2022-2023學(xué)年河南省開封市高一年級下冊第二次月考數(shù)學(xué)模擬卷（含解析）

2022-2023學(xué)年河南省開封市高一下冊第二次月考數(shù)學(xué)模擬卷

(含解析)

一、單選題(本大題共8小題，共40分)

1.設(shè)(+2')(α+z)的實(shí)部與虛部相等,其中α為實(shí)數(shù),則α=

A.-3B.-2C.2D.3

【正確答案】A

【詳解】試題分析：(1+2z)(a+i)=4—2+(1+24)i,由己知,得0一二=1-N,，解得α=-3，

選A.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題的形式出現(xiàn),屬得分題.高考中考

查頻率較高的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的幾何意義、共攏復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算.

這類問題一般難度不大,但容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,特別是i2=—1中的負(fù)號易忽略,所以做復(fù)數(shù)題

時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

2.下列結(jié)論正確的是()

A.底面是正三角形的三棱錐是正三棱錐

B.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形

C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐

D.一個(gè)直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉曲面所圍成的圖形叫做圓錐

【正確答案】D

【分析】對于選項(xiàng)ABC舉出反例或者找出矛盾即可判斷是錯(cuò)誤的，由圓錐定義即可得D正

確.

【詳解】對于A,根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知，底面是正三角形，且頂點(diǎn)投影必須在底面正三

角形的中心，

只是底面是正三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，故A錯(cuò)誤；

對于B,球體的表面不能展開成平面圖形，所以B錯(cuò)誤；

對于C,由正六邊形性質(zhì)可知，其中心到頂點(diǎn)的距離與邊長相等，

因此由勾股定理可知正六棱錐的側(cè)棱長必然大于其底面邊長，即C錯(cuò)誤；

對于D,根據(jù)圓錐定義即可判斷D正確.

故選：D

3.某學(xué)校共有980名學(xué)生，其中高一的學(xué)生有400名，高二的學(xué)生有300名，其余都是高

三的學(xué)生，為了解該校學(xué)生的體育鍛煉時(shí)間，按照高一、高二、高三三個(gè)級段進(jìn)行分層抽樣，

如果樣本容量為196,那么應(yīng)在高三的學(xué)生中抽?。ǎ?/p>

A.48名B.52名C.56名D.60名

【正確答案】C

【分析】由分層抽樣的抽樣比即可求解.

【詳解】由題意可知高三學(xué)生有980-400-300=280名，所以由分層抽樣的抽樣比可知

應(yīng)在高三學(xué)生中抽取——χl96=56名，

980

故選：C

4.《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)史上堪與歐幾里得《幾何原本》相媲美的數(shù)學(xué)名著.其第五卷

《商功》中有如下問題：“今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？”這里所說的圓

堡就是圓柱體，其底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少?若：取3,估算

該圓堡的體積為（I丈=10尺）

A.1998立方尺B.2012立方尺

C.2112立方尺D.2324立方尺

【正確答案】A

【詳解】試題分析：由底面半徑為，，則又R=所以「=8,所以該圓堡的

體積為r=S8311=1998立方尺，故選A.

考點(diǎn)：1.數(shù)學(xué)文化；2.旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積.

5.m,〃為空間中兩條不重合直線，α為空間中一平面，則下列說法正確的是（）

A.若〃ua,則m∕∕aB.若m_La,m〃〃，則

C.若加//ɑ,〃ua,則加〃〃D.若用_La,加_L〃，則〃//ɑ

【正確答案】B

【分析】

根據(jù)空間中的線線平行、線面平行、線面垂直的定義以及性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】A.因?yàn)椤ā?〃，〃ua,所以當(dāng)加Ua時(shí)，機(jī)//。不滿足，故錯(cuò)誤；

B.根據(jù)“垂直于同一平面的不同直線互相平行”可知B正確；

C.因?yàn)閣∕∕a,"ua,所以〃八〃可能是異面直線，故錯(cuò)誤；

D.因?yàn)榧觃La,mVn,所以〃Ua時(shí)也滿足，故錯(cuò)誤，

故選：B.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解答本題的關(guān)鍵是通過分析已知的平行垂直關(guān)系,找尋不符合條件描述的反例,

由此排除選項(xiàng).

6.如圖，在正方體NBC中，M為4R中點(diǎn),過4G且與CR平行的平面交

平面GCN于直線/,則直線/與48所成角的余弦值是（）

√6+√2

4DT

【正確答案】D

【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，由正方體的性質(zhì)可得AC〃平面4G8,延長84與

CW相交于點(diǎn)N,連接ClN,則GN即為直線/,再利用空間向量法求出異面直線所成角

的余弦值；

【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，在正方體48Cz）-中，AlB∕∕D,C,DleU

平面4G8,48U平面所以DC〃平面4GB,延長84與CM相交于點(diǎn)N,

連接GN,則GN即為直線/,設(shè)正方體的棱長為1,則Z(l,0,0),5(1,1,0),C1(0,1,1),

N(LT2),所以方=(0,1,0),C√V=(1,-2,1),設(shè)AB與CIN所成I角為e,則

同?m∣_76

2

C=同函

7.奔馳定理：己知。是“8C內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,AZOC,的面積分別為S/,Sβ,

Sc,則S-3+l‰?%+Sc?雙=鼠"奔馳定理''是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因

為這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理''.設(shè)。為三

S

角形/3C內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：OA+2OB+3δC=3AB+2BC+CA<則薩也=()

【分析】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到3厲+歷+2雙=0,再結(jié)合“奔馳定理”即可求

解結(jié)論.

【詳解】解：,??。為三角形45C內(nèi)一點(diǎn)，且滿足方+2方+31=3萬+2元+3,

??.ft4+20S+30C=3(0β-a4)÷2(0C-0S)÷(03-0C)=^303÷0β+20C=δ,

??SAOA^SBOB+Sc?OC=Q.

.SgOBS"OB?

SZUBCSAzj08÷SOC+SΔJOCSA+SB+SC3

故選：D.

.,CA八口ILHCOSBcosC2√3sinA

8λ.在Δ√15C中，角A,B,C的對邊分別為Q,b1,c,右------1---------=-----；-----，

bc3sinC

8=gTT,則α+c的最大值是()

AwB.?

22

C.√3D.3

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題中的邊角關(guān)系式化簡等式，將α+c轉(zhuǎn)化為某一角的某一三角函數(shù)的形式,

再運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)求解其最大值.

【詳解】根據(jù)題意，BlO_2百SinA

bc3sinC

▼…n7「2JJbcsinA26ab

所以ccosB+hcosC=---------------=—,

3sinC3

si∏Ccos5+CoSCSin5=2ΛΛ"S?J,即

由正弦定理可得：

3

./、2√3?sinA

sιn(π+C)=SiiM=-------------，

所以6=且，因?yàn)锽=1；,所以—^―=—^―=c=I,所以

2Sim4sinBsinC

.(2π)3GR`[Λπ^ι

a+c=sin√4÷sinC=si04+sin—

I3J22I6)

因?yàn)閛＜∕＜與,所%＜，+?￥，所以當(dāng)＜

?/?sin[A+^]<y∣3.

則α+c的最大值是√J.選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤故選：C.

二、多選題（本大題共4小題，共20分）

9.下列情況不適合抽樣調(diào)查的有（）

A.調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積

B.了解一批炮彈的殺傷直徑

C.了解高一（1）班40名學(xué)生在校一周內(nèi)的消費(fèi)

D.調(diào)查一批魚苗的生長情況

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查、全面調(diào)查的定義判斷即可.

【詳解】對于A：調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積采用全面調(diào)查，故A錯(cuò)誤；

對于B：了解一批炮彈的殺傷直徑采用抽樣調(diào)查，故B正確；

對于C：了解高一（1）班40名學(xué)生在校一周內(nèi)的消費(fèi)采用全面調(diào)查，故C錯(cuò)誤；

對于D：調(diào)查一批魚苗的生長情況采用抽樣調(diào)查，故D正確；

故選：AC

10.要考查某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表

法抽取種子，先將850顆種子按001,002,....850進(jìn)行編號，如果從隨機(jī)數(shù)表第2行第2

列的數(shù)開始并向右讀，下列選項(xiàng)中屬于最先檢驗(yàn)的4顆種子中一個(gè)的是.（下面抽取

了隨機(jī)數(shù)表第1行至第3行）（）

03474373863696473661469863716233261680456011141095

97749467744281145720425332373227073607512451798973

16766227665650267107329079785313553858598897541410

A.774B.946C.428D.572

【正確答案】ACD

【分析】依據(jù)題意結(jié)合隨機(jī)數(shù)表法直接讀數(shù)并滿足號碼不大于850即可.

【詳解】依據(jù)題意可知：向右讀數(shù)依次為：774,946,774,428,114,572,042,533,...

所以最先檢驗(yàn)的4顆種子符合條件的為：774,428,114,572

故選：ACD

本題考查簡單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)表法，掌握讀數(shù)的方法，屬基礎(chǔ)題.

11.在—8C中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,則下列各組條件中使得AZBC有

唯一解的是（）

A./?=10,^=45o,C=70

B.α=7,6=5,Z=60"

C.α=14,6=16,4=45"

D.a=3,c=4,cosC=—

3

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)所給條件，結(jié)合正弦定理、余弦定理，求得其余的邊長或角，判斷三角形是否

唯一即可.

【詳解】對于A,因?yàn)閆=45°,C=70°,所以8=65°，結(jié)合6=10,AZ8C唯一確定；

對于B,由正弦定理得，sin6=變巴且=之叵<1.因?yàn)閎<α，所以8</，所以此時(shí)B

a14

只有一個(gè)解，Δ√4BC唯一確定；

對于C,由正弦定理得，sin8=生竺4=迪.因?yàn)槿恕?，所?>/,且SinB=逑>YZ,

a772

TT3TT

所以此時(shí)8在（一,一）中有兩個(gè)解，不唯一；

44

222

對于D,由余弦定理知，a+b-c=2abcosC，代入得/-26—7=0，

解得b=l+2√Σ或6=1—2√Σ（舍），/8。唯一確定；

故選：ABD

12.已知正四棱臺(tái)用GR的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=2AB∣=2,

AA[=6,E為A8DCl內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.44〃平面8。G

B.球。的表面積為8兀

C."+￡1&的最小值為2jg

D.若/E與平面友)￡所成角的正弦值為與，則E點(diǎn)軌跡長度為半π

【正確答案】ABD

【分析】對于A,由條件先證線線平行，進(jìn)而證得線面平行；

對于B,先假設(shè)球心。的位置，利用勾股定理與半徑相等建立方程組進(jìn)而確定。的位置，

可求得球。的表面積；

對于C,先判斷E落在Go上，再進(jìn)一步判斷E與。重合時(shí)，E4+W4∣取得最小值；

對于D,利用面面垂直的性質(zhì)作出面,故NZEE為ZE與平面8Z5G所成角，

再利用sinNAEF得出EF長,繼而判斷點(diǎn)E軌跡為圓弧.

【詳解】對于A,如圖1,設(shè)底面Z8CZ)對角線交于點(diǎn)d

由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征易知AAx與CC1的延長線必交于一點(diǎn)，故/,4,CG共面，

又面4B∣C]D"/面ABCD,而面AAlQC∏面AfBfClDl=&G,

面Z4GCΓ∣面ZBCZ)=/C,?故ACjlAC,即4￡〃/。2；

由平面幾何易得4G=&，/。2=；/c=；x2&=行，即4G=%。2；

所以四邊形AA1C1O2是平行四邊形，故AAJicpi,

而Z4<Z面&)G，CIo2u面BDCI,所以44〃平面故A正確；

圖1

對于B,如圖2,設(shè)。為的中點(diǎn)，。為正四棱臺(tái)外接球的球心，則4O=4O=R,

在等腰梯形/4GC中，易得。然=/〃：—g(/c—4G)=(何一(乎)即

。|。2=^y^'

為方便計(jì)算，不妨設(shè)a。=。,。2。='則由4。/+/=4。2=4。2=工。22+〃，

即(*)+/=(亞『+乩即/一〃=1，

又α+b=O02=當(dāng)，解得α=手力=0,即。與C重合，故R=AO=6,

故球O的表面積為4兀廢=4兀χ(JΣ)=8兀，故B正確；

圖2

對于C,由圖2易得8。1Olo2>BDlAC,OiO2r>AC=O2,OxO2,ZCu面AA1C1C,

故80_/面44CC,

不妨設(shè)E落在圖3￡處，過E'作E'EJ/BD,則/耳上面必GC,故EELEl4,

1

故在RtAZE[E'中，E[A<E'A(直角邊小于斜邊)；同理，EiAi<EAi,

所以E∕+E∣4<EN+E'4,故動(dòng)點(diǎn)E只有落在G。上，￡4+?4才有可能取得最小值;

再看圖4,由4關(guān)于G。對稱點(diǎn)為C可知，

故EA+EAi≥AC=2板,故C錯(cuò)誤；

圖3圖4

對于D,由選項(xiàng)C可知，8。工面44CC，BDU面BDCI,故面44∣CC?L面BDG,

在面44CC內(nèi)過A作ZEJ.G。交CQ于尸，如圖5,

則/bu面AAiClC,面AAiClC∏面BDCl=G。，故Nb_L面BDCx,故ZAEF為AE

與平面G所成角，

在aGOC中，Clo=AAi=6,CeI=AA=6,OC=-AC=41,故^C∣OC為正

三角形，即NGoC=60。，故芷=sin60°,/E=Y?,

AO2

在RtAZEF中，sinZAEFtanZAEF=—=-,EF=√2.即E點(diǎn)在以尸為

72EF

圓心，枝為半徑的圓與ABDC］所交的圓弧，

而/O=立=Lr,故圓弧所對圓心角為生（如圖6所示平面圖），所以軌跡長為迤E,

2233

故D正確.

故選：ABD.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于確定E的位置，先假設(shè)E在外(記為E'),由勾股邊小

,

于斜邊推得EiA+EiAy<E'A+E4EA+EAi,進(jìn)而得到E只有落在CQ上，再利用SWE

為定值及基本不等式，推得E與。重合時(shí)，EZ+E4取得最小值；對于動(dòng)點(diǎn)，我們一般要

考慮特殊位置，可提高我們做題速度.

二、填空題(木大題共4小題，共20分.其中第16題第一個(gè)空2分,第二個(gè)空3

分)

13.已知總體劃分為3層，通過分層抽樣，得到各層的平均數(shù)分別為45,48,50,各層的樣

本容量分別為30,50,20,則估計(jì)總體平均數(shù)為.

95

【正確答案】—##47.5

2

【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義即可求解.

故47.5

14.向量Z=(l,2),g∣=2√?,IZ-3|=26，向量Z與B的夾角為氏則COSe=

【正確答案】-

Irl八Q?b

【分析】依題意可得同，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到7B，最后根據(jù)COSe=LE計(jì)算可

得；

【詳解】解：因?yàn)閆=(1,2),∣B∣=2逐，所以口=JPTF=V?,因?yàn)閨￡一司=26，所

以(α-B)=20>即/-22.1+片=20,即Ial-2α?6+∣6∣=20，所以

(√5)2-2??6+(2√5)2=20,所以=3

5

所以cosθ2

pp∣^^^√5×2√5^4

故一

4

15.水平放置的A∕8C的斜二側(cè)直觀圖如圖所示，若4G=2,的面積為2后，則

44的長為.

【正確答案】√2.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出8C、的長，再用余弦定理求出44的長.

【詳解】如圖所示，

.?△ABC的面積為-AC-BC^-×2×BC=2y∣2,

22

.?.5C=2√2>

.?.5lC1=∣5C=√2,

222O

.?.45I=2+(√2)-2×2×√2CO545=2,

AiBl=??∕2.

故√L

本題考查了斜二測畫法的應(yīng)用問題和三角形邊長與面積的計(jì)算問題，屬于中檔題.

Jt

16.如圖在三棱錐S-4SC中，SZ=SB=SC,且Z4S8=NBSC=NCS4=—,朋\N

2

分別是ZB和Se的中點(diǎn).則異面直線MW與BN所成的角的余弦值為，直線SM與

面SAC所成角大小為.

【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求線線角與線面角.

【詳解】因?yàn)镹ASβ=N8SC=NCW=,,所以以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，SA,SB,SC為x,y,z軸

建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)SA=SB=SC=2，則

M(1,1,0),8(0,2,0),N(0,0,1),Λ(2,0,0),C(0,0,2).

-巫，所以異面直線SN與

因?yàn)榈?(1,1,0),BN=(0,-2,1),cos(SM,BN)-2

√2√55

BN所成的角的余弦值為叵，

5

面SNC一個(gè)法向量為麗=（0,2,0）,則由cos（啊,麗）==F得（礪,西）=：，

TT

即直線SN與面S4C所成角大小為一.

4

利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破"建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐

標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)：第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的

法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟）

17.在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)矩形。48C,IOq=百|(zhì)。4|,點(diǎn)C在第二象限，點(diǎn)A所對應(yīng)的復(fù)數(shù)

是2+i,求另外兩個(gè)頂點(diǎn)民C所對應(yīng)的復(fù)數(shù).

【正確答案】頂點(diǎn)8對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2-√J+（2√J+l）i，頂點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-JI+2j1i

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

12

【詳解】點(diǎn)A所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,則4(2,1),設(shè)N4Qχ=a,則Sina-f=.COSCC-—f=,

√5√5

∣O4∣=√l2+22=√5,∣OC∣=√3,√5=√Γ5,

?C(~λ∕15sinα,V15cosα,j,因此C(-?/?,273j,

頂點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一G+2√3i,

由于E=無=(2,1),所以8(2-百,26+1),

頂點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2-+(2√3+l)i

18.平面內(nèi)給定三個(gè)向量Z=(3,2)1=(—1,2),"=(4,1).

(2)求滿足a=疝+的實(shí)數(shù)m和〃;

(3)若(a+CC)J.(2」一a),求實(shí)數(shù)上.

581?

【正確答案】(1)6；(2)加=—,〃=—；(3)k=-----.

9918

【分析】

(1)利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算得到32+加-2]=(0,6),再求模長即可;

(2)先寫〃石+晶的坐標(biāo)，再根據(jù)Z=zwB+元使對應(yīng)橫縱坐標(biāo)相等列方程組，解方程組即

得結(jié)果；

（3）利用向量垂直則數(shù)量積為零，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列關(guān)系求出參數(shù)即可.

【詳解】解：(1)由Z=(3,2)1=(-1,2),J=(4,1),得3t=(9,6)[=(-1,2),2"=(8,2)

.?.30+?-2c=(9-1-8,6+2-2)=(0,6),二∣3?+6-2c∣=√02+62=6；

(2)*.*=(-zπ,2w),λic=(4w,w),mb+nc=(4∕?-τw,2∕π+??),

,??a=mb+nc^α=(3,2)=(4/7-w,2w+?),

477-tn=3S8

故《,解得〃?=7；,〃=入；

2m+τ?=299

,,

(3)?a=(392)9kc=(4k9k)f??α+左C=(3+4左,左+2),

'?'a=(3,2),2b=(—2,4),一α=(—5,2),

???[a+kc)_L(2b一ɑ),.,.(α+Zτc)?(2^-Q)=O,即一5(3+4左)+2(左+2)=O,

解得左=一口.

18

結(jié)論點(diǎn)睛：

若。=(%,乂)[=(》2，歹2)，則￡//5等價(jià)于玉歹272%=°；等價(jià)于不%+乂％=°?

19.如圖，。是直角三角形/8C斜邊BC上一點(diǎn)，AC=6DC.

（1）若ND4C=3O°,求角NZDC的大小;

(2)若BD=2DC,且。C=I,求的長.

【正確答案】⑴120°

⑵√2

【分析】（1）先由正弦定理求出SinNZZ）C=Y3，結(jié)合得到NZDC=6+60°>60°，從

2

而得到N∕DC=120°;(2)求出3C=3,ZC=G，進(jìn)而得到角C的余弦值，再使用余弦

定理求出ZQ的長.

【小問1詳解】

ACDC

在ANOC中，由正弦定理得

sinZADCsinZDAC

所以，sinN/OCJCsinHC=AL^

DC22

又ZADC=B+NBAD=B+（90°-ZDAQ=B+60°>60°

所以，NNOC=120°.

【小問2詳解】

由BD=2DC,且。C=I知：BC=3,AC=6

所以，直角三角形/6C中，CoSC=WC=走

BC3

在△[/）C中，由余弦定理得

AD2=AC2+DC2-2/C?DCcosC=（Tip+1-2√JX1X*=2

所以，AD=E

20.如圖，在三棱柱4SC-4月G中，AC=BC=I,NNCB=I20。，AAl=Aβ^2,

ZA1AC=60°.

(1)證明：平面ZBCJ_平面44C￡.

（2）若P為CG的中點(diǎn)，求用到平面48尸的距離,

【正確答案】（1）證明見解析；（2）上漢.

5

L

【分析】（1）利用余弦定理可求出4C，利用勾股定理可證4C?/C,A1ClBC,從而

可證結(jié)論：

（2）由題知明=憶-4砧=2例8=然后利用等體積法可求.

【詳解】（1）證明：如圖，連接4C,在C中，Λ,A=2,AC=I,ZA1AC=60°,

由余弦定理得4。=75，

所以4。？+力。2=,/,所以LNc.

同理4。LBC.

又因?yàn)锽CCNC=C,

所以4C_L平面/8C.

因?yàn)锳iCU平面A1ACC1,

所以平面ASC工平面4ZCG.

（2）解：過G作GZ）J_ZC于。，連接3。，BC-

由（1）知4C_L平面Z8C,所以6。，平面Z8C.

因?yàn)楸?43=CC；=2,ZA1AC=Z-CiCD=60°,所CT）=1,C1D-?/?.

因?yàn)橐?C5=120°,所以NZX3=60°?

因?yàn)锽C=CO=I,所以BD=L所以BG=JBgCD=2?

在AGBC中，因?yàn)锽Q=2,BC=I,CG=2,

E+22-22?

所以cos/GCS

2×1×24

因?yàn)槭瑸镃G的中點(diǎn)，所以吊尸=；CG=IBP=,∕l+l-2χlXIXJ=—

V42

在A4<8中，因?yàn)?^=2,4尸=1，BP=?

2

I2+22-

所以27,

cosZBAP=J

12×1×28

所以sin44尸=邊5，于是將尸3的面積為』X1X2×-=-

18288

=

因?yàn)閂P-A&B=Ke-ABIB=Kj-AAiB。kABC，

所以三棱錐4—43尸的體積為J?χl?χlχlχ正χg=?l

3224

設(shè)瓦到平面43尸的距離為d.

因?yàn)槿忮F4-BiBP的體積與三棱錐4一4JSP的體積相同,

所以JLXYI5χd=J.,解得［=2姮,

3845

即Bl到平面ABP的距離為考5.

21.如圖，在四棱錐尸-ZBC。中，AD=2,AB=BC=CD=I,BC∕∕AD,NPAD=9。，

NP6/為銳角，平面0氏4,平面尸60.

（2）若/0與平面PBO所成角的正弦值為名，求二面角尸-60—。的余弦值.

4

【正確答案】（1）證明見解析：（2）—YZ.

【分析】（1）在平面尸氏4內(nèi)過A作于￡,得ZEJ.平面P8。，AELBD,過

民C分別作BM、CN上AD于M、N,取AD中點(diǎn)為Q，得BDJ.,所以8。1平

面P8Z,得8D1P/，再由線面垂直的判定定理可得答案.

（2）二面角尸一6。一。的平面角與二面角P-8。—/的平面角互補(bǔ)，由（1）可得NPR4

為二面角尸一60—N的平面角，在Rt。中，E為/。與平面尸8。所成的角，

由正弦值為也，得4E="BE=巨,CoSNP8/=也可得答案.

4222

【詳解】（1）證明：在平面P以內(nèi)過A作LPB于E，

因?yàn)槠矫鍼BA_L平面PBD,又平面PBA∩平面PBD=PB,

所以NEL平面PB。，???8DU平面尸8。，所以4E上BD，

過3,C分別作3M、CN工AD于M、N,

取中點(diǎn)為。，則8C=。。，S.BC//QD,

所以四邊形BC。。是平行四邊形，BQ=CD,

所以QD=30=0/=1,

所以D48。=90°,BDIAB，

QABIAE=A,且Z8、NEU平面PA4,所以80人平面尸歷1,丁尸4<=平面產(chǎn)區(qū)4

所以6。，口,因?yàn)槭?LZO，ADPlBD=D,尸/，平面4SCZ）.

（2）二面角P-BZ）-C的平面角與二面角P—一4的平面角互補(bǔ)，

由（1）可得8。工平面PA4,因?yàn)镻Bu平面0區(qū)4,所以BD上PB,

所以NPBN為二面角尸—8。一/的平面角，連接￡0，

在Rt△/&>中，//DE為ZZ）與平面尸8。所成的角，由其正弦值為YZ,AD=2,

4

可得？IE=Y2，因?yàn)?6=1,所以BE=XZ,所以COSN尸