203中考數(shù)學(xué)常用公式定理梳理詳解匯總

(新)中考數(shù)學(xué)常用公式定理梳理詳解匯總

I、整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無(wú)限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù).如：

—3,jj-,0.231,0.737373…，圈，"-8.無(wú)限不環(huán)循小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).如：“，—岳,

0.1010010001…(兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0).有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).

2、絕對(duì)值：a'OOIa|=a-,?W0=IaI=—a.如：I一隱I=Q；I3.14—nI=

n-3.14.

3、一個(gè)近似數(shù)，從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起，到最末一個(gè)數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這

個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.如：0.05972精確至IJ0.001得0.060,結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6,0.

4、把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成±“X10"的形式(其中是整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.如：

—40700=-4.07X1()5,0.000043=4.3x10工

5、乘法公式(反過(guò)來(lái)就是因式分解的公式)：①(a+8)(a一步二標(biāo)一〃.@(a+b)2=a2±2ab

+b2.③(a+6)(a?—=〃+爐.@(?—/?)(c^+ab+b2)—a3~b3；a2+b2—(a+b)2—

lab,(a-b)2=(a+h)2—4ab.

b

6、事的運(yùn)算性質(zhì)：①型Xa〃=〃〃，+〃.②型③(a)”=〃叫④(他州=〃%〃.⑤(公)〃

=n.

⑥〃一"=4,特別：(!)"=(》"?⑦如：a3Xa2=a5,3+〃2=〃4,(東)2=

a6,(3涼*=27編(一3尸=一5^=S(1)(1)2=|,(―3.14)。=1,(慮

—回。=1.

啟魄(心

7、二次根式：①(M)2=a(a20),②&=IaI,③而3"=石X而，④

0,620).如：①(3近")2=45.②"-6)2=6.③〃V0時(shí)，^b=~a^b.④JF4的平方

根=4的平方根=±2.(平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念)

8、一元二次方程：對(duì)于方程：ax2+bx+c=0：

①求根公式是x=-b￡Uac,其中4=02-44c叫做根的判別式.

2a

當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△<()時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.注意：當(dāng)△》()時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.

②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根XI和X2,并且二次三項(xiàng)式"2+foc+c可分解為。(》一為)(X-X2).

③以a和匕為根的一元二次方程是小一(a+b)x+ab=0.

9、一次函數(shù).v=h+從k#0)的圖象是一條直線⑺是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即一次函數(shù)在

y軸上的截距).當(dāng)A>0時(shí)，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當(dāng)A<0時(shí)，y隨x的增大

而減?。ㄖ本€從左向右下降）.特別：當(dāng)匕=0時(shí)，>=依（%#0）又叫做正比例函數(shù)（y與X成正比

例），圖象必過(guò)原點(diǎn).

10、反比例函數(shù)y=：（&W0）的圖象叫做雙曲線.當(dāng)&>0時(shí)，雙曲線在一、三象限（在每一象

限內(nèi)，從左向右降）；當(dāng)上<0時(shí)，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從左向右上升）.因

此，它的增減性與一次函數(shù)相反.

11、統(tǒng)計(jì)初步：（D概念：①所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做

個(gè)體.從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.②

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（有時(shí)不止一個(gè)），叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).③將一組數(shù)據(jù)按

大小順序排列，把處在最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（2）公式：設(shè)有〃個(gè)數(shù)為，及，…，左，那么：

①平均數(shù)為：X=玉+*2+....+；

n

②極差：

用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差

稱(chēng)為極差，即：極差=最大值-最小值；

③方差：

數(shù)據(jù)X］、X2,X“的方差為則S2=

標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根.

數(shù)據(jù)匹、x2...,X”的標(biāo)準(zhǔn)差S,則$=

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。

12、頻率與概率：

（1）頻率=楚整，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方

總數(shù)

圖中各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為各組頻率。

（2）概率

①如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率，則OWP（A）<1；

P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表、畫(huà)樹(shù)狀圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的

概率。

③大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；

13、銳角三角函數(shù)：

①設(shè)NA是RtAABC的任一銳角，則/A的正弦：sinA=^祟普，NA的余弦：cosA=

N/的鄰邊_44的對(duì)邊

NA的正切：tanA并且sirPA+cos2A=1.

斜邊-4的鄰邊.

0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.乙4越大，乙4的正弦和正切值越大，余弦值反而越小.

②余角公式：sin(90。-A)=cosA,cos(90°—A)=sinA.

③特殊角的三角函數(shù)值：sin30°=cos60°=5-,sin45°-cos45°-,

N2

tan30°=,^,tan45o=l,tan60°=追

鉛垂高度h

④斜坡的坡度:設(shè)坡角為a,則，=1211<1=7.

水平寬度

14、平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)：

(1)對(duì)稱(chēng)性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b),則P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為Pi(a,-b),P

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P2(-a,b),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P3(~a,—/?).

(2)坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,b)向左平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(.a-h,b),

向右平移〃個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a+〃，b)；向上平移防個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a,b+h),

向下平移//個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(.a,b—h).如：點(diǎn)A(2,-1)向上平移2個(gè)單位，再向

右平移5個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳(7,1).

15、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)：

1.定義：一般地，如果丁=依2+力彳+。3,仇。是常數(shù)，。工0),那么y叫做X的二次函數(shù).

2.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).

①。的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下；

M相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作％=〃.特別地，y軸記作直線x=0.

幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax2x=0(y軸)(0,0)

當(dāng)a>0時(shí)

y=ax2+kx=0(y軸)(0,k)

開(kāi)口向上

y=a(x-hfx=h(/i,0)

當(dāng)a<0時(shí)

開(kāi)口向下

y—a(x—h丫+kx=h(h,k)

b

y=ax2+bx+cx=----b4ac-b2

2a(——，--------)

2a4a

4.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法

/,、八3?21(b、4ac-b2.e上口/b4ac-b2.

(1)公式法：y=ax~+/zx+c=a%+—+------------一?頂點(diǎn)是(-----，-------------),

2a)4a2a4a

對(duì)稱(chēng)軸是直線%=-二b.

2a

(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為丁=。(》-力)2+上的形式，得到頂

點(diǎn)為(〃/)，對(duì)稱(chēng)軸是直線X=/2.

(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的

交點(diǎn)是頂點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)(芯/)、(々。)(及y值相同)，則對(duì)稱(chēng)軸方程可以表示為：

9.拋物線y+6x+c中，。，上c的作用

(1)a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y=ax?中的a完全一樣.

(2)和a共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線y=a/+加+。的對(duì)稱(chēng)軸是直線

h〃

工=一2,故：①人=()時(shí),對(duì)稱(chēng)軸為y軸；②上>0(即。、。同號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸

2aa

在y軸左側(cè)；③2<0(即4、異號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).

a

(3)c的大小決定拋物線y=a/+bx+c與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x=0時(shí)，y=c,.,.拋物線y=+Ox+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c)：

①c=0,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半

軸.

h

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，則-<0.

a

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：y=ax?+bx+c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-/i)2+X已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(3)交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)X］、々，通常選用交點(diǎn)式：y=4(%一毛)(%-％2)?

12.直線與拋物線的交點(diǎn)

(1)y軸與拋物線>+bx+c得交點(diǎn)為(0,c).

(2)拋物線與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)丁=。/+歷1+。的圖像與％軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)匹、X一是對(duì)應(yīng)一元二次

方程

以2+笈+。=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根

的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)0（A>0）。拋物線與X軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）o（A=0）o拋物線與x軸相切；

③沒(méi)有交點(diǎn)=（A<0）。拋物線與x軸相離.

（3）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（2）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)

相等，設(shè)縱坐

標(biāo)為則橫坐標(biāo)是以2+法+。=人的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（4）一次函數(shù)y=kx+n（k豐0）的圖像/與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像G

y=kx+n

的4點(diǎn)，由方程組，的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解

_y-ax+bx+c

時(shí)o/與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方

程組只有一組解時(shí)o/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)o/與G沒(méi)有交點(diǎn).

（5）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線丁=。/+以+，與％軸兩交點(diǎn)為

則

A（x，0）,B（X2,6）,AB=kf|

1、多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）180。（〃）3,〃是正整數(shù)），外角和等于

360°

2,平行線分線段成比例定理：

（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：a//b//c,直線/i與L分別與直線a、Mc相交與點(diǎn)A、B、C

^ABDEABDEBCEF

D、E、F,則nl有——=——,——=——,——=—

BCEFACDFACDF

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成

比例。

如圖：△ABC中，DE//BC,DE與AB,AC相交與點(diǎn)D、E,則有：

ADAEADAEDEDBEC八

-麗-------=一—^7.7——尸=一疏.'--罰---=一-花----八AEy-------

*3、直角三角形中的射影定理：如圖：Rt/VIBC中，ZACS=90%CO_L4B于力，則有：C

(1)CD2=ADBD(2)AC2=AD-AB(3)BC?=BDAB

4、圓的有關(guān)性質(zhì):DB

（1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：①經(jīng)過(guò)圓心；②垂直

弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的劣?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個(gè)

性質(zhì).注：具備①，③時(shí)，弦不能是直徑.（2）兩條平行弦所夾的弧相等.（3）圓心角的

度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).（4）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（5）

圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半.（6）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.（7）在同圓或

等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.（8）90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑，反之，直徑所對(duì)

的圓周角是90。，直徑是最長(zhǎng)的弦.（9）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

5、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三

內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三邊中

垂線的交點(diǎn).

常見(jiàn)結(jié)論：（1）RtZ^ABC的三條邊分別為：b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑

a+b-c

r=--------；

2

（2）AABC的周長(zhǎng)為人面積為S,其內(nèi)切圓的半徑為r,則5=，＞