數(shù)學《一飛沖天2024》導數(shù)壓軸題匯總 原題版

《一飛沖天2024》導數(shù)壓軸題匯總

—.解答題(共49小題)

I.已知a>0,設函數(shù)/(x)=(2x-a)lnx+x,f(x)是f(x)的導函數(shù).

(I)若a=2,求曲線/G)在點(1,/(1))處的切線方程；

(II)若/(x)在區(qū)間(1,+8)上存在兩個不同的零點XI，X2(X1<X2).

(i)求實數(shù).范圍；

(ii)證明：-2)<Q-e)(a-2e)(a-3)

X]-12e

注：其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).

2.已知函數(shù)f(x)=alnx,g(x)(x>0>

x

(1)若。=1,證明：/(x)Ng(x)；

(2)若函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線，求實數(shù)。的取值集

合;

(3)設h(x)=f(x+1)蔣得x)，(x>-l>若函數(shù)產(chǎn)〃(x)有兩個極值

點XI,XI,且X1<X2,求證：h(X2)>號,

3.已知函數(shù)/(x)="。08%,g(x)=acosx+x(a<0),曲線y=g(x)在里=無處的切線

6

的斜率為3.

2

(1)求實數(shù)。的值；

(2)對任意的x€0],tf(x)-g'(x)〉0恒成立，求實數(shù)/的取值范圍；

(3)設方程/(x)=g'(x)在區(qū)間&n兀4^-,2n兀4^-)(n￡N+)內(nèi)的根從小到

大依次為XI，XI，皿，…，求證：Xn+\-Xn>2n.

4.設函數(shù)f(x)=Inx+x2-ax(Q€R).

(I)當4=3時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)/(%)有兩個極值點XI，X2，且X1E(0,1],求證：/(xi)-/(X2)2-金?+歷2；

4

(III)設g(x)=f(x)+2歷&x?對于任意尤(2,4),總存在[―,2]，使g

6Vx2

(x)>k(4-a2)成立，求實數(shù)左的取值范圍.

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5.已知函數(shù)/(x)=(x2-a)

(I)若。=3,求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)若XI、X2為/(x)的兩個不同的極值點，且

)-eX：f(x2欠4，求。的取值范圍；

IcJ-A1/exA9/Ie1X1X9A?x9

2

(III)對于任意實數(shù)a€[-L,A],不等式y(tǒng)(a)＜°3+卷__-3a+6恒成立，求6

的取值范圍.

6.已知函數(shù)/(x)-左sinx在區(qū)間(0,g-)內(nèi)存在極值點a.

(1)求實數(shù)人的取值范圍；

(2)求證：在區(qū)間(0,TT)內(nèi)存在唯一的仇使/(B)=1,并比較B與2a的大小.

7.已知f(x)=2X2+COS2X-1.

(I)求曲線y=/(x)在(0,/(0))處的切線方程；

(II)判斷函數(shù)/(x)的零點個數(shù)；

(III)證明：當—(0時,x/+/sin2x)2sinx+sin左

3_

8.已知函數(shù)f(x)=(x-1)x+1)2~aXf

3

(I)當a=l時，求＞=/(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(II)若(X)有兩個極值點XI，X2,且X1〈X2.

(i)求實數(shù)〃的取值范圍；

(ii)求證：*2-%IVQ+3.

x2

9.已知函數(shù)/(x)=lnax-I(〃＞0)有最大值-2,

(I)求實數(shù)Q的值；

(II)若與y=，-m有公切線(x+1)+lna,求左(m-k)的值.

(III)若有Inx^k(x+1)求左(m-k)的值.

10.已知函數(shù)/(x)=-ir2-alnx+b(aCR).

(I)若曲線＞=/(%)在x=l處的切線的方程為3x-y-3=0,求實數(shù)q,b的值；

(ID若X=1是函數(shù)/(X)的極值點，求實數(shù)Q的值；

(III)若-2WqV0,對任意xi，xiE(0,2],不等式,(xi)-/(X2)|＜創(chuàng)一L-_1_|恒

X1x2

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成立，求冽的最小值.

11.已知函數(shù)/(%)=x2-alnx,g(x)=(?-2)x+b,(a,Z?GR).

(1)若曲線》=/(%)在點(L/(D)處的切線與〉軸垂直，求。的值；

(2)討論/(x)的單調(diào)性；

(3)若關于X的方程/(X)=g(X)在區(qū)間(1,+8)上有兩個不相等的實數(shù)根對，X2,

證明：x\+x2>a.

12.設函數(shù)/(x)=lnx+—,mGR.

x

(I)當加=e時，求函數(shù)/(x)的極小值；

(II)討論函數(shù)g(x)=/(x)-/點的個數(shù)；

(III)若對任意的6>a>0,f(b)-f(a)<i恒成立,求加的取值范圍.

b-a

2

13.設函數(shù)f(x)春-L

(1)若函數(shù)g(%)=依-％(x)在R上單調(diào)遞增，求左的最小值；

(2)證明：當x20時，f(x)2-cosx；

(3)若對于任意的不等式e3Nsinx-cosx+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

14.已知函數(shù)/(x)-alnx,aCR.

(1)當a=0時，若曲線y=/(x)與直線歹=而相切，求左的值；

(2)當a=e時，證明：/(x)2e；

(3)若對任意xC(0,+8),不等式/(x)-alnx>2a-In(2a)恒成立，求Q的取值

范圍.

15.已知函數(shù)/(X)=lnx,g(x)=x2-x+1,h(x)=f(x)-g(x).

(I)求函數(shù)〃(x)的極值；

(II)證明：有且只有兩條直線與函數(shù)/(x),g(x)的圖象都相切；

(III)若2。62%+濟Q2/(X)恒成立，求實數(shù)4的最小值.

16.已知函數(shù)/(x)=x3+klnx(任R),/(%)為/(%)的導函數(shù).

(I)當k=6時，

(z)求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(ZZ)求函數(shù)g(x)=f(x)-f'(x)J■的單調(diào)區(qū)間和極值；

X

(II)當左三-3時，求證：對任意的XI,X2曰1，+8),且XI>X2，有

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f7(X])+f'(X)、f(x))-f(x)

2>-----.......—2

2xrx2

17.已知函數(shù)/(x)=e-￥-ax,g(x)=ln(x+2)-a,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a￡R.

(1)當a>0時，函數(shù)/(x)有極小值/(I),求a；

(2)證明：f(x)>g(x)恒成立；

(3)證明：1n2+2+(]1Tl■)3+…

18.已知函數(shù)/(x)—lalnx-x+a,g(x)=(a-A)x2--.

22

(1)當a=1時；

(z)求曲線y=/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(ii)求曲線y=/(x)在點(e,f(e))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/?(x)=f3-g(x)有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)-2(a+1)x+2alnx(aGR).

(1)當。=2時，求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)有極大值，試確定。的取值范圍；

22a

(3)若存在xo使得f(xo)+Clnxo-2a)<-^.x^_(^-a+2)乂0a2■成立，求

的值.

20.已知函數(shù)/(x)=x-Inx-2.

(I)求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(II)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(III)若對任意的xe(1,+8),都有x/〃x+x>左(X-1)成立，求整數(shù)左的最大值.

21.已知函數(shù)f(*)=ax-§*，g(x)=ln^―

(1)求函數(shù)/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)F(x)=g(x)-f(x),0<@<工，x>0.

4

(i)證明F(x)+F(國)=0；

X

(ii)求函數(shù)尸(x)在區(qū)間(0,」亍)上零點的個數(shù)并證明.

a

22.已知函數(shù)/(x)=lHL-k.

X

(I)當左=0時，求曲線》=/(%)在點(e,/(e))處的切線方程；

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(II)若/(x)WO恒成立，求實數(shù)左的取值范圍;

(III)證明：歷/+]號+…+]/<!/卷+…(n〉l，n€N*>

23.已知函數(shù)/(x)=a，-sinx-a.(注：e=2.已82函…是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當°=2時，求曲線y=/(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)當。>0時，函數(shù)/G)在區(qū)間(0,與)內(nèi)有唯一的極值點xi.

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)求證：/(x)在區(qū)間(0,TT)內(nèi)有唯一的零點xo，且xo<2xi.

24.已知函數(shù)f(x)=21nx+卜旦，GR

X

(1)當Q=-2時，求曲線(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)求/(%)在區(qū)間(1,+8)上的極值；

2

(3)設函數(shù)g(x)=(x-a)21nx,h(x)—?當-2時，VxiG[l,e],Vx2G[2,

x

3],不等式g(X1)《h2(x2)恒成立，求a的取值范圍.

25.已知函數(shù)/(x)=ax,g(x)=logax,其中a>l,

(1)若h(x)+^(x>0)；

fix)

(/)當°=2時，求/?(x)的單調(diào)區(qū)間；

(z'z)曲線y=/?(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

1

(2)證明：當@>晶時，存在直線/，使直線/是曲線y=/(x)的切線，也是曲線夕=

g(X)的切線.

26.已知函數(shù)/(x)=ax-Inx,a￡R.

(I)若a」，求函數(shù)/(x)的最小值及取得最小值時的x值；

e

(II)求證：InxVd-1；

(III)若函數(shù)/(x)(tz+l)如對在(0,+8)恒成立，求實數(shù)q的取值范圍.

27.已知函數(shù)/(x)=xlnx-x+Lg(x)=mlnx+ex(mGR).

(1)求/(x)的最小值；

l-a

(2)若OVQVI,且be③=p求證：log/>l；

(3)若g(X)有兩個極值點XI，X2，證明：\g(XI)-g(X2)|<1.

28.已知a>0,函數(shù)/(%)=xlna-alnx+(x-e)2,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

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(I)當a=l時，求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(II)當a=e時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)求證：函數(shù)/(x)存在極值點，并求極值點xo的最小值.

29.已知函數(shù)/(x)=x(Inx-m-1),

(I)若機=2,求曲線>=/(x)在點(e,/(e))處的切線方程；

(II)當x>l時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(III)若對于任意x€[e,e2),都有/(x)<4/〃x成立，求實數(shù)加的取值范圍.

30.已知函數(shù)/(x)=x-alnx,g(*)(a€R>

x

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)的極值；

(2)設函數(shù)/(x)=于3-g(x),求函數(shù)為G)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若在[1,e](e=2.718)上存在一點xo，使得/(xo)<g(xo)成立，求。的取值范

圍.

31.已知函數(shù)f巫-1.

x

(1)求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=f(X)/■有兩個零點XI，X2(其中X1<X2).

X

(/)求實數(shù)。的取值范圍；

(拓)若存在實數(shù)"，當"W3時，使不等式J：+nx@七恒成立，求實數(shù)機的取

值范圍.

32.已知a,Z?GR,函數(shù)/(x)=x+asiwc+blnx.

(1)當a=0,6=-1時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a=J，b聲。時，設/G)的導函數(shù)為/G)，若/G)>0恒成立，

求證：存在X0，使得/(xo)<-1；

(3)設OVqVl,b<0,若存在xi，xiE(0,+°°),使得/(xi)=f(%2)(%1W]2),

證明：￡+恒

33.已知函數(shù)f(x)=yfx~cilnx,g(x)=(cosx-1)ex,其中aER.

(1)若曲線>=/(x)在x=l處的切線Zi與曲線y=g(x)在x=_ZL_處的切線及平行，

2

求a的值;

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(2)右xW(0,ii)時，求函數(shù)g(x)的最小值；

(3)若/(x)的最小值為〃(Q),證明：當QE(0,+°°)時，h(〃)W1.

34.已知函數(shù)/(x)=e^ln(1+x).

(I)求曲線歹=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(II)設g(x)=f(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(III)證明：對任意的s,tE(0,+8),有于(s+/)>/(s)+f(t).

35.已知定義域均為尺的兩個函數(shù)g(x)=",h(x)=(X-Q)2.

(I)若函數(shù)/(x)=g(x)h(x),且/(x)在x=-1處的切線與x軸平行，求Q的值;

(II)若函數(shù)機(X)=g(X-1),討論函數(shù)加(X)的單調(diào)性和極值；

X

(III)設a,b是兩個不相等的正數(shù)，且歷6=6+歷Q,證明：a+b+lnCab)>2.

36.已知函數(shù)/(%)(/+3x+3)-m(x2+2x-3)(e鳧2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若冽=2,求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(X)有3個極值點XI，X2,X3(X1>X2>X3).

(i)求實數(shù)冽的取值范圍；

11

(ii)證明：x3>-(.).

J2x12X2

37.已知函數(shù)f(x)(a+b)lnx-包a,^eR-

(1)若8=-b求/G)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若/(%)不單調(diào)，且/(I)<0.

(z)證明：f(a)+f(b)<-2lnab；

(ii)若/(xi)=f(X2)=f(%3)，且xiVX2V%3，證明：

Xj+x3+ab>3(a+b)--y(a+b).

13X1x3b2+2ab+3a2

38.已知函數(shù)/(x)=lnx+ax,在點(t,/(力)處的切線方程為y=3x-1.

(1)求。的值；

(2)已知左W2,當x>l時，/(x)>左(1-芭)+2x-l恒成立，求實數(shù)左的取值范圍;

⑶對于在(0,1)中的任意一個常數(shù)b,是否存在正數(shù)X0,使得e,(Xc+l)-3xO

<1,請說明理由.

39.已知函數(shù)f(x)=klnxT(k€R>

e

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(1)若函數(shù)>=/(%)為增函數(shù)，求左的取值范圍;

(2)已知0〈xi〈x2.

⑴證明：-?—?->_lrr^_>

XX.V.V.

工-A1A1

(ii)若——=——證明：\f(xi)-f(%2)|<1.

X.Xc

e1e2

40.已知函數(shù)f(x)J+inx，g(x)=-A-+^-lna?為自然對數(shù)的底數(shù))?

ax

ax62

(1)當4=1時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)Q>0時，若函數(shù)(x)與歹=g(X)的圖象有且僅有一個公共點.

⑺求實數(shù)。的集合；

(拓)設經(jīng)過點(6,c)有且僅有3條直線與函數(shù)y=/(x)的圖象相切，求證：當

時，春(1上)+c<f(b)<u

Ne

41.設/(x)=，，g(x)=lnx,h(x)=sinx+cosx.

(1)求函數(shù)y=h(x),xe(0,3ir)的單調(diào)區(qū)間和極值；

f(x)

(2)若關于x不等式/(x)+h(x)》G+2在區(qū)間[0,+8)上恒成立，求實數(shù)a的值；

(3)若存在直線y=f,其與曲線丫=*和y=g(x)共有3個不同交點/Qi,力，B

f(X)X

(X2，，)，C(X3，/)(X1<X2<X3),求證：XI，X2,X3成等比數(shù)列.

42.已知a、Z?ER,設函數(shù))=/(x)的表達式為/(x)=a9x2-b9lnx(其中x>0).

(1)設a=l,6=0,當/(x)>/1時，求x的取值范圍；

(2)設a=2,b>4,集合。=(0,1],記g(x)=2cx-3(c￡R),若y=g(x)在

x

D上為嚴格增函數(shù)且對。上的任意兩個變量s,f,均有/(s)》g(t)成立，求c的取值

范圍；

(3)當a=0,b<0,x>l時，記版(x)=[f(x)]n+-----------,其中幾為正整數(shù).求

[f(x)]n

證：[hi(x)]篦+22旗(x)+2”.

43.已知f(x)=x2-4x-6lnx.

(1)求/(x)在(1,/(D)處的切線方程以及/(x)的單調(diào)性；

(2)令g(x)=f(x)+4x-(a-6)Inx,若g(x)有兩個零點分別為xi,X2(xi<X2)

且xo為g(x)唯一極值點.求證：XI+3%2>4XO.

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44■已知函數(shù)f(x)=klnx+-^"(k€R>

e

(1)若函數(shù)y=/(x)為增函數(shù)，求左的取值范圍；

(2)已知0<制<12.

(z)證明：——>-lir^->1—；

e，24'IX1

(ii)若——=——證明：\f(xi)-f(X2)|<1.

X.Xc

e1e2

45.已知函數(shù)/(x)=x-alnx,g(x)=-上包(Q〉0).

x

(I)若4=1,求函數(shù)/(X)的極值；

(II)設函數(shù)〃(x)=f(x)-gG),求函數(shù)〃(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)若存在xo€[l,e],使得/(xo)<g(xo)成立，求Q的取值范圍.

46.已知函數(shù)/(x)=eaxX'cosx,h(x)-kx-1,(。，任R).

(I)若函數(shù)〃(x)在x=l處的切線與直線1垂直，求實數(shù)人的值；

2

(II)若刀(X)20恒成立，求實數(shù)左的取值范圍；

(III)設。>0,證明：當