專題01勾股定理重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（12大題型15道拓展培優(yōu)）（原卷版）

專題01勾股定理重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（12大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一勾股定理的證明方法題型二以弦圖為背景的計(jì)算題題型三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題題型四勾股定理與無(wú)理數(shù)題型五勾股樹問(wèn)題題型六用勾股定理解三角形題型七已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離題型八以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積題型九利用勾股定理求兩條線段的平方和題型十利用勾股定理證明線段平方關(guān)系題型十一勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題題型十二勾股定理與折疊問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；3.利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段知識(shí)點(diǎn)2勾股定理證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.【經(jīng)典例題一勾股定理的證明方法】【例1】（2024上·河北石家莊·八年級(jí)校考期末）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出了不同的方案，可以利用面積驗(yàn)證勾股定理的是（

）甲：由四個(gè)全等的直角三角形按圖1所示的方式拼成一個(gè)大正方形乙：如圖2，分別以直角三角形的三條邊為邊向外作三個(gè)正方形A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東淄博·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③；④該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示的正方形圖案是用4個(gè)全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面積為25，正方形的面積為1，若用、分別表示直角三角形的兩直角邊，下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（填序號(hào)）．3．（2024上·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．(1)我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個(gè)全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說(shuō)明．(2)業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，，連接，，用a，b，c分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，從而證明勾股定理．請(qǐng)你補(bǔ)充該證明過(guò)程．【經(jīng)典例題二以弦圖為背景的計(jì)算題】【例2】（2024上·湖北·九年級(jí)?？贾軠y(cè)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1）所示）．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，若，則的值是（）A．32 B．38 C．48 D．108【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形，分別在，上取點(diǎn)，，使得，得四邊形．若大正方形的邊長(zhǎng)為，且，設(shè)四邊形的面積為，正方形的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023上·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中的較短直角邊長(zhǎng)為2，中間小正方形的面積為9，則大正方形的邊長(zhǎng)為．（結(jié)果保留根號(hào)）3．（2023上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，在中，，，，．將繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)、和構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國(guó)最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．(1)請(qǐng)利用圖1證明勾股定理；(2)請(qǐng)利用圖1說(shuō)明，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件；(3)請(qǐng)根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：如圖2，在四邊形中，，．若，則這個(gè)四邊形的最大面積為__________．【經(jīng)典例題三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題】【例3】（2023上·山東青島·八年級(jí)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愒缙诎l(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長(zhǎng)是（

）A． B． C．6 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，以的斜邊為直角邊，畫第二個(gè)等腰，再以的斜邊為直角邊，畫第三個(gè)等腰，，依此類推，第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（

）．A． B． C． D．2．（2023下·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作之一．其中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？譯為：如圖，中，，與的和為尺，為尺，求的長(zhǎng)．在這個(gè)問(wèn)題中，可求得的長(zhǎng)為尺．3．（2023上·四川雅安·八年級(jí)四川省名山中學(xué)校考期中）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個(gè)村莊的距離為______千米．（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，現(xiàn)要在上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖中作出P點(diǎn)的位置并求出的距離．（3）【知識(shí)遷移】借助上面的思考過(guò)程與幾何模型，則代數(shù)式（其中）最小值為多少？畫圖并寫出解題過(guò)程．【經(jīng)典例題四勾股定理與無(wú)理數(shù)】【例4】（2023下·廣東廣州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，長(zhǎng)方形中，，，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為（

）A． B． C．2 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△中，，，邊上的高長(zhǎng)為，點(diǎn)在數(shù)軸上，且對(duì)應(yīng)的數(shù)為．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是(

)A．1或 B．C．或 D．或2．（2024上·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，你能找到下面數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)嗎？（1）如圖，半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓沿?cái)?shù)軸從實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右滾動(dòng)一周，圓上的A點(diǎn)恰好與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是．（2）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示原點(diǎn)，，垂足為D，且，以A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C表示的數(shù)為．3．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，依次連接方格的各條邊中點(diǎn)，得到一個(gè)正方形（如圖中的陰影部分），(1)圖1中陰影部分的面積是______，陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是______；(2)請(qǐng)你利用圖2在的方格內(nèi)作出邊長(zhǎng)為的正方形．(3)請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上作出表示的點(diǎn)【經(jīng)典例題五勾股樹問(wèn)題】【例5】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如果正整數(shù)滿足等式，那么正整數(shù)叫做勾股數(shù)．某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（）A．67 B．34 C．98 D．73【變式訓(xùn)練】1．（2023下·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)．某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（

）abc345861015817241026………x14yA．67 B．34 C．98 D．732．（2023上·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長(zhǎng)”過(guò)程：如圖1，一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，經(jīng)過(guò)第一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形，面積分別為6和8，且三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三角形，則a的值為；再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后變成了圖2．如此繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，第2024次“生長(zhǎng)”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積之和為（填數(shù)字）．3．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┱n堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后知道：直角三角形三邊長(zhǎng)是整數(shù)時(shí)我們稱之為“勾股數(shù)”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過(guò)，于是王老師提出以下問(wèn)題讓學(xué)生解決．若兩直角邊為，斜邊為．(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、______、______；(2)當(dāng)（為奇數(shù)，且）時(shí)，若______，______時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；并證明你的猜想；(3)當(dāng)（為偶數(shù)，且）時(shí)，若______，______時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(4)構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請(qǐng)你尋找當(dāng)時(shí)，______．【經(jīng)典例題六用勾股定理解三角形】【例6】（2024上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，連接對(duì)角線、，過(guò)點(diǎn)作垂直于，且．若，求的面積（

）A．8 B．16 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，，交直線于，連接．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，下列結(jié)論：①；②長(zhǎng)度的最小值為2；③當(dāng)點(diǎn)在之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)和面積保持不變；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2024上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)．若，則．3．（2024上·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖①，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明經(jīng)過(guò)組內(nèi)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：①由已知和作圖能得到，依據(jù)是______A．

B．

C．

D．②由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是______．（2）【初步運(yùn)用】如圖②，是的中線，交于，交于，且，若，，求線段的長(zhǎng)．（3）【靈活運(yùn)用】如圖③，在中，，為中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，求的長(zhǎng)度．【經(jīng)典例題七已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離】【例7】（2023上·福建福州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為和，點(diǎn)C是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)可能是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2021下·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┖瘮?shù)的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2024上·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)且點(diǎn)，連接，在y軸上找一點(diǎn)P，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有個(gè)．3．（2024上·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列一段文字，再回答問(wèn)題．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離．同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可簡(jiǎn)化為或．(1)已知點(diǎn)，，試求A，B兩點(diǎn)間的距離；(2)已知點(diǎn)A，B所在的直線平行于y軸，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，A，B兩點(diǎn)間的距離為4，求點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；(3)已知△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，你能判斷的形狀嗎？說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題八以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】【例8】（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑的三個(gè)半圓的面積從小到大依次為，則之間的關(guān)系正確的是（

）A．或 B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，分別以、、為邊在的同側(cè)作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、．若已知，則的值為（

）A．18 B．24 C．25 D．362．（2023上·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，分別以、、為邊在的同側(cè)作正三角形、、，圖中四塊陰影部分的面積分別為，，，，求．3．（2023上·江西·八年級(jí)期末）如圖①，在中，，，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)如圖（1），當(dāng)時(shí)，的面積等于面積的一半；(2)如圖（2），在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【經(jīng)典例題九利用勾股定理求兩條線段的平方和】【例9】（2022上·福建福州·八年級(jí)?？计谀┰谥?，，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2021上·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為（）A．1cm B．2cm C．cm D．cm2．（2022下·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，以AC、BC為直徑作半圓S1和S2，且，則AB的長(zhǎng)為．3．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)校考期中）(1)如圖1，四邊形的對(duì)角線于點(diǎn)．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，交點(diǎn)為．①判斷，的關(guān)系，并說(shuō)明理由．②連接．若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題十利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】【例10】（2023上·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，與相交于點(diǎn)P，于Q．則與的關(guān)系為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，和都是等腰直角三角形，的頂點(diǎn)A在的斜邊上．下列結(jié)論：其中正確的有（

）①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023上·陜西西安·八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)．若，則．3．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖①，在中，，，為邊上的中線，則的取值范圍是（提示：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接）；（2）如圖②，在中，，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證；（3）如圖③，在中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接，求證．（簡(jiǎn)述解題思路即可）【經(jīng)典例題十一勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題】【例11】（2023上·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．若于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C．1 D．2【變式訓(xùn)練】1．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，將放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么中邊上的高的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．2．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），點(diǎn)A、B、C、D均為格點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①點(diǎn)B到點(diǎn)C的最短距離為；②點(diǎn)A到直線的距離為．③直線所交的銳角為；④四邊形的面積為11．其中，所有正確命題的序號(hào)為.

（填序號(hào)）3．（2024上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成下列作圖，作圖過(guò)程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示．圖中的點(diǎn)A、B、C、P、Q在格點(diǎn)上，其中．(1)在圖1中先作線段且，然后作的高；(2)在圖2中作的角平分線；(3)在圖3中的直線上找一點(diǎn)，使．【經(jīng)典例題十二勾股定理與折疊問(wèn)題】【例12】（2024上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，三角形紙片中，．沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與的交點(diǎn)為E，則的長(zhǎng)是（

）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇連云港·八年級(jí)期末）如圖，等腰直角三角形中，，點(diǎn)M，N在邊上，且，若，則的長(zhǎng)為（）．A． B．2 C． D．2．（2024上·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形紙片中，，，如圖所示折疊紙片，使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，此時(shí)的長(zhǎng)為3．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，重合部分是，，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的值；(3)若．求的面積．【拓展培優(yōu)】1．（2024上·重慶大渡口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將長(zhǎng)方形放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)分別在軸和軸上，點(diǎn)，連接，并將沿翻折至長(zhǎng)方形所在平面，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2024上·河北衡水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（D與點(diǎn)不重合），連接，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，連接、，則面積的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2024上·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，以的各邊為邊作三個(gè)正方形，點(diǎn)落在上，若，空白部分面積為10，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．（2024上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中，，，，，與交于點(diǎn)P，則點(diǎn)B到的距離為（

）A． B． C． D．5．（2024上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，連接對(duì)角線、，過(guò)點(diǎn)作垂直于，且．若，求的面積（

）A．8 B．16 C． D．6．（2024上·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以Rt的兩邊為邊向外所作正方形的面積分別是，則以另一邊為直徑向外作半圓的面積為．7．（2024上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，．在上找一點(diǎn)E，把沿折疊，使D點(diǎn)恰好落在上，設(shè)這一點(diǎn)為F，則．8．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)，且，則代數(shù)式的最小