2016年福建省福州市中考數(shù)學試卷

2016年福建省福州市中考數(shù)學試卷一、（共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題只有一個正確選項）1．（3分）（2016?福州）下列實數(shù)中的無理數(shù)是（）A．0.7B．C．πD．﹣82．（3分）（2016?福州）如圖是3個相同的小正方體組合而成的幾何體，它的俯視圖是（）A．B．C．D．3．（3分）（2016?福州）如圖，直線a，b被直線c所截，∠1與∠2的位置關系是（）A．同位角B．內錯角C．同旁內角D．對頂角4．（3分）（2016?福州）下列算式中，結果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2C．a2?a3D．a2?a2?a25．（3分）（2016?福州）不等式組的解集是（）A．x＞﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜36．（3分）（2016?福州）下列說法中，正確的是（）A．不可能事件發(fā)生的概率為0B．隨機事件發(fā)生的概率為C．概率很小的事件不可能發(fā)生D．投擲一枚質地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)一定為50次7．（3分）（2016?福州）A，B是數(shù)軸上兩點，線段AB上的點表示的數(shù)中，有互為相反數(shù)的是（）A．B．C．D．8．（3分）（2016?福州）平面直角坐標系中，已知?ABCD的三個頂點坐標分別是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），則點D的坐標是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）9．（3分）（2016?福州）如圖，以圓O為圓心，半徑為1的弧交坐標軸于A，B兩點，P是上一點（不與A，B重合），連接OP，設∠POB=α，則點P的坐標是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）10．（3分）（2016?福州）下表是某校合唱團成員的年齡分布年齡/歲13141516頻數(shù)515x10﹣x對于不同的x，下列關于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是（）A．平均數(shù)、中位數(shù)B．眾數(shù)、中位數(shù)C．平均數(shù)、方差D．中位數(shù)、方差11．（3分）（2016?福州）已知點A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一個函數(shù)圖象上，這個函數(shù)圖象可以是（）A．B．C．D．12．（3分）（2016?福州）下列選項中，能使關于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有實數(shù)根的是（）A．a＞0B．a=0C．c＞0D．c=0二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）13．（4分）（2016?福州）分解因式：x2﹣4=．14．（4分）（2016?福州）若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是．15．（4分）（2016?福州）已知四個點的坐標分別是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），從中隨機選取一個點，在反比例函數(shù)y=圖象上的概率是．16．（4分）（2016?福州）如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為r上，下方的弧半徑為r下，則r上r下．（填“＜”“=”“＜”）17．（4分）（2016?福州）若x+y=10，xy=1，則x3y+xy3的值是．18．（4分）（2016?福州）如圖，6個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點．已知菱形的一個角（∠O）為60°，A，B，C都在格點上，則tan∠ABC的值是．三、解答題（共9小題，滿分90分）19．（7分）（2016?福州）計算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0．20．（7分）（2016?福州）化簡：a﹣b﹣．21．（8分）（2016?福州）一個平分角的儀器如圖所示，其中AB=AD，BC=DC．求證：∠BAC=∠DAC．22．（8分）（2016?福州）列方程（組）解應用題：某班去看演出，甲種票每張24元，乙種票每張18元．如果35名學生購票恰好用去750元，甲乙兩種票各買了多少張？23．（10分）（2016?福州）福州市2011﹣2015年常住人口數(shù)統(tǒng)計如圖所示．根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）福州市常住人口數(shù)，2015年比2014年增加了萬人；（2）與上一年相比，福州市常住人口數(shù)增加最多的年份是；（3）預測2016年福州市常住人口數(shù)大約為多少萬人？請用所學的統(tǒng)計知識說明理由．24．（12分）（2016?福州）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，M為中點，連接BM，CM．（1）求證：BM=CM；（2）當⊙O的半徑為2時，求的長．25．（12分）（2016?福州）如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．（1）通過計算，判斷AD2與AC?CD的大小關系；（2）求∠ABD的度數(shù)．26．（13分）（2016?福州）如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM．（1）當AN平分∠MAB時，求DM的長；（2）連接BN，當DM=1時，求△ABN的面積；（3）當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值．27．（13分）（2016?福州）已知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過原點，頂點為A（h，k）（h≠0）．（1）當h=1，k=2時，求拋物線的解析式；（2）若拋物線y=tx2（t≠0）也經過A點，求a與t之間的關系式；（3）當點A在拋物線y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1時，求a的取值范圍．

2016年福建省福州市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、（共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題只有一個正確選項）1．（3分）（2016?福州）下列實數(shù)中的無理數(shù)是（）A．0.7B．C．πD．﹣8【考點】無理數(shù)．【專題】計算題．【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，最典型就是π，選出答案即可．【解答】解：∵無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，且0.7為有限小數(shù)，為有限小數(shù)，﹣8為正數(shù)，都屬于有理數(shù)，π為無限不循環(huán)小數(shù)，∴π為無理數(shù)．故選：C．【點評】題目考查了無理數(shù)的定義，題目整體較簡單，是要熟記無理數(shù)的性質，即可解決此類問題．2．（3分）（2016?福州）如圖是3個相同的小正方體組合而成的幾何體，它的俯視圖是（）A．B．C．D．【考點】簡單組合體的三視圖．【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：人站在幾何體的正面，從上往下看，正方形個數(shù)從左到右依次為2，1，故選：C．【點評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．3．（3分）（2016?福州）如圖，直線a，b被直線c所截，∠1與∠2的位置關系是（）A．同位角B．內錯角C．同旁內角D．對頂角【考點】同位角、內錯角、同旁內角；對頂角、鄰補角．【分析】根據(jù)內錯角的定義求解．【解答】解：直線a，b被直線c所截，∠1與∠2是內錯角．故選B．【點評】本題考查了同位角、內錯角、同位角：三線八角中的某兩個角是不是同位角、內錯角或同旁內角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定．在復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．4．（3分）（2016?福州）下列算式中，結果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2C．a2?a3D．a2?a2?a2【考點】同底數(shù)冪的乘法；合并同類項．【專題】計算題；推理填空題．【分析】A：a4+a2≠a6，據(jù)此判斷即可．B：根據(jù)合并同類項的方法，可得a2+a2+a2=3a2．C：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，可得a2?a3=a5．D：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，可得a2?a2?a2=a6．【解答】解：∵a4+a2≠a6，∴選項A的結果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2，∴選項B的結果不等于a6；∵a2?a3=a5，∴選項C的結果不等于a6；∵a2?a2?a2=a6，∴選項D的結果等于a6．故選：D．【點評】（1）此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①底數(shù)必須相同；②按照運算性質，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加．（2）此題還考查了合并同類項的方法，要熟練掌握．5．（3分）（2016?福州）不等式組的解集是（）A．x＞﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜3【考點】解一元一次不等式組．【專題】方程與不等式．【分析】根據(jù)解不等式組的方法可以求得原不等式組的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＞3，由①②可得，x＞3，故原不等式組的解集是x＞3．故選B．【點評】本題考查解一元一次不等式組，解題的關鍵是明確解一元一次不等式組的方法．6．（3分）（2016?福州）下列說法中，正確的是（）A．不可能事件發(fā)生的概率為0B．隨機事件發(fā)生的概率為C．概率很小的事件不可能發(fā)生D．投擲一枚質地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)一定為50次【考點】概率的意義．【分析】根據(jù)概率的意義和必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1、不可能發(fā)生事件的概率P（A）=0對A、B、C進行判定；根據(jù)頻率與概率的區(qū)別對D進行判定．【解答】解：A、不可能事件發(fā)生的概率為0，所以A選項正確；B、隨機事件發(fā)生的概率在0與1之間，所以B選項錯誤；C、概率很小的事件不是不可能發(fā)生，而是發(fā)生的機會較小，所以C選項錯誤；D、投擲一枚質地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)可能為50次，所以D選項錯誤．故選A．【點評】本題考查了概率的意義：一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率mn會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p；概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）=0．7．（3分）（2016?福州）A，B是數(shù)軸上兩點，線段AB上的點表示的數(shù)中，有互為相反數(shù)的是（）A．B．C．D．【考點】相反數(shù)；數(shù)軸．【專題】數(shù)形結合．【分析】數(shù)軸上互為相反數(shù)的點到原點的距離相等，通過觀察線段AB上的點與原點的距離就可以做出判斷．【解答】解：表示互為相反數(shù)的點，必須要滿足在數(shù)軸原點0的左右兩側，從四個答案觀察發(fā)現(xiàn)，只有B選項的線段AB符合，其余答案的線段都在原點0的同一側，所以可以得出答案為B．故選：B【點評】本題考查了互為相反數(shù)的概念，解題關鍵是要熟悉互為相反數(shù)概念，數(shù)形結合觀察線段AB上的點與原點的距離．8．（3分）（2016?福州）平面直角坐標系中，已知?ABCD的三個頂點坐標分別是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），則點D的坐標是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）【考點】平行四邊形的性質；坐標與圖形性質．【分析】由點的坐標特征得出點A和點C關于原點對稱，由平行四邊形的性質得出D和B關于原點對稱，即可得出點D的坐標．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴點A和點C關于原點對稱，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴D和B關于原點對稱，∵B（2，﹣1），∴點D的坐標是（﹣2，1）．故選：A．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、關于原點對稱的點的坐標特征；熟練掌握平行四邊形的性質，得出D和B關于原點對稱是解決問題的關鍵．9．（3分）（2016?福州）如圖，以圓O為圓心，半徑為1的弧交坐標軸于A，B兩點，P是上一點（不與A，B重合），連接OP，設∠POB=α，則點P的坐標是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）【考點】解直角三角形；坐標與圖形性質．【專題】計算題；三角形．【分析】過P作PQ⊥OB，交OB于點Q，在直角三角形OPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OQ與PQ，即可確定出P的坐標．【解答】解：過P作PQ⊥OB，交OB于點Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，則P的坐標為（cosα，sinα），故選C．【點評】此題考查了解直角三角形，以及坐標與圖形性質，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關鍵．10．（3分）（2016?福州）下表是某校合唱團成員的年齡分布年齡/歲13141516頻數(shù)515x10﹣x對于不同的x，下列關于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是（）A．平均數(shù)、中位數(shù)B．眾數(shù)、中位數(shù)C．平均數(shù)、方差D．中位數(shù)、方差【考點】統(tǒng)計量的選擇；頻數(shù)（率）分布表．【分析】由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10，即可得知總人數(shù)，結合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第15、16個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案．【解答】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為x+10﹣x=10，則總人數(shù)為：5+15+10=30，故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，中位數(shù)為：=14歲，即對于不同的x，關于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，故選：B．【點評】本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計算方法是解題的關鍵．11．（3分）（2016?福州）已知點A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一個函數(shù)圖象上，這個函數(shù)圖象可以是（）A．B．C．D．【考點】坐標確定位置；函數(shù)的圖象．【分析】由點A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一個函數(shù)圖象上，可得A與B關于y軸對稱，當x＞0時，y隨x的增大而增大，繼而求得答案．【解答】解：∵點A（﹣1，m），B（1，m），∴A與B關于y軸對稱，故A，B錯誤；∵B（1，m），C（2，m+1），∴當x＞0時，y隨x的增大而增大，故C正確，D錯誤．故選C．【點評】此題考查了函數(shù)的圖象．注意掌握排除法在選擇題中的應用是解此題的關鍵．12．（3分）（2016?福州）下列選項中，能使關于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有實數(shù)根的是（）A．a＞0B．a=0C．c＞0D．c=0【考點】根的判別式．【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根可得ac≤4，且a≠0，對每個選項逐一判斷即可．【解答】解：∵一元二次方程有實數(shù)根，∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0；A、若a＞0，當a=1、c=5時，ac=5＞4，此選項錯誤；B、a=0不符合一元二次方程的定義，此選項錯誤；C、若c＞0，當a=1、c=5時，ac=5＞4，此選項錯誤；D、若c=0，則ac=0≤4，此選項正確；故選：D．【點評】本題主要考查根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）13．（4分）（2016?福州）分解因式：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．【考點】因式分解-運用公式法．【專題】因式分解．【分析】直接利用平方差公式進行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案為：（x+2）（x﹣2）．【點評】本題考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項，符號相反．14．（4分）（2016?福州）若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是x≥﹣1．【考點】二次根式有意義的條件．【專題】常規(guī)題型．【分析】根據(jù)二次根式的性質可求出x的取值范圍．【解答】解：若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案為：x≥﹣1．【點評】主要考查了二次根式的意義和性質：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性質：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．15．（4分）（2016?福州）已知四個點的坐標分別是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），從中隨機選取一個點，在反比例函數(shù)y=圖象上的概率是．【考點】概率公式；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】先判斷四個點的坐標是否在反比例函數(shù)y=圖象上，再讓在反比例函數(shù)y=圖象上點的個數(shù)除以點的總數(shù)即為在反比例函數(shù)y=圖象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2個點的坐標在反比例函數(shù)y=圖象上，∴在反比例函數(shù)y=圖象上的概率是2÷4=．故答案為：．【點評】考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16．（4分）（2016?福州）如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為r上，下方的弧半徑為r下，則r上＜r下．（填“＜”“=”“＜”）【考點】弧長的計算．【分析】利用垂徑定理，分別作出兩段弧所在圓的圓心，然后比較兩個圓的半徑即可．【解答】解：如圖，r上＜r下．故答案為＜．【點評】本題考查了弧長公式：圓周長公式：C=2πR（2）弧長公式：l=（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）；正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．17．（4分）（2016?福州）若x+y=10，xy=1，則x3y+xy3的值是98．【考點】代數(shù)式求值．【分析】可將該多項式分解為xy（x2+y2），又因為x2+y2=（x+y）2﹣2xy，然后將x+y與xy的值代入即可．【解答】解：x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2﹣2xy]=1×（102﹣2×1）=98．故答案為：98．【點評】本題考查了因式分解和代數(shù)式變形．解決本類問題的一般方法：若已知x+y與xy的值，則x2+y2=（x+y）2﹣2xy，再將x+y與xy的值代入即可．18．（4分）（2016?福州）如圖，6個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點．已知菱形的一個角（∠O）為60°，A，B，C都在格點上，則tan∠ABC的值是．【考點】菱形的性質；解直角三角形．【專題】網(wǎng)格型．【分析】如圖，連接EA、EB，先證明∠AEB=90°，根據(jù)tan∠ABC=，求出AE、EB即可解決問題．【解答】解：如圖，連接EA，EC，設菱形的邊長為a，由題意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC===．故答案為．【點評】本題考查菱形的性質，三角函數(shù)、特殊三角形邊角關系等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題（共9小題，滿分90分）19．（7分）（2016?福州）計算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0．【考點】有理數(shù)的混合運算；立方根；零指數(shù)冪．【分析】直接利用絕對值的性質以及立方根的定義和零指數(shù)冪的性質化簡求出答案．【解答】解：|﹣1|﹣+（﹣2016）0=1﹣2+1=0．【點評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．20．（7分）（2016?福州）化簡：a﹣b﹣．【考點】分式的加減法．【分析】先約分，再去括號，最后合并同類項即可．【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【點評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．21．（8分）（2016?福州）一個平分角的儀器如圖所示，其中AB=AD，BC=DC．求證：∠BAC=∠DAC．【考點】全等三角形的性質．【分析】在△ABC和△ADC中，由三組對邊分別相等可通過全等三角形的判定定理（SSS）證得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性質即可得出結論．【解答】證明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是證出△ABC≌△ADC．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)全等三角形的判定定理證出兩三角形全等是關鍵．22．（8分）（2016?福州）列方程（組）解應用題：某班去看演出，甲種票每張24元，乙種票每張18元．如果35名學生購票恰好用去750元，甲乙兩種票各買了多少張？【考點】二元一次方程組的應用．【分析】設甲種票買了x張，乙種票買了y張．然后根據(jù)購票總張數(shù)為35張，總費用為750元列方程求解即可．【解答】解：設甲種票買了x張，乙種票買了y張．根據(jù)題意得：．解得：．答：甲種票買了20張，乙種票買了15張．【點評】本題主要考查的是二元一次方程組的應用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關鍵．23．（10分）（2016?福州）福州市2011﹣2015年常住人口數(shù)統(tǒng)計如圖所示．根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）福州市常住人口數(shù)，2015年比2014年增加了7萬人；（2）與上一年相比，福州市常住人口數(shù)增加最多的年份是2014；（3）預測2016年福州市常住人口數(shù)大約為多少萬人？請用所學的統(tǒng)計知識說明理由．【考點】折線統(tǒng)計圖．【分析】（1）將2015年人數(shù)減去2014年人數(shù)即可；（2）計算出每年與上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可從每年人口增加的數(shù)量加以預測．【解答】解：（1）福州市常住人口數(shù)，2015年比2014年增加了750﹣743=7（萬人）；（2）由圖可知2012年增加：×100%≈0.98%，2013年增加：×100%≈0.97%，2014年增加：×100%≈1.2%，2015年增加：×100%≈0.94%，故與上一年相比，福州市常住人口數(shù)增加最多的年份是2014年；（3）預測2016年福州市常住人口數(shù)大約為757萬人，理由：從統(tǒng)計圖可知，福州市常住人口每年增加的數(shù)量的眾數(shù)是7萬人，由此可以預測2016年福州市常住人口數(shù)大約為757萬人．故答案為：（1）7；（2）2014．【點評】本題主要考查條形統(tǒng)計圖，從條形圖中讀出每年人口的數(shù)量及增加的幅度是解題的關鍵．24．（12分）（2016?福州）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，M為中點，連接BM，CM．（1）求證：BM=CM；（2）當⊙O的半徑為2時，求的長．【考點】圓內接四邊形的性質；正方形的性質．【分析】（1）根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關系定理解答即可；（2）根據(jù)弧長公式計算．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M為中點，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半徑為2，∴⊙O的周長為4π，∴的長=×4π=π．【點評】本題考查的是正方形的性質、弧長的計算、圓心距、弦、弧之間的關系，掌握弧長的計算公式、圓心距、弦、弧之間的關系定理是解題的關鍵．25．（12分）（2016?福州）如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．（1）通過計算，判斷AD2與AC?CD的大小關系；（2）求∠ABD的度數(shù)．【考點】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的長，然后再計算出AD2與AC?CD的值，從而可得到AD2與AC?CD的關系；（2）由（1）可得到BD2=AC?CD，然后依據(jù)對應邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△BCD∽△ABC，依據(jù)相似三角形的性質可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后結合等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可求得∠ABD的度數(shù)．【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC?CD=1×=．∴AD2=AC?CD．（2）∵AD=BD，AD2=AC?CD，∴BD2=AC?CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．設∠A=x，則∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【點評】本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、三角形內角和定理的應用，證得△BCD∽△ABC是解題的關鍵．26．（13分）（2016?福州）如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM．（1）當AN平分∠MAB時，求DM的長；（2）連接BN，當DM=1時，求△ABN的面積；（3）當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值．【考點】矩形的性質；角平分線的性質．【分析】（1）由折疊性質得∠MAN=∠DAM，證出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函數(shù)得出DM=AD?tan∠DAM=即可；（2）延長MN交AB延長線于點Q，由矩形的性質得出∠DMA=∠MAQ，由折疊性質得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，證出MQ=AQ，設NQ=x，則AQ=MQ=1+x，證出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面積；（3）過點A作AH⊥BF于點H，證明△ABH∽△BFC，得出對應邊成比例=，得出當點N、H重合（即AH=AN）時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時點M、F重合，B、N、M三點共線，由折疊性質得：AD=AH，由AAS證明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出結果．【解答】解：（1）由折疊性質得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD?tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延長MN交AB延長線于點Q，如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折疊性質得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，設NQ=x，則AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN?NQ=××3×4=；（3）過點A作AH⊥BF