考研數(shù)學(xué)一(線性代數(shù))模擬試卷61(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一(線性代數(shù))模擬試卷61(題后含答案及解析)

題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題

選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。

1.設(shè)A為mXn矩陣，齊次線性方程組Ax=O僅有零解的充分條件是A的

A.列向量組線性無關(guān).

B.列向量組線性相關(guān).

C.行向量組線性無關(guān).

D.行向量組線性相關(guān).

正確答案：A涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

2.設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A,且存在3階方陣BWO,使AB=O,

則

A.入=-2且|B|=0.

B.入=一2且|B|WO.

C.入=1且|B|=0.

D.入=1且|B|WO.

正確答案：C涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

3.設(shè)al,a2,a3是4元非齊次線性方程組Ax=b內(nèi)3個(gè)解向量，且秩

(A)=3,a1=(1,2,3,4)T,a2+a3=(0,1,2,3)T,c表示任意常數(shù),則線性

方程組Ax=b的通解x=

A.

B.

C.

D.

正確答案：C涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

4.設(shè)A為n階實(shí)矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對于線性方程組(I)：Ax=0

和(H)：ATAx=0,必有

A.(H)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解.

B.(H)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)的解.

C.(I)的解不是(II)的解，(H)的解也不是(I)的解.

D.(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是⑴的解.

正確答案：A涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

5.4個(gè)平面aix+biy+ciz=di(i=l,2,3,4)交于一條直線的充要條件是對應(yīng)

的聯(lián)立線性方程組的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣滿足r(A)==

A.1.

B.2.

C.3.

D.4

正確答案：B涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

6.設(shè)A是n階矩陣，a是n維列向量，且則線性方程組

A.Ax=aM有無窮多解.

B.Ax=a必有唯一解.

C.

D.

正確答案：D涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

7.設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*WO,若11,g2,€3,W4是非齊次線

性方程組Ax=b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=O的基礎(chǔ)解系

A.不存在.

B.僅含一個(gè)非零解向量.

C.含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量.

D.含有3個(gè)線性無關(guān)的解向量.

正確答案：B涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

8.設(shè)A為4X3矩陣，n1,112,n3是非齊次線性方程組Ax=B的3個(gè)

線性無關(guān)的解，kl,k2為任意常數(shù)，則Ax=B的通解為

A.

B.

C.

D.

正確答案：C涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

填空題

9.若方程組有解，則常數(shù)al,a2,a3,a4應(yīng)滿足的條件是

正確答案：al+a2+a3+a4=0.涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

10.若3階非零方程B的每一列都是方程組的解，則入=,

|B|=.

正確答案：入=1,|B|=0.涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

11.設(shè)其中al,a2,…，an是兩兩不同的一組常數(shù)，則線性方程組ATx=B

的解是.

正確答案：(1,0,…，0)T涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

12.證明：n維列向量組al,a2,…，an線性無關(guān)的充分必要條件是行

列式

正確答案：令矩陣A=[ala2…an],則a1,a2,…，an,線性

無關(guān),|A|W0,而D=|ATA|=|AT||A|=|A|2,故|A|W0,DW0.涉及知識點(diǎn)：線

性代數(shù)

13.設(shè)向量組(I)：al,a2,a3的秩為3；向量組(II)：a1,a2,a3,

a4的秩為3；向量組(HI)：a1,a2,a3,a5的秩為4.證明：向量組(IV)：

a1,a2,a3,a5—a4的秩為4.

正確答案：由條件知(I)線性無關(guān)，而(II)線性相關(guān)，故a4可由al,a2,

a3線性表示，設(shè)為：a4=Xla1+X2a2+X3a3.設(shè)有一組數(shù)xl,x2,x3,

x4,使得xl為對稱的正交矩陣；(2)若a=(l,2,一2)T,試求出矩陣A；(3)若

B為n維列向量，試證明：AB=B—(bc)a,其中，b、c為實(shí)常數(shù).

正確答案：t己常數(shù)則b>0,A=E—baaT.(1)AT=(E—baaT)T=E—baa

T=A,所以A為對稱矩陣.AAT=AA=(E—baaT)(E—baaT)=E一2baaT+b2

a(aTa)aT,而aTa=代入上式得A涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

15.設(shè)向量組(I)：al,a2,…，ar線性無關(guān)，且(I)可由(II)：B1,B2,…，

Bs線性表示.證明：在(H)中至少存在一個(gè)向量Bj,使得Bj,a2,…，ar

線性無關(guān).

正確答案：可用反證法：否則，對于j=l,2,…，s,向量組Bj,a2,…，

ar線性相關(guān)，又a2,…，ar線性無關(guān)，質(zhì)儲可由。2,…，ar線程表示，(II)

可由a2,…，ar線性表示，又已知a1可由(II)線性表示，al可由a2,…，

a(1)由階梯形矩陣可見，當(dāng)tW2時(shí)，a1,a2,a3,a4線性無關(guān)，止匕時(shí)，再

對上面的階梯形矩陣施行初等行變換，化為⑵當(dāng)t=2時(shí)，a1,a2,a3,a4

線性相關(guān)，其極大無關(guān)組可取為al,a2,a3(或a1求由基(I)到基(H)的過渡

矩陣c.

正確答案：由[BlB233]=[a1a2a3]cC=[a1a2a

3]-l[31B2B3]=涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

20.設(shè)al,…,an-l,Bl,B2均為n維實(shí)向量，a1,…，an-l線性無

關(guān)，且2)與al.….an-l均正交.證明：B1與B2線性相關(guān).

正確答案：n+1個(gè)n維向量al,…，an-l,Bl,B2線性相關(guān)，故有不全

為0的一組數(shù)kl,…，kn-1,kn,kn+1,使kla1+…+kn-lan-l+knB1+kn+l

B2的非零解向量，試判斷向量組al,…，ar,B的線性相關(guān)性.

正確答案：線性無關(guān)，證明如下：由題設(shè)條件有BTai=0(i=l,2,…，r).設(shè)

kla1+…+krar+kr+1B=0,兩端左乘BT,并利用BTai=0及BTB>0,得

kr+l=0,kla1+…+kr,可知a2問kl與k2各取何值，方程組無解?有唯一解?

有無窮多解?在有無窮多解時(shí)，求其一般解.

正確答案：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換：由階梯形矩陣可見：(1)

當(dāng)klW2時(shí)，r(A)==4,故此時(shí)方程組有唯一解.(2)當(dāng)kl=2時(shí)，對B作初等行

變換：可見當(dāng)kl=2且k2關(guān)1時(shí)，r(A)=3,而=4,方程組無解.(3)當(dāng)kl=2且k2=l

時(shí)，對矩陣C作初等行變換：由此得方程組的一般解為xl=-8,x有解.(1)確

定a、b的值；(2)求其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，并用之表示原方程組的全部解.

正確答案：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換：由此可見，方程組有解,b

—3a=0,2—2a=0,即a=l,b=3.當(dāng)a=l,b=3時(shí)，對矩陣B作初等行變換：由

此得方程組的用自由未知量表示的通解為對應(yīng)齊次方程組Ax=0的通解為由此得

Ax=0的基礎(chǔ)解系為11=(1,-2,1,0,0)T,€2=(1,一2,0,1,0)T,€3=(5,

—6,0,0,1)T由階梯形矩陣可見⑴當(dāng)(4一k)(k+l)W0,即kW4且kW—1時(shí)，

r(A)==3,方程組有唯一解.此時(shí)，對矩陣B作初等行變換，可得方程組的唯一

解為：(2)當(dāng)k=-l時(shí)，r(A)=2,而涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

26.設(shè)有線性方程組(1)證明：當(dāng)al,a2,a3,a4兩兩不等時(shí)，此方程組無

解；(2)設(shè)al=a3=k,a2=a4=-k(kWO)時(shí)，31=(-1,1,1)T,32=(1,1,-1)T

是方程組的兩個(gè)解，寫出此方程組的通解.

正確答案：(1)當(dāng)al,a2,a3,a4兩兩不等時(shí)，增廣矩陣的行列式(為一范德

蒙行列式)故有，但系數(shù)矩陣的秩不大于3,故方程組無解.(2)此時(shí)有r(A)==2,

故方程組有無窮多解,對應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)聯(lián)系含3—r(A)=3-2=l

個(gè)解向量，由于A(B1—B2)=AB1—AB2=0,所以，B1問a、b、c各取何值

時(shí)，矩陣方程AX=B有解?并在有解時(shí)，求出全部解.

正確答案：由下列矩陣的初等行變換：可見，r(A)=r[A|B],a=l,b=2,c=l,

于是由上題知Ax=B有解,a=l,b=2,c=l.此時(shí)，對矩陣D作初等行變換：于是

若將矩陣B按列分塊為B=[blb2b3],則得方程組Ax=bl的通解為：xl=(l

一1,一1,1)T；方程組Ax=b2的通解為：xl=(2—m,涉及知識點(diǎn)：線

性代數(shù)

29.設(shè)已知方程組Ax=O的解空間的維數(shù)為2,求c的值，并求出方程組

Ax=O的通解.

正確答案：由條件有4一r(A)=2,r(A)=2,于是由知c=L當(dāng)c=l時(shí)，對矩

性B作初等行變換：由此得方程組的用自由未知量表示的通解為用基礎(chǔ)解系表

示的通解為x=cl(l,-1,1,0)T+c2(0,-1,0,1)T,其中cl,c2為任意常

數(shù).涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)

30.求解線性方程組

正確答案：對增廣矩陣作初等行變換：可見方程組恒有解.(1)當(dāng)aWl時(shí)，

對矩陣B作初等行變換：得通解為：xl=-x4,x2=b+3x4,x3=-3x4(x4任意)，

或x=(0,b,0,0)T+c(—1,3,一3,1)T,其中c為任意常數(shù).(2)當(dāng)a=l時(shí)，

由得通解為：xl為正定二次型.

正確答案：由于兩端取行列式，得由于A正定，故|A|>0,且A-1正定，故

對于任意XWO,