(shù)列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn即得出新數(shù)列的公比:q=3

再由∴可解出kn,進而求出根據(jù)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,通項可寫作:an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d,再根據(jù)a1,a5,a17成等比數(shù)列,又可得:(a5)2=a1a17,于是可解出d=(1/2)a1.將解出的d代入a1,a5,a17,分析:第12頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例2:已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差d≠0,{an}的部分項組成下列數(shù)列:

恰好為等比數(shù)列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn解:{an}為等比數(shù)列,設其首項為a1,則an=a1+(n-1)d故(a1+4d)2=a1(a1+16d)(a1)2+8a1d+16d2=(a1)2+16a1d第13頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例2:已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差d≠0,{an}的部分項組成下列數(shù)列:

恰好為等比數(shù)列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn故又q=3,d=(1/2)a1第14頁,共29頁，2024年2月25日，星期天歸納1.本題是一個綜合型的等差、等比數(shù)列問題，在解題過程中，分清那一步是用等差數(shù)列條件，那一步是用等比數(shù)列條件是正確解題的前提。2。仔細觀察，找到兩個數(shù)列序號間的聯(lián)系，是使問題得解的關鍵。練習2第15頁,共29頁，2024年2月25日，星期天練習21.如果a,b,c成等差數(shù)列,而a.c.b三數(shù)成等比數(shù)列,則a:b:c=________________2.若數(shù)列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100項之和為0,則θ的值為________1:1:1或4:1:(-2)2kπ±(2π/3)(k∈Z)第16頁,共29頁，2024年2月25日，星期天1.如果a,b,c成等差數(shù)列,而a.c.b三數(shù)成等比數(shù)列,則a:b:c=________________

a,b,c等差2b=a+cb=(a+c)/2a.c.b等比c2=ab①②代①入②,得:c2=a(a+c)/2解得:a=c或a=-2c1:1:1或4:1:(-2)解:第17頁,共29頁，2024年2月25日，星期天2.若數(shù)列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100項之和為0,則θ的值為________解:經(jīng)觀察知,該數(shù)列是等比數(shù)列,首項為1,公比為2cosθ,它的前100項和:Cosθ=-1/2Θ=2kπ±(2π/3),k∈Z.第18頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例3.已知數(shù)列{an}中,a1≠a2,若存在常數(shù)p,

使得對任意自然數(shù)n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)證明{an}成等差數(shù)列分析:本題已知Sn,需求p及an,所以必須根據(jù)公式求出a1,an.因為條件中有a1≠a2,又可推測知:本題需同時求a1,,a2,才可利用a1≠a2排除增根.故第一問的解答從計算a1,a2開始:第19頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例3.已知數(shù)列{an}中,a1≠a2,若存在常數(shù)p,

使得對任意自然數(shù)n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)證明{an}成等差數(shù)列（1）令n=1，s1=pa1，因為S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1若p=1，則由n=2時，S2=2a2，即a2+a2=2a2所以a1=a2，這與a1≠a2矛盾故p≠1所以a1=0，則由n=2，得a2=2pa2因為a1≠0，∴a2≠0，p=1/2解:第20頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例3.已知數(shù)列{an}中,a1≠a2,若存在常數(shù)p,

使得對任意自然數(shù)n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)證明{an}成等差數(shù)列(2)根據(jù)已求得的p=1/2Sn=(1/2)nan,由等差數(shù)列定義,滿足an-an-1=d(常數(shù))的數(shù)列是等差數(shù)列所以第一步求通項,第二步“作差”.證明:n≥2時,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1解得:(2-n)an=(1-n)an-1第21頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例3.已知數(shù)列{an}中,a1≠a2,若存在常數(shù)p,

使得對任意自然數(shù)n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)證明{an}成等差數(shù)列

由(1)可得a1=0∴a2-a1=a2練習3第22頁,共29頁，2024年2月25日，星期天練習31.數(shù)列則是該數(shù)列的第________項.2.數(shù)列{an}對任意自然數(shù)n都滿足且a3=2,a7=4,則a15=_______1116第23頁,共29頁，2024年2月25日，星期天教學目的1。系統(tǒng)掌握等差、等比數(shù)