高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精練必備 第4練 函數(shù)及其性質(zhì)（教師版）

第4練函數(shù)及其性質(zhì)

學(xué)校姓名—班級

一、單選題

2A-l,x<0,

1.已知函數(shù)/(力=1若/(⑹=3,則勿的值為()

R,x>0,

A.V3B.2C.9D.2或9

【答案】C

【詳解】

2x-l,x<0

?.,函數(shù)={?，/(m)=3,

x^,x>0

26—1=3-mJ?

：.\八或產(chǎn)-3,

〔加40[加>()

解得m=9.

故選：C.

/、[x+2,x<-1/、

2.已知函數(shù)/(x)=2?,關(guān)于函數(shù)“X)的結(jié)論正確的是()

A./(O)=2B./(X)的值域為(9,4)

C.〃x)<l的解集為(T1)D.若〃x)=3,則x的值是1或6

【答案】B

【詳解】

/、fx+2,x<-l

解：因為〃x)={21°,函數(shù)圖象如下所示：

x,-1<x<2

由圖可知"0)=0,故A錯誤；

/(x)的值域為(—,4),故B正確;

由/(耳<1解得(—，-1)(T1),故C錯誤；

/(%)=3,即二3,解得x=JL故D錯誤；

[-1<x<2

故選：B

3.定義在R上的函數(shù)滿足〃2-力=2-〃力.若/(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則

下列選項中一定成立的是()

A./(-3)=1B./(0)=0C./(3)=2D./(5)=-1

【答案】A

【詳解】

函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則必有/(3-尤)=/*+3),所以，/(0)=/(6),

/(1)=/(5),/(2)=/(4),又因為“X)滿足/(2-x)=2-/(x),取x=l,所以，/(1)=2-/(1),

/(1)=1,則/。)=八5)=1,取x=5,則f(-3)=2-/(5)=l,A對;

故選：A

4.若專函數(shù)〃x)=x"(?eR)滿足(a+l)〃x)=/㈣,則下列關(guān)于函數(shù)〃x)的判斷正確

的是()

A.〃x)是周期函數(shù)B./(力是單調(diào)函數(shù)

c./(X)關(guān)于點(0,1)對稱D./(X)關(guān)于原點對稱

【答案】C

【詳解】

由題意得(。+1)丁=(敬)"，即故e“—a—1=0,

令g(x)=e*-x-l,則g[x)=e'-l,當(dāng)xe(-8,0)時，g[x)<0,則g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)

xw(0,*o)時，g.x)>0,則g(x)單調(diào)遞增；所以8(項而=g(x)=。，因此方程e-&-1=0

有唯一解，解為a=0,因此/(X)=X°=1(XH0),所以不是周期函數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)，關(guān)

于點(0,1)對稱，

故選：C.

5.已知“X)=log,,9/+1-依)是奇函數(shù),若1混+咐+/(?+〃)<0恒成立，則實數(shù)b

的取值范圍是()

A.(-3,3)B.(-9,3)C.(-3,9)D.(-9,9)

【答案】B

【詳解】

/(X)是奇函數(shù)，?,J(-x)=-f(x)n〃x)+〃-x)=0恒成立,

即log.(四+1-ax)+log.(J9(r)?+1-?(-%)]=0恒成立，

化簡得，log“(9犬+l-a2x2)=0,即9小+1-a2x2=1=(9一/=0,

則9—/=(),解得a=±3,又a>0且。:.a=3,

則/(x)=I°g3(的小+1-3x),所以"X)=log3(j9x2+1-3x)=log3721-3，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷得，函數(shù)/(x)在[0,+“)上單調(diào)遞減，又/(x)為奇函數(shù)，

所以“X)在R上單調(diào)遞減；由/(潑+法)+/(奴+。)<0恒成立得，

/(3X2+ZM)<-f(3x+3)=>/(3x2+bx)</(-3x-3)恒成立，

貝Ij3/+fcr>-3x-3=3/+e+3)x+3>0恒成立，

所以△=(。+3『_4x3x3<0恒成立，解得一9cb<3.

故選：B.

6.已知函數(shù)y=/(x-1)是定義在R上的偶函數(shù)，且/⑴在(-8,-1)單調(diào)遞減，/(0)=0,

則/(x)/(2x+l)<0的解集為()

A.2)U(0,+QO)B.(-2,0)

【答案】C

【詳解】

因為函數(shù)y=f(x-l)是定義在R上的偶函數(shù)，所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1“X)在

(F,-l)上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增.

因為f(o)=o,所以〃-2)=〃0)=0.

所以當(dāng)xe(Y>,—2)50,+oo)時，/(x)>0；當(dāng)xw(-2,0)時,/(x)<0.

*/(x)/(2x+l)<0,得｛_；甕髓或藍(lán);i〉。.解得"《々野鳥'。).

故選：C

|lOgHx|,0<X<7l

7.函數(shù)=[1,若/(a)=/S)=,f(c),a<b<c,則必(c-兀)的范圍是

------(x-it),x>n

[2022

()

A.(0,2022)B.IO,2O22JC.(1,2022)D.[1,2022]

【答案】A

【詳解】

|lOgnx|,0<X<7t

依題意f(x)=(1,/(a)=F3)=/(c)且a<b<c,

------(x-n),x>n

thQ<a<l<b<n,f(a)=|logza|=-logxa,f(&)=|logHb\=log,,b,

-log"=log*b,log-=logb,-=b,ab=\.

naxa

Rog小=1,

在[兀,”)上遞增,^^(X-7I)=0=X=TI,5満(x-兀)=lnx=7t+2022,

所以兀<c<7t+2022,0<c—兀<2022,

所以ab(c-兀)的范圍是(0,2022).

故選：A.

8.已知函數(shù)/(*)=一生一,則不等式/(x)>e*的解集為()

1+lnx

【答案】B

【詳解】

AV2er2e"1nxex

函數(shù)f(x)=―-——,貝U/(x)>er0-------->eA<=>--------->一，

1+lnx1+lnx1+lnxx

因x>0,則不等式/(x)>e"成立必有l(wèi)+lnx>0,BPx>-,

e

令g(x)=2,x>丄，求導(dǎo)得g'(x)=￡亠，當(dāng)丄<x<l時，g'(x)<o,當(dāng)X>lfl寸，g'(x)>0,

xe『e

因此，函數(shù)g(x)在(丄,1)上單調(diào)遞減，在(1,R)上單調(diào)遞增，又〃x)>e'=g(l+lnx)>g(x),

e

當(dāng)x>l時，lnx+1>1,于是得1+Inx>x,即1+lnx—x>0,令/?(x)=1+lnx-x,

當(dāng)時，//(X)=--1<0,函數(shù)力(%)在(l,xo)上單調(diào)遞減，Vx>l,A(x)</z(l)=O,因此,

X

l+lnx>x無解，

當(dāng)丄<x<l時，0<lnx+l<l,于是得1+lnxvx,即1+lnx-xvO,此時〃(x)=丄-1>0,

ex

函數(shù)飯X)在(丄,1)上單調(diào)遞增，Vxe(l,l),人。)<〃⑴=0,不等式l+lnx<x解集為(丄,1),

eee

所以不等式/?>er的解集為(-,1).

e

故選：B

二、多選題

9.已知“X)是R上的奇函數(shù)，〃x+2)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xe［0,2］時，f(x)=x2+2x,

則下列說法正確的是()

A./(力最小正周期為4B./(-3)=-3

C.”2020)=0D./(2021)=-3

【答案】BCD

【詳解】

因為/(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(—x+2),

又因為〃x)是奇函數(shù)，所以/(-x+2)=_/(x-2),所以/(x+2)=-f(x-2),

所以f(x+4)=-/(x),

所以“x+8)=-/(x+4)=/(x),所以f(x)的周期為8,故A錯誤;

又當(dāng)x?0,2］時，f(x)=x2+2x,

所以/(-3)=/(5)=_/(1)=_3,選項B正確；

7(2020)=/(4+252x8)=/(4)=-/(0)=0,選項C正確；

/(2021)=/(5+252x8)=/(5)=-/(I)=-3,選項|)正確.

故選:BCD.

10.已知函數(shù)〃x)對任意xeR都有/(x+2)=—/(x),若函數(shù)y=/(x—1)的圖象關(guān)于x=l

對稱，且對任意的西,馬?0,2),且x產(chǎn)馬,都有"%}/(◎)>0,若/(-2)=0,則下列

X\~X2

結(jié)論正確的是()

A.〃x)是偶函數(shù)B.42022)=0

C./(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱D.,/(-2)>/(-1)

【答案】ABCD

【詳解】

對于選項A：由函數(shù)f(x+l)的圖像關(guān)于x=-l對稱，根據(jù)函數(shù)的圖象變換，

可得函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=0對稱，所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，所以A正確；

對于選項B：

由函數(shù)fW對任意xeR都有/U+2)=-/(x),可得/(x+4)=一/(》+2)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

因為/(-2)=0,可得/(2)=0,

則/(2022)=/(505x4+2)=/(2)=0,所以B正確；

又因為函數(shù)/(X)為偶函數(shù),即/(—x)=/(x),所以f(X+2)n—為x)=-f(—X),

可得J(x+2)+/(-x)=0,所以函數(shù)/(X)關(guān)于(1,0)中心對稱,所以C正確;

由對任意的西,々€(0,2),且x產(chǎn)當(dāng)，都有/(“)一”“)>0,

X\~X2

可得函數(shù)fM在區(qū)冋(0,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

又因為函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)上為單調(diào)遞減函數(shù)，故/(-2)>/(-1),所

以D正確.

故選：ABCD

11.己知幕函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過點(4,2),則下列命題正確的有().

A.函數(shù)/(x)的定義域為R

B.函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)

c.過點p(o,g)且與“X)圖象相切的直線方程為y

D.若…卩。，則/叫小2)>/(哈

【答案】BC

【詳解】

設(shè)〃X)=/,將點(4,2)代入〃x)=xa,

得2=4"，則a=萬，即y(x)=#，

對于A：“X)的定義域為［0,M),即選項A錯誤;

對于B：因為〃x)的定義域為［0,鉆)，

所以/(x)不具有奇偶性，即選項B正確；

對于C：因為〃x)=%，所以(。)=4，

設(shè)切點坐標(biāo)為匹爲(wèi))，則切線斜率為k=/'伍卜盅,

切線方程為"扁=又因為切線過點P(0；),

所以;一直於(?！?,解得…

即切線方程為=即尸gx+g,

即選項c正確；

對于D：當(dāng)0＜玉＜九2時，

J(%)+/(%)]2,2(均+工2、_(+辦+工2

[21~~r

_X]+工2+2”[工2X}+X2_2yjx}x2-x}-x2_(衣-7^")

-4T~~4-4

即"%)+〃*2)＜/(三士上)成立，即選項D錯誤.

故選：BC.

12.已知函數(shù)/(刈=牛1，則()

A./(x)的定義域為7?B./(x)是奇函數(shù)

C./(同在僅,+^上單調(diào)遞減D.7(x)有兩個零點

【答案】BC

【詳解】

對A：『(%)的定義域為{x|"Q},A錯誤;

對B：/(—)=上空=-號=-/(力，且定義域關(guān)于原點對稱，故〃x)是奇函數(shù)，B正

確；

r+11

對C：當(dāng)x>0時，，f(x)=-----=1-1—,單調(diào)遞減，C正確；

XX

對D：因為x*0,W+l>0,所以f(x)=o無解，即f(x)沒有零點，D錯誤.

故選：BC.

三、填空題

13.已知函數(shù)〃x)=3「零3'("0)為奇函數(shù)，則。=.

【答案】2或-1

【詳解】

函數(shù)f(x)=3,-零3,(ax0)為奇函數(shù)，其定義域為R

由/(0)=1-華=0,解得a=2或a=—l

當(dāng)a=2時，/(x)=3'-3-\則/(—x)=37—3'=-/(x),滿足條件.

當(dāng)a=—1時，/(同=3、-3一*,則“―x)=3—-3，=一〃力，滿足條件.

故答案為：2或-1

14.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時，/(x)=(x—加戶+2a。4.若/(X)的圖

象與“軸恰有三個交點，則實數(shù)a的值為.

【答案】2

【詳解】

由偶函數(shù)的對稱性知：f(x)在(7,0)、(0,20)上各有一個零點且/(0)=0,

所以/(0)=2(a+l)(a-2)=0,則a=—1或a=2,

當(dāng)a=T時,在(。,+℃)上/(x)=(x+2)e*-2,則/'(x)=(x+3)e*>0,

所以/⑺在(0,+8)上遞增，/(x)>/(0)=0,故無零點，不合要求：

當(dāng)a=2時,在(0,+?)上f(x)=(x-4)e'+4,則/'")=(工-3把，，

所以f(x)在(0,3)上遞減,在以內(nèi))上遞增,

HO/(x)>/(3)=4-e3<0K/(O)=0,/(4)=4,故(0,內(nèi))上有一個零點，符合要求;

綜上，4=2.

故答案為：2

15.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x)=.①/(x)是定義域為R的

奇函數(shù)；@/(l+x)=/(l-x)；③/(1)=2.

TTY

【答案】2siny(答案不唯一)

【詳解】

由條件①②③可知函數(shù)對稱軸為x=l,定義域為R的奇函數(shù)，可寫出滿足條件的函數(shù)

f(x)=2sin^x.

故答案為：2sin^x(答案不唯一)

16.已知函數(shù)y=/(x)是R上的奇函數(shù)，對任意xeR,都有"2-x)=/(x)+/(2)成立,

當(dāng)陽，々e［0』］,且x戶土?xí)r，都有‘°')一"上)>()，有下列命題：

X)-x2

①42)+/⑶+…+”2022)=0；

②點(2022,0)是函數(shù)y=/(x)圖象的一個對稱中心；

③函數(shù)y=〃x)在［-2022,2022］上