廣東省2021年春季高考數(shù)學模擬試卷一（含解析）

2021年廣東春季高考數(shù)學模擬試卷(1)

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題(本大題共15小題，每小題6分，滿分90分)

1.已知集合/={2,3,4,6},5={1,2,3,4,5},則/口8=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{2,3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用交集的定義計算即可.

【詳解】

因為/={2,3,4,6},8={1,2,3,4,5},所以/Cl8={2,3,4}.

故選:D.

【點睛】

本題考查了集合交集的計算，屬于基礎題.

2.圓C-.Z+/=1的面積是()

Ttn

A.—B.—C.￡D.2"

42

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)圓的方程即可知圓的半徑，由圓的面積公式即可求其面積.

【詳解】

由圓的方程知：圓C的半徑為1,所以面積5=乃/=萬，

故選：c

【點睛】

本題考查了圓的標準方程，由圓的方程求面積，屬于簡單題.

3.血585。的值為（）

友66V3

A.----------D.----------------C.---------I）.

2222

【答案】A

［解析］sin585°=sin（585°—720。）=sin（—135。）=一日.

x+y-2>0

4.已知實數(shù)x，V滿足不等式組<3x—4y+820,則目標函數(shù)z=2x-y的最大值為（）

x<2

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

畫出可行域，然后作出目標函數(shù)的一條等值線2x-y=0,通過平移等值線找到目標函數(shù)取最大值

的最優(yōu)解，可得結(jié)果.

【詳解】

如圖

由z=2x-y,令z=0,則目標函數(shù)的一條等值線為2x-y=0

當該等值線經(jīng)過點N（2,0）時，目標函數(shù)有最大值

所以Zmax=2X2-0=4

故選:D

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃的問題，此種類型的問題，常看幾步：（1）畫出可行域；（2）根據(jù)線性的和非線

性的理解z的含義，然后簡單計算，屬基礎題.

5.設等差數(shù)列｛4｝的前〃項為S“，若4=7,$3=3,則4=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】

%+4d=7

由等差數(shù)列的性質(zhì)得出,3x（3-l）,，解出q,d，即可求出

3a.+------------（1=3

I2

【詳解】

設等差數(shù)列｛%｝的公差為d

解得％=-1,4=2

故選：D

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題.

6.如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知

甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則x+＞的值為（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【解析】

【分析】

觀察莖葉圖，利用甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別求出X、y,相加即可.

【詳解】

因為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17,所以x=7,

因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以9+16上16+；。土『)-29=]74,解得y=7,

所以x+y=14.

故選：C

【點睛】

本題考查根據(jù)莖葉圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)，屬于基礎題.

7.已知角8的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸，若P(4,3)是角。終邊上的一點，則cos。=()

3443

A.-B.-C.-D.一

5534

【答案】B

【解析】

【分析】

由尸的坐標求得I。尸I,再由任意角的三角函數(shù)的定義得答案.

【詳解】

由尸(4,3),得[0冃=而子=5,

又角。終邊經(jīng)過尸(4,3),

八4

cose=—.

5

故選：B.

【點睛】

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，是基礎題.

8.在中，8c=10,sinN=丄，則A/BC的外接圓半徑為（）

3

A.30B.15GC.20D.15

【答案】D

【解析】

【分析】

結(jié)合已知條件，由正弦定理即可求A/BC的外接圓半徑.

【詳解】

若外接圓半徑為R,由正弦定理知：歸5=27?,

sin/

3

AA=10x-=15,

2

故選：D

【點睛】

本題考查了正弦定理，由‘一=27?結(jié)合已知邊角求外接圓半徑，屬于簡單題.

sinA

9.下列函數(shù)為偶函數(shù)，且在（0,+力）單調(diào)遞增的是（）

A.N=j_B-_y=x~+xC.y=2-x~D.y=-2

【答案】D

【解析】

【分析】

采用逐一驗證法，先判斷函數(shù)的定義域，然后計算根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性的判斷方法可得結(jié)果.

【詳解】

對A：令片A（x）=\,定義域為（-℃,0）D（0,+OO）

/(-x)=R=自=/(x),所以函數(shù)為偶函數(shù)，

但該函數(shù)在(0,+8)單調(diào)遞減，故A錯

對B：令歹=/(%)=爐+x,定義域為夫

/(-x)=x2-x*/(x),所以該函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯

對C：令y=/(》)=2-/,定義域為R

/(-X)=2-%2=./-(%),所以函數(shù)為偶函數(shù)且在(0,+8)單調(diào)遞減，故C錯

對D：令y=/(x)=|x|—2,定義域為火

/(—x)=國―2=/(x)所以函數(shù)為偶函數(shù)且在(0,+。)單調(diào)遞增，故D正確

故選：D

【點睛】

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等，屬基礎題.

10.設a=3℃，6=0.53，c=bg3().5,則a,b.c的大小關系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.0b>aD.a>0b

【答案】A

【解析】

【分析】

利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

解：???3°<3°5<3、???1<36<1，即l<a<3,

?/0<0,83<0.8°，A0<0,83<1,即0<6<1,

,/V=log3x在(0,+8)上為增函數(shù)，且0.5<1,

/.log30.5<log31=0,即c<0

a>b>c,

故選：A.

【點睛】

此題考查對數(shù)式、指數(shù)式比較大小，屬于基礎題

11.函數(shù)/(%)=尹1的定義域為()

A.[—1,2)kJ(2,+oo)B.(—l,+oo)

C.[―1,2)D.[-l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得出關于X的不等式組，由此可解得函數(shù)/(X)的定義域.

【詳解】

對于函數(shù)/")=中以，有，x+1>0

日八，解得xN-l且x02.

2-XHO

因此，函數(shù)=的定義域為[-1,2)"2,+8).

2-x

故選：A.

【點睛】

本題考查函數(shù)定義域的求解，考查計算能力，屬于基礎題.

“\|^2+l（x<0）/、

12.已知函數(shù)/（x）=（'若則。的值是（）

I幺I>uI

A.-3或5B.3或—3C.-3D.3或—3或5

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)解析式，分別討論。40,a>0兩種情況，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.

【詳解】

若a40,則/（4）="+1=10,.，.（7=—3（a=3舍去），

若a>0,則/（a）=2a=10,a=5,

綜上可得，a=5或a=-3回.

故選:A.

【點睛】

本題主要考查由分段函數(shù)值求參數(shù)，屬于基礎題型.

13.《孫子算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有圓窖周五丈四尺，

深一丈八尺，問受粟幾何？”其意思為：“有圓柱形容器，底面圓周長五丈四尺，高一丈八尺，求

此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圓周率乃=3）,則該圓柱形容器能

放米（）

A.900斛B.2700斛C.3600斛D.10800斛

【答案】B

【解析】

【分析】

計算出圓柱形容器的底面圓半徑，由此計算岀圓柱形容器的體積，由此可得出結(jié)果.

【詳解】

設圓柱形容器的底面圓半徑為尸，則r=——=一=9（尺），

2萬6

所以，該圓柱形容器的體積為憶=7ir'X18=3X92X18=4374（立方尺），

4374

因此，該圓柱形容器能放米——=2700（斛）.

1.62

故選：B.

【點睛】

本題考查立體幾何中的新文化，考查柱體體積的計算，考查計算能力，屬于基礎題.

14.已知直線/過點（0,-2）,當直線/與圓x2+/=2y相交時，其斜率〃的取值范圍是（）

A.（-272,272）B.（-oo,-2揚U（2&,+8）

C.------,一D.-oo,------U——,+oo

4444

【答案】B

【解析】

【分析】

1-1-21

由圓的方程可得圓的圓心和半徑，再由直線與圓相交的性質(zhì)即可得"=」/,丄<1,即可得解.

“2+1

【詳解】

圓/+丁=2、的方程可變?yōu)?+（"]『=],圓心為（0」），半徑為1,

因為直線/過點（0,-2）,且斜率為％所以直線1的方程為丁+2=厶即厶—歹一2=0,

-1-2

若要使直線/與圓相交，則圓心到直線/的距離』=」/,1<1,

+1

解得kG卜oo,—2(2-^5+ooj.

故選：B.

【點睛】

本題考查了直線與圓位置關系的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.

15.已知x,y的幾組對應數(shù)據(jù)如下表：

X01234

y236910

根據(jù)上表求得回歸方程?=哀+6中的5=2.2,那么匠=。

A.2D.-11.2

【答案】B

【解析】

【分析】

求出樣本點的中心，再代入回歸直線的方程，從而求得&的值.

【詳解】

_0+1+2+3+42+3+6+9+10，

"：x=--------------------=2,y=----------------------=6,

55

樣本點的中心（2,6）,

6-2.2x2+a=>a=1.6.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用樣本點的中心求回歸直線方程的截距，考查函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，屬

于基礎題.

二、填空題

16.已知平面向量a=(2,-2),6=(-1,w),若:丄力，則慟=.

【答案】V2

【解析】

【分析】

根據(jù)向量垂直的坐標運算列關系求參數(shù)即可.

【詳解】

丄丄一一

解：二Q丄b，，Q?6=—2—=0，解得-1,

w=&.

故答案為：、傷.

【點睛】

本題考查了利用向量坐標運算求參數(shù)，屬于基礎題.

17.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若log2%+log2a8=1，則%.%=.

【答案】2

【解析】

試題分析：log2a2+log2a8=1=>log2<?2-a8=1=>a2-a8=2,又數(shù)列｛4“｝是等比數(shù)列，所以

%?%=。2'48=2

考點：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，對數(shù)式的運算

點評：解決本題的關鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)

18.若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形N8CD中，其中/8=2,8C=1,則質(zhì)點落在以48

為直徑的半圓內(nèi)的概率是.

n

【答案】-

4

【解析】

【分析】

利用幾何槪型的概率公式，求出對應的圖形的面積，利用面積之比即可得到結(jié)果.

【詳解】

丄乃X*

設質(zhì)點落在以48為直徑的半圓內(nèi)為事件4,則P6(A八)=2乃.

1x24

TT

故答案為：

4

【點睛】

本題主要考查了幾何槪型的概率的計算，求出對應的圖形的面積是解決本題的關鍵，屬于基礎題.

19.已知2a+36=4,則4"+8"的最小值為.

【答案】8

【解析】

【分析】

由4"+8〃=22a+23b，利用基本不等式即可求解.

【詳解】

由2。+36=4,

則4"+8"=22a+23b>2722flx23A=2y)22a+ib=2A/F=8，

2

當且僅當2a=36=2,即a=l,b=§時取等號，

故答案為：8

【點睛】

本題考查了基本不等式求最值，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎題.

三、解答題

20.設等差數(shù)列｛%,｝的前〃項和為S?,,己知生=5,$3=9.

（I）求首項％和公差d的值：（II）若S,=100,求〃的值.

【答案】（I）%=1；d=2；（II）〃=10

【分析】

（I）利用53=丄詈丄求得％=1；根據(jù)等差數(shù)列通項公式可求得d；（II）利用等差數(shù)列前〃項

和公式可構(gòu)造出關于〃的方程，解方程求得結(jié)果.

【詳解】

（I）由題意得：邑=3（&+兮）.=3（“丑5）=9,解得：

322

5-1

則公差2

2

n（n-\]o

（II）由（I）知：S=na+

n]2

若S〃=100,即〃2=100

又nwN*，解得：〃=10

【點睛】

本題考查等差數(shù)列通項公式和前〃項和的基本量的求解，涉及到等差數(shù)列通項公式和前〃項和公式

的應用，屬于基礎題.

21.已知函數(shù)/（x）=2sin

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期和最大值;

（2）求函數(shù)〃x）的單調(diào)減區(qū)間.

jl3九

【答案】⑴「最大值為2；⑵小兀丁"伏⑶

【解析】

【分析】

(1)先化簡得/(x)=sin2x+l,即得函數(shù)的最小正周期和最大值；

7T34

(2)解不等式^^+2版■K2x<］-+2Qr/eZ),即得解.

【詳解】

71兀

(1)/(%)=2sin(x+―)cos(x-y)+1=2cosxsinx+l=2sinxcosx+l

2乃

所以函數(shù)的最小正周期為7=?=1,當sin2x=l時最大值為2；

2

IT37r

(2)令'+2k兀