2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練 定弦定角(解析版)

專題04定弦定角（專項(xiàng)訓(xùn)練）

1.（2021秋?如皋市期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AB=3.若P為AABC

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足NB43=NACP,則線段P8長(zhǎng)度的最小值為（）

【答案】B

【解答】解：???△ABC是等邊三角形，

AZABC=ZBAC=60°,AC=AB=3,

"：ZPAB=ZACP,

：.ZPAC+ZACP=6^,

/.Z/1PC=120°,

.?.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是M，

設(shè)立所在圓的圓心為O,當(dāng)。、P、B共線時(shí)，PB長(zhǎng)度最小，設(shè)OB交AC于

D,如圖所示：

此時(shí)出=PC,OBLAC,

則A￡>=CD=UC=J_,N鞏C=NACP=30°,ZABD=1ZABC=3O°,

222

:.PD=?,BD=.3&,

22

:.PB=BD-/>￡)=373__V3_=^3

22

故選:B.

2.（2021秋?宜興市期末）如圖，在△ABC中，ZABC=90°,BC=4,AB=8,

P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為尸8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO,當(dāng)NCBP=N

84。時(shí)，線段CO的最小值是(：)

二

BC

A.V2B.2c.2V2-ID.4V2-4

【答案】D

【解答】解：?.?NABC=90°,

ZABP+ZCBP=90°,

■:/CBP=/BAD,

：.ZABD+ZBAD=90°,

二ZADB=90°,

取AB的中點(diǎn)E,連接。E,CE,

：.DE=1AB=4,

2

OC=?OB=4

,:CD》CE-DE,

...CD的最小值為4&-4,

故選：D.

3.（2021秋?潛山市期末）如圖，在矩形ABC。中，AB=S,BC=6,點(diǎn)P在矩

形的內(nèi)部，連接出，PB,PC,若NPBC=N/^B,則PC的最小值是（）

A.6B.V73-3C.2A/13-4D.4^13-4

【答案】C

【解答】解：???四邊形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

AZABP+ZPBC=90°,

,：APBC=ZPAB,

%B+/P8A=90°,

/.ZAPB=90°,

...點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O,連接OC交。。于P,此時(shí)

PC最小，

?*oc='\lQ^2+B，c2=yJ42+62=2，/13，

...PC的最小值為2岳-4,

故選：C.

4.（2022?巢湖市二模）如圖，在矩形A8CD中，AD=5,A8=3?,點(diǎn)E在

AB上，四_=」，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P,使得N3PE=60°,則線段產(chǎn)。的最小

EB2

A.277-2B.2^/13-4C.4D.273

【答案】A

【解答】解：如圖，在BE的上方，作△0E8,使得0E=08,NEOB=120°,

連接0D,過點(diǎn)。作OQLBE于Q,OJLAD于./.

NBPE=LNEOB,

2

...點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，0E為半徑的。。,

，當(dāng)點(diǎn)P落在線段0。上時(shí)，。產(chǎn)的值最小，

?.?四邊形A8CQ是矩形，

AZ/4=90°,

"：AB=3y/3,AE：EB=l：2,

:.BE=2M，

?：0E=0B,NEO8=120°,0Q1EB,

:.EQ=BQ=如,ZEOQ=ZBOQ=60°,

：.0Q=1,0E=2,

'：OJ±AD,OQLAB,

：.ZA=ZAJO=ZAQO=90°,

四邊形AQ。/是矩形，

：.AJ=OQ=\,

J0=AQ=2M，

'：AD=5,

：.DJ=AD-AJ=4,

；.°。=VjD2OJ2=44二+(2%)2=2V7，

：.PD的最小值=。。-0P=2V7-2,

故選：A

5.（2021?廣西模擬）如圖，AC為邊長(zhǎng)為蓊的菱形A8CD的對(duì)角線，ZABC

=60°,點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC,C4向終

點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)，連接AM和求△APB面積的最大值是（）

C.1+73D.近

【答案】D

【解答】解：???四邊形ABC。是菱形,

:.AB=CB=CD=AD,

VZABC=60°,

.?.△ABC是等邊三角形，

/.ZACB=Z/1W=6O0,

???點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)8,C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿8C,C4向終點(diǎn)C和A

運(yùn)動(dòng)，

：.BM=CN,

在△ABM和△以"中，

，BA=BC

,NABM=NBCN，

BM=CN

:AABM44BCN(SAS),

?\ZBAM=/CBN,

:.NABP+NCBN=60°,

：.ZABP+ZBAM=60°,

，NAPB=180°-60°=120°,

.?.點(diǎn)尸在弧AB上運(yùn)動(dòng)，

，當(dāng)位=奇時(shí)，△■R48的面積最大，最大值=_1X2FX1=JE，

2

故選：D.

D

6.如圖，在△ABC中，BC=6,ZBAC=45°,則△ABC面積的最大值為

［答案］9+9^2

【解答】解：如圖，作△A3C的外接圓。0,連接。8、0C,過點(diǎn)。作

BC于H,

則BH=HC,

由圓周角定理得：ZBOC=2ZA=90a,

：.0B=OC=?BC=3OH=1BC=3,

22

當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，△ABC的面積最大，

由題意可知，邊上的高的最大值為：3+3&,

...△A8C面積的最大值為：1X6X(3+3&)=9+9&,

2

故答案為：9+9底.

7.（2022秋?定海區(qū)期中）如圖，2XABC中，AC=3,BC=4近,ZACB=45°,

。為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，?0為△ACO的外接圓，直線8。交。。于尸點(diǎn)，交

BC于E點(diǎn),定=容，則AO的最小值為

【解答】解：:金=百,

:.ZACB=ZCDP.

VZACB=45°,

/.ZCDP=45°,

/.ZBDC=180°-45°=135°,

...點(diǎn)。在以BC為弦，ZBDC=135°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，

如圖，設(shè)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心為M,取優(yōu)弧上一點(diǎn)M

：.ZBMC=9Q°,

"：BM=CM,

.??△BMC為等腰直角三角形，

ZMCB=45°,MC=^-BC=4,

2

VZACB=45°,

/.ZACM=90°,

AM=VAC2+MC2=V32+42=5)

.,.當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，AO最小,

此時(shí)，AD=AM-MD=5-4=1.

故答案為：1.

8.（2021?柳南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為代的等邊△A8C中，動(dòng)點(diǎn)。，E

分別在BC,AC邊上，且保持AE=CZ）,連接BE,AD,相交于點(diǎn)P,則CP

的最小值為.

【解答】解：???CD=AE,

：.BD=CE,

在△AB。和△BCE中，

'AB=BC

-ZABD=ZBCE>

BD=CE

A(SAS),

故NBAD=NCBE,

VZAPE=ZABE+ZBAD,NAPE=/BPD,/ABE+NCBE=60°,

ZBPD=ZAPE=ZABC=60°,

AZAPB=\20°,

.??點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是第，ZAOB=\2Q°,連接CO,

'：OA=OB,CA=CB,OC=OC,

：.AAOC^/\BOCCSSS),

；.NOAC=NOBC,/ACO=N8CO=30°,

VZAOB+ZACB=1SO°,

：.ZOAC+ZOBC=ISO°,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

，OC=-s30°=2,OA=1.OC=1,

2

:.0P=1,

,:PC20C-OP,

：.PC?1,

...PC的最小值為1.

9.(2021秋?灌南縣校級(jí)月考)我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓的知識(shí)時(shí)，常常碰到題目中明明

沒有圓，但解決問題時(shí)要用到，這就是所謂的“隱圓”問題：

下面讓我們一起嘗試去解決：

動(dòng)點(diǎn)，且滿足NB48=NP3C,則線段CP長(zhǎng)的最小值為.

(2)如圖，在正方形A8CD中，動(dòng)點(diǎn)E、尸分別從。、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以

相同的速度在邊。C、上移動(dòng)，連接AE和。尸交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E、尸的

移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng).若AO=2,則線段CP的最小值是.

(3)如圖，矩形ABC。中，AB=2,AD=3,點(diǎn)E、E分別為A。、0c邊上

的點(diǎn)，且所=2,點(diǎn)G為麻的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則%+PG的最

小值為多少？

【解答】解：(1)如圖1中，

o

圖1

VZABC=90°,

AZABP+ZPBC=90°,

'：ZPAB=ZPBC,

，NBAP+NABP=90°,

AZAPB=90°,

.?.點(diǎn)P在以AB為直徑的O。上，連接。。交。。于點(diǎn)P,此時(shí)PC最小,

在RtZ^BCO中，VZOBC=90°,BC=4,03=3,

OC=VOB2+BC2=V32+42=5-

：.PC=OC-OP=5-3=2.

最小值為2.

故答案為2；

(2)如圖2中，

圖2

?.?動(dòng)點(diǎn)E,尸分別從￡>,。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在邊。C,C3上移動(dòng),

：.DE=CF,

在△4￡)￡：和△OC尸中，

'AD=CD

<ZADE=ZBCD=90°，

DE=CF

^ADE^/XDCF(SAS),

：./DAE=NCDF,

VZCDF+ZADF=ZADC=90°,

/.ZADF+ZDAE=90°,

AZAPD=90°,

取AZ）的中點(diǎn)。，連接OP,則。尸=工。=工乂2=1（不變），

22

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得C、P、。三點(diǎn)共線時(shí)線段CP的值最小，

在RtZ\COD中，根據(jù)勾股定理得，00=也口2+0口2=62+]2=遙,

所以，CP=CO-OP=^-L

故答案為：^5~1；

（3）如圖3中,

〃圖3

?.?E尸=2,點(diǎn)G為E/7的中點(diǎn)，

：.DG=\,

?..G是以。為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)，

作A關(guān)于8C的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'D,交BC于P,交以。為圓心，以1

為半徑的圓于G,

此時(shí)必+PG的值最小，最小值為A'G的長(zhǎng)；

"：AB=2,AD=3,

.*.A4Z=4,

.'.A'D=5,

：.A'G=A'D-DG=5-1=4,

：.PA+PG的最小值為4,

10.如圖，在Rt/XABC中，ZBAC=90°,BC=6,求A8+AC的最大值.

【解答】解：延長(zhǎng)84到。，使AQ=AC,連接。C,作△8QC的外接圓00,

：.AB+AC=DB,

,：ZBAC=90°,

AZD=45°,

...當(dāng)8。是。。直徑時(shí)，8。取得最大值，

即AB+AC取得最大值，

當(dāng)BO是。0直徑，ZD=45°,

，△BCD是等腰直角三角形，

:.BD=?BC=6?,

...AB+AC的最大值為：672，

(1)如圖①，點(diǎn)。是正方形A3CO的對(duì)稱中心，點(diǎn)E,尸分別在AB,BC邊

上，且NEO/=90°,連接BO,則線段BE,BF,BO之間滿足的等量關(guān)系

為;

【問題探究】

(2)如圖②，在△ABC中，AB=4,AC=2,以BC為邊在8C下方作等腰

RtABCD,其中NBOC=90°,連接AO,求AO的最大值；

【問題解決】

(3)如圖③，某縣政府為解決農(nóng)業(yè)灌溉問題，加強(qiáng)農(nóng)田水利“最后一公里”

建設(shè)，改善農(nóng)田灌溉、生態(tài)治理等水利民生工作，計(jì)劃給該縣管轄下的村莊A,

B,C修建總揚(yáng)水站。以及支渠AO,BD,CD,其中A8=AC=66，NBAC

=120°.為了灌溉更多的農(nóng)田，需要三條支渠總長(zhǎng)（4。+8。+。。）盡可能長(zhǎng).已

知預(yù)建的總揚(yáng)水站。及支渠3D,CZ）滿足NBDC=60°.你認(rèn)為該縣政府的

想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出三條支渠總長(zhǎng)的最大值；若不能，請(qǐng)說明理由.

圖①圖②圖③

【解答】解：（1）如圖1,

???四邊形A8CO是正方形，。是對(duì)稱中心，

/.ZBOC=90°，OB=OC,/EBO=NFCO=45°，

,：ZEOF=90°，

：.ZEOF=ZBOC,

：./EOF-/BOF=ZBOC-/BOF,

:./BOE=NCOF,

:ABOEQACOF(ASA),

，BE=CF,

,:BC=?OB,

：.BF+CF=42OB,

：.BF+BE=?OB,

故答案為：BF+BE=yf2OB：

(2)如圖2,

BC

E：/