2024屆全國高考數(shù)學一輪復(fù)習好題專項 平面向量的概念及其運算 練習(附答案)

2024屆全國高考數(shù)學一輪復(fù)習好題專項（平面向量的概念及其運算）練習

一、基礎(chǔ)練習

1.（2020?西藏日喀則上海實驗學校高二期中（文））若四邊形Z8CZ）是矩形，下列說法中不正確的是（）

A.而與麗共線B.%與麗相等

C.N萬與根是相反向量D.而與而模相等

2.（2020?全國高一課時練習）已知正六邊形則成+無+匠=（）

A.HB.BEC.ADD.CF

3.（2020?全國高三其他模擬（文））已知兩非零向量加，滿足Z丄,且%=1,貝中1一可=（）

A.1B.3C.4D.5

4.（2020?全國高二課時練習）已知向量而，AC，豆心滿足|荔卜］彳@+|就卜則（）

A.~AB^AC+^C

B.AB^-AC-JC

C.%與就同向

D.祝與在同向

5.（2020?全國高二課時練習）若河B均為非零向量，貝廣莉=同同”是"2與B共線”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（2020?全國高一課時練習）下列關(guān)于向量的命題正確的是（）

A.若|磯二舊|,則萬B.若|萬冃則之/広

C.若d=b,b=c9則Q=cD.若d/lb，b11c9則5//3

7.（2020?江蘇高三專題練習）設(shè)萬，分為非零向量，則是“庁與B方向相同”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2020?天津市軍糧城中學高一月考）下列說法正確的是（）

A.a//b>B//5則Z/G

B.起點相同的兩個非零向量不平行

c.若k+4=固+|3|,則々與萬必共線

D.若之/広則￡與行的方向相同或相反

9.（2020?廣東高三專題練習）在口/BC中，已知點E是邊力8上靠近點N的一個三等分點，則屈=（）

A.—CBH—CAB.—CB—CAC.—CB—CAD.—CBH—CA

33333333

10.（2020?海南鑫源高級中學高一期末）已知問=5,忖=4,￡與g的夾角6=g,則￡;=（）

A.10B.-10C.1073D.-IOA/3

二、提升練習

—1——

1.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?高一月考）已知正方形N8CQ的邊長為2,點2滿足工尸=5（Z8+/C）,則開.在

的值為（）

A.2B.-4C.4D.2>/2

2.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?高一月考）若向量2》滿足：同=8,同=4,月.￡與石的夾角為斗，則石在￡上的

投影向量為（）

1-1r--

A.--aB.—aC.2aD.—2a

44

3幾

3.（2020?晉中市?山西壽陽縣一中高一月考）已知向量|庁|=百,出|=逐，若扇5間的夾角為彳，則

恢-同=（）

A.730B.V61C.V78D.屈

4.（2020?河北高三其他模擬（文））已知正三角形的邊長為2,點用滿足兩=丄場+,而，則

32

応?礪的值為（）

5162211

A.-B.—C.—D.—

3993

5.（2020?青海西寧市?湼川中學高一期末）己知［0團=6,|麗|=2行，408=30。，若tsR,則

I厲+/方I的最小值為（

A.6B.273C.3D.6-2>/3

6.（2020?湖北武漢市第H^一中學高一月考）已知。是口45。所在平面內(nèi)的一定點，動點P滿足

——（ABACy

OP=OA+A+,/le（0,+8）,則動點P的軌跡一定通過口/8。的（）

\AC\）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

_._7T—

7.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?高一月考）已知凡6是平面上夾角為三的兩個單位向量，c在該平面上，且

（￡二）?,—"）=（）,則下列結(jié)論中正確的有（）

A.卜+目=1B.a-h=1

c.Z+B與工不可能垂直D.|C|<73

8.（2020?全國高考真題（理））設(shè)庁石為單位向量，且|庁+5|=1,則|庁一萬|=.

9.（2020?江西吉安市?高三其他模擬（理））向量。，B滿足同=1,|可=2,G與B的夾角為120°,則忸—可=

10.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?髙一月考）已知向量/滿足同=咽=2,的夾角為仇

（1）若6=^^,求的值；

（2）若cos6=；,求卜+xN（xe火）的最小值.

三、真題練習

1.（2020?海南高考真題）在口中，。是邊上的中點，則亙=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

2.（2021?浙江高考真題）已知非零向量￡,瓦），則=W是"K”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

3.（2020?全國高考真題（文））已知單位向量￡,g的夾角為60。，則在下列向量中，與石垂直的是（）

A.。+2石B.2a+bC?a-2bD.2a-b

4.（2019?全國高考真題（文））已知非零向量分。滿足時之瓦且（a-b）丄4則a與6的夾角為

（）

n7t2n5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

5.（2021?全國高考真題）已知向量￡+加+"=0，同=1,忖=忖=2,Q.B+'C+C.Q=?

6.（2020?全國高考真題（理））已知單位向量〉辦的夾角為45°,二與W垂直，則公-

參考答案

一、基礎(chǔ)練習

1.（2020?西臧日喀則上海實驗學校高二期中（文））若四邊形4SCZ）是矩形，下列說法中不正確的是（）

A.萬與而共線B.刀與麗相等

c.N萬與鼻是相反向量D.刀與麗模相等

【答案】B

【答案解析】

根據(jù)四邊形N8CD是矩形再結(jié)合共線向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判斷即可.

【過程詳解】

解：???四邊形力8a＞是矩形

:.AB〃CD且AB=CD,故A,。答案正確；

ZC=8。但就，麗的方向不同，故8答案錯誤；

=且ZO//C8且N萬,而的方向相反，故。答案正確；

故選：B.

2.（2020?全國高一課時練習）已知正六邊形力8cDEF,則放+前+匠=（）

A.HB.BEC.~ADD.CF

【答案】B

【答案解析】

由萬=無，結(jié)合向量的加法運算得出答案.

【過程詳解】

如圖所示，AF=CD

D

BA+CD+FE=BA+AF+FE=BE

故選：B

3.（2020?全國高三其他模擬（文））已知兩非零向量B，滿足Z丄0—Z）,且W=l,則內(nèi)一4=（）

A.1B.3C.4D.5

【答案】A

【答案解析】

利用向量的垂直關(guān)系，可得￡%=/，結(jié)合向量的模的運算法則化簡求解即可.

【過程詳解】

兩非零向量￡,b＞滿足a丄?-且啊=1,

可得a-5=J,

125-6|=^4（7-4a-b+b'=^4a'-4a2+b2=1?

故選：A.

4.（2020?全國高二課時練習）已知向量荏，AC，及滿足卩回=卜@+|豆GJ,則（）

A.AB=AC+BC

B.AS=~JC-JC

C.祝與團同向

D.就與在同向

【答案】D

【答案解析】

利用向量加法的意義，判斷刀與無同向.

【過程詳解】

由向量加法的定義方=4。+C8，故A、B錯誤

由耳=|%卜|5C|=|就|+R同，知C點在線段Z8上,否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾,所以太

與C8同向.故D正確，C錯誤.

故選：D.

5.（2020?全國高二課時練習）若落B均為非零向量，貝IJ“萬石=同同”是*與B共線”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【答案解析】

根據(jù)向量數(shù)量積和向量共線的定義可得選項.

【過程詳解】

解：訴=同同=>cos〈方，1〉=1,所以2與B的夾角為0°，

所以五與B共線，反之不成立，因為當2與5共線反向時，a-b=-\a\\b\.

所以“莉=區(qū)帆”是*與5共線”的充分不必要條件，

故選：A.

6.（2020?全國高一課時練習）下列關(guān)于向量的命題正確的是（）

A.若冃5|,則方B.若|叫=舊|,則1/広

C.若G=B,h=c>則2=&D.若方/広,b//c）則方/匯

【答案】C

【答案解析】

利用平面向量的知識對每一個選項逐一分析判斷得解.

【過程詳解】

選項A,向量的長度相等，方向不一定相同，從而得不出］=即該選項錯誤；

選項B,長度相等，向量可能不平行，，該選項錯誤；

選項C,3=&很=m顯然可得出。=1，，該選項正確；

選項D,2/広石/先得不出萬/疋，比如扇*不共線，且3=。，，該選項錯誤.

故選：C.

7.（2020?江蘇高三專題練習）設(shè)萬，B為非零向量，則“五〃3”是“2與B方向相同”的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【答案解析】

根據(jù)向量共線性質(zhì)判斷即可.

【過程詳解】

因為。，B為非零向量，所以石〃5時，,與B方向相同或相反，

因此"2//b''是'%與B方向相同'’的必要而不充分條件.

故選：B.

8.（2020?天津市軍糧城中學高一月考）下列說法正確的是（）

A.a//b>則Z/G

B.起點相同的兩個非零向量不平行

c.若歸+可=冋+向,則G與B必共線

D.若萬/広則Z與B的方向相同或相反

【答案】c

【答案解析】

對于A：當3時，不一定成立；

對于B：起點相同的兩個非零向量，當他們的方向相同或相反時，這兩個向量一定共線（平行）：

對于C：若卜+可=①+向，則￡與3同向；

對于D：當￡,B為零向量時，命題不正確.

【過程詳解】

對于A：當3=6時，a//b>b//c>但￡//"不一定成立，故A不正確；

對于B：起點相同的兩個非零向量，當他們的方向相同或相反時，這兩個向量一定共線（平行），故B不正

確；

對于c：若卜+可=向+|3|,則Z與3同向，即Z與B必共線，故c正確；

對于D：當Z，B為零向量時，命題不正確，故D不正確,

故選：c.

9.（2020?廣東高三專題練習）在□中，已知點￡是邊Z8上靠近點力的一個三等分點，則頃=（）

A.-CB+-CAB.-CB--CAC.-CB--CAD.-CB+-CA

33333333

【答案】D

【答案解析】

直接利用向量加法的三角形法則即可求解.

【過程詳解】

————1——1——1—7—

由題可得CE=CN+NE=C4+§/8=G4+5（C8-C4）=5C8+5ai,

故選：D.

10.（2020?海南鑫源高級中學高一期末）已知問=5,慟=4,￡與g的夾角。=拳則￡4=（）

A.10B.-10C.1073D.-10V3

【答案】B

【答案解析】

由平面向量數(shù)量積的定義可求解結(jié)果.

【過程詳解】

由平面向量數(shù)量積的定義可得：=5x4xcosl20°=5x4x］-；］=-10.

故選：B

二、提升練習

—1——■

1.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?高一月考）已知正方形/8CZ）的邊長為2,點尸滿足NP=］（Z8+/C）,則開.而

的值為（）

A.2B.-4C.4D.25/2

【答案】C

【答案解析】

利用數(shù)量積的定義和性質(zhì)，即可計算結(jié)果.

【過程詳解】

由條件可知NA?存=丄（布+就）?石二丄彳戸+丄鳶?就

=萬*,卻+-X|T4B||/1C|XCOS450

IB

=2+-x2x2V2x—=4.

22

故選：C

2.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?高一月考）若向量￡1滿足：同=8加=4,且￡與B的夾角為等，則否在￡上的

投影向量為（）

1-J--

A.--aB.—aC.2aD.—2a

44

【答案】A

【答案解析】

先計算出g在々上的投影，然后對比忖即可得到對應(yīng)的投影向量.

【過程詳解】

因為書在々上的投影為Wcos<>=4cos”=一2，

又因為|耳=8,所以刃在￡上的投影向量為

故選：A.

3九

3.（2020?晉中市?山西壽陽縣一中高一月考）已知向量|引=百，出|=n，若5,B間的夾角為彳，則

忸一同=（）

A.730B.V61C.778D.屈

【答案】A

【答案解析】

由忻斗J（2力了,展開利用數(shù)量積公式求解即可.

【過程詳解】

因為,卜6慟=遅，漏間的夾角為號，

所以12a一吋=J（2￡_1）2=、4|d-4a-6+|^|，

又q?BWcos=-3,

所以|2._,=丿4卜d-4a-6+1^1=V12+12+6=^30，

故選：A

4.（2020?河北高三其他模擬（文））已知正三角形Z8C的邊長為2,點/滿足兩=丄9+3而，則

32

而.麗的值為（）

5行16口22r11

A.-B.—C.—D.—

3993

【答案】C

【答案解析】

找到兩個基底B，CB，然后用兩個基底向量表示忘，MB，再通過向量的運算即可得出結(jié)果.

【過程詳解】

—————一（1—3—、2—3—

'：MA=CA-CM=CA-\-CA+-CB\=-CA——CB,

（32丿32

MB=CB-CM^CB-\-CA+-CB\=--CA--CB,

（32丿32

.?.応?麗=（g0一^可｛一；第一;可

=-^CA2+^-CB.CA+^CB2

964

2,1cc13“

=—x44--x2x2x——|——x4

9624

_22

~~9'

故選：C.

5.（2020?青海西寧市?湼川中學高一期末）已知|以|=6，|礪|=26，408=30。，若feR,則

|a+/而|的最小值為（）

A.6B.2GC.3D.6-2>/3

【答案】C

【答案解析】

由|刀+/N同=|（1-/）兩+/赤再平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的關(guān)系，即可根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求岀.

【過程詳解】

向+/研=|（17）厲+.西?

二(1T)2而+27(1-河方+『礪2

=36(17)2+2*1T)X6X2GX三+12/

=12,一I)+9,

3—?—

則當，=］時，|。4+以8|取得最小值為3.

故選：C.

6.(2020?湖北武漢市第十一中學高一月考)已知。是口/5C所在平面內(nèi)的一定點，動點尸滿足

——(ABACy

OP=OA+A+,2e(0,+co),則動點P的軌跡一定通過口/8C的()

U幽\AC\)

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【答案】A

【答案解析】

表示的是G方向上的單位向量，畫圖象，根據(jù)圖象可知點尸在N"4c的角平分線上，故動點尸必過三角

形的內(nèi)心.

【過程詳解】

4B4c

如圖‘設(shè)同"入國”

己知行，次均為單位向量,

故四邊形ZEOF為菱形，所以ZO平分NA4C,

——(ABAC}

由。尸=CM+/l+,2e(0,+oo)

[\AB\\AC\)

得萬=4而，又萬與而有公共點A,

故4。,尸三點共線，

所以點尸在NB/C的角平分線上，故動點P的軌跡經(jīng)過口/BC的內(nèi)心.

故選：A.

—?—?___ii._

7.(2020?江蘇鎮(zhèn)江市?高一月考)已知a力是平面上夾角為§的兩個單位向量，c在該平面上，且

R-一@=o,則下列結(jié)論中正確的有()

rr

A.|a+S|=lB.a-b=1

C.￡+5與"不可能垂直D.|c|<>/3

【答案】BCD

【答案解析】

因為3]是平面上夾角為:的兩個單位向量，所以設(shè)方=*就=區(qū)，建立直角坐標系，然后利用平面向

量的坐標運算數(shù)形結(jié)合逐項分析即可.

【過程詳解】

因為￡石是平面上夾角為。的兩個單位向量，所以設(shè)方=￡,就=幾建立如圖所示直角坐標系:

AP^c,a-c=PB,b-c=PC,由=0,即方.卮=0,

所以點尸在以8c為直徑的圓上，

所以故A錯誤；

,一N=P4=1,故B正確；

由圖可知，￡+3與工的夾角為銳角，所以Z+B與工不可能垂直，故c正確；

|窓|的最大值為：丄+立＜G，故D正確，

1122

故選：BCD

8.（2020?全國高考真題（理））設(shè)庁石為單位向量，且|2+3|=1,貝/。一?|=.

【答案】G

【答案解析】

整理已知可得：忖+@=而可，再利用￡1為單位向量即可求得2Z/=—1，對卩一力|變形可得:

_2].[+忖，問題得解.

【過程詳解】

因為*B為單位向量，所以口=M=1

所以+1=J口+By=+2￡.]+卩/==i

解得：2ab^-\

所以卜―*J（力丫=桐2_2/+印=也

故答案為：也

9.（2020?江西吉安市?高三其他模擬（理））向量2,B滿足同=1,忖=2,3與B的夾角為120。,則a-B卜

【答案】2月

【答案解析】

由于悔一可=J（22-By=J4J-42%+戸=丿4冋-4,/卜0$120。+W，然后代值求解即可

【過程詳解】

解：因為向量不，5滿足同=1，|可=2,萬與B的夾角為120。，

所以122—可=y]（2a-b'）2-\4a'-4a-b+b'

=J41d-4,夫卜05120。+%

I(―

=J4xl-4xlx2x——+4

VI2丿

=y/\2=2V3，

故答案為：2百

10.(2020?江蘇鎮(zhèn)江市?高一月考)已知向量滿足問=4，W=2,的夾角為6,

(1)若0=容求［伍+B)的值；

(2)若cos6=；,求B+xB|(xeR)的最小值.

【答案】(D12；(2)V15.

【答案解析】

(1)根據(jù)數(shù)量積的定義展開計算即可求得結(jié)果；

(2)采用先平方再開根號的方法先表示出R+xB］,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解出口+x@的最小值.

【過程詳解】

(1)a.(a+B)=］《+4.3=忖+|?|-|/?|cos^-=42+4X2X^-^-J=12；

(2)因為卜+xB卜Ja+x@=J4|+2x|a|-|^|cos^+x2|^|=74x2+4x+16>

所以|a+xB|=2Jx?+x+4=2J［x+丄］+—?

當》=——時,

2

三、真題練習

1.(2020?海南高考真題)在□NBC中，。是邊上的中點，則麗=()

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【答案解析】

根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.

【過程詳解】

CB^CA+AB^CA+2Ab^CA+2（CD-CA）-2Cb-CA

故選：C

2.（2021?浙江高考真題）已知非零向量￡広2則=W是"￡=尸的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【答案解析】

考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【過程詳解】

若a.c=b,c，則（a—b）c=0,推不出。=」；若a=B，則a.c=7,c必成立，

故"7"="""是"a=b"的必要不充分條件

故選：B.

3.（2020?全國高考真題（文））已知單位向量￡,石的夾角為60。，則在下列向量中，與否垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【答案解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)，結(jié)