重難點突破：專題05 平方根（解析版）

專題05平方根重點算術(shù)平方根的概念及表示方法難點平方根的概念及其性質(zhì)易錯混淆平方根和算術(shù)平方根一、求平方根和算術(shù)平方根若求一個算式的算術(shù)平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算術(shù)平方根，有時也可通過簡單的變形化成一個正數(shù)的平方的形式，從而提高運算的速度和準確率．【例1】下列各數(shù)中一定有平方根的是（）A．a(chǎn)2﹣5 B．﹣a C．a(chǎn)+1 D．a(chǎn)2+1【答案】D【解析】解：A．當a＝0時，a2﹣5＝﹣5＜0，不符合題意；B．當a＝1時，﹣a＝﹣1＜0，不符合題意；C．當a＝﹣5時，a+1＝﹣4＜0，不符合題意；D．不論a取何值，a2≥0，a2+1＞0，符合題意．故選D．【例2】的算術(shù)平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．6【答案】A【解析】∵＝9，∴的算術(shù)平方根是＝3，故選：A.二、算術(shù)平方根非負性的應(yīng)用常用的三類非負性的表示形式：絕對值、偶次冪、算術(shù)平方根，當幾個非負數(shù)的和為0時，則每一個非負數(shù)均為0，這一結(jié)論在解答許多數(shù)學(xué)問題中起著關(guān)鍵的作用．【例3】已知，且，化簡（

）．A． B．1 C．或 D．3或1或或【答案】C【解析】由題意得：，解得，∵，∴，∴或，∴=-2+1=-1，或=-2-1=-3．故選C．【例4】若，則等于（）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】解：，，，，，，故選：A．三、利用平方根的知識解方程先將方程轉(zhuǎn)化為一個式子的平方等于一個非負數(shù)的形式，再利用開平方求解．【例5】已知(x+1)216，則x的值是（

）A．3 B．7 C．3或5 D．7或8【答案】C【解析】根據(jù)題意得x+1=±4，x=-1±4，得x=3或-5．故選C．【例6】若方程的兩根為和，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是19的算術(shù)平方根 B．是19的平方根 C．是19的算術(shù)平方根 D．是19的平方根【答案】C【解析】根據(jù)平方根的意義，可知x-5是19的一個平方根，由a＞b，可知a-5是19的算術(shù)平方根，b-5是其負的平方根.故選C四、平方根和算術(shù)平方根定義和性質(zhì)的綜合運用若一個數(shù)的平方根是它本身，則這個數(shù)是0；若一個數(shù)的算術(shù)平方根是它本身，則這個數(shù)是0或1．【例7】已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2x+3和x﹣6，則這個正數(shù)的值為（

）A．5 B．1 C．±5 D．25【答案】D【解析】解：根據(jù)題意知2x+3+x-6=0，解得：x=1，∴2x+3=5，∴這個正數(shù)為52=25，故選D．【例8】若，則（

）A．x>0 B．x≥0 C．a(chǎn)>0 D．a(chǎn)≥0【答案】D【解析】∵一個數(shù)的平方數(shù)是非負數(shù)，x2=a，∴a≥0，故選D．一、單選題1．的平方根是（

）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】解：，9的平方根是．即的平方根是．故選：．2．下列各數(shù)沒有算術(shù)平方根的是（

）A．0 B．16 C．－4 D．2【答案】C3．已知，那么（

）A．2 B．3 C．-2 D．8【答案】A【解析】解：∵|a-5|+=0，∴a-5=0，b-3=0，解得：a=5，b=3，∴a-b=5-3=2，故選：A．4．估算的值是在（

）之間A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9【答案】C【解析】∵∴∴故選：C．5．若，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】D【解析】因為，所以x-1=0，2y-1=0，解得x=1，，所以．故選：D．6．正方形的邊長為，它的面積與長為96cm，寬為12cm的矩形的面積相等，則a的值為（

）A． B．36 C． D．24【答案】C【解析】解：由題意得a2=96×12，∴a=（負值舍去），故選C．二、填空題7．如果，那么____________【答案】【解析】解：根據(jù)平方根的意義，得，故答案為：．8．若x、y為實數(shù)，且|x＋3|＋＝0，則（）2021的值為______．【答案】﹣1【解析】解：∵|x＋3|≥0，≥0，∴當|x＋3|＋＝0時，x＋3＝0，y﹣3＝0∴x＝﹣3，y＝3∴＝＝﹣1故答案為：﹣1三、解答題9．已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式：【答案】0【解析】解：∵a＜0，c＜0，b＞0，∴a+c＜0，c﹣b＜0，∴原式＝﹣a﹣[﹣（a+c）]+（b﹣c）﹣b＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝0．故答案為0．10．先填寫表，通過觀察后再回答問題：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…(1)表格中x＝，y＝；(2)從表格中探究a與數(shù)位規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知≈3.16，則≈；②已知＝8.973，若＝89.73，用含m的代數(shù)式表示b，則b＝；(3)試比較與a的大?。敬鸢浮?1)0.1，10(2)①31.6；②(3)當時，；當時，；當時，；當時，【解析】(1)解：根據(jù)題意得：；(2)解：根據(jù)題意得：當a擴大100倍時，擴大10倍，①∵≈3.16，∴；②∵＝8.973，＝89.73，∴；(3)當時，，此時；當時，，此時；當時，根據(jù)a與數(shù)位規(guī)律得：；當時，根據(jù)a與數(shù)位規(guī)律得：；綜上所述，當時，；當時，；當時，；當時，．一、單選題1．若，，則所有可能的值為（

）A．8 B．8或2 C．8或 D．或【答案】D【解析】解：∵，∴a=±5，∵，∴b=±3，當a=5，b=3時，；當a=5，b=-3時，；當a=-5，b=3時，；當a=-5，b=-3時，；故選：D．2．若方程的解分別為，且，下列說法正確的是（

）A．是5的平方根 B．是5的平方根C．是5的算術(shù)平方根 D．是5的算術(shù)平方根【答案】C【解析】∵方程的解分別為，∴，，∴a-1，b-1是5的平方根，∵，∴，∴a-1是5的算術(shù)平方根，故選C.3．一個數(shù)的相反數(shù)是最大的負整數(shù)，則這個數(shù)的平方根是（）A． B．1 C． D．0【答案】C【解析】解：最大的負整數(shù)是-1，根據(jù)概念，（-1的相反數(shù)）+（-1）=0，則-1的相反數(shù)是1，則這個數(shù)是1，1的平方根是，故選：C．4．數(shù)軸上表示下列各數(shù)的點，能落在A，B兩個點之間的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：由數(shù)軸得，A點對應(yīng)的數(shù)是1，B點對應(yīng)的數(shù)是3，A.-2＜＜-1，不符合題意；B.2＜＜3，符合題意；C、3＜＜4，不符合題意；D.3＜＜4，不符合題意；故選：B5．如圖所示長方形中，，長方形內(nèi)放置兩個邊長都為的正方形與正方形，若兩個正方形重疊部分面積為，長方形未被兩個正方形蓋住部分面積之和為（陰影部分的面積之和），已知：，則a的值為（

）A． B． C．3.5 D．4【答案】A【解析】解：∵AB=4cm，BC=6cm，∴四邊形ABCD的面積為4×6=24cm2，∵四邊形AEFG和四邊形CHIJ的面積都為a2，∴S乙=SABCD-SAEFG-SCHIJ+S甲，即S乙=24-a2-a2+S甲∵S甲=S乙，∴S甲=24-a2-a2+S甲，解得：a=（負值已舍去），故選A．6．滿足>0.99的最小整數(shù)n的值是(

)A．48 B．49 C．50 D．51【答案】C【解析】由題意可知被開方數(shù)無限接近1，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，可知，當n=50時，，，因此可知最小整數(shù)n為50.故選C.二、填空題7．對于實數(shù)a，b，定義運算“*”如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）*（m﹣3）＝24，則m的值為______．【答案】或4【解析】解：由題意得：，即，，或，解得或，故答案為：或4．8．如圖，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小貓，若小貓頭部（圖中涂色部分）的面積是16，則原正方形的邊長為_________cm．【答案】8【解析】如圖所示：∵①與②的面積相等，∴小貓頭部的面積是正方形面積的，∵小貓頭部的面積是16，∴正方形面積為16×4=64cm2，∵64=82，∴正方形的邊長為8cm，故答案為：8三、解答題9．已知．（1）求x與y的值；（2）求x+y的算術(shù)平方根．【答案】（1），；（2）2【解析】（1）由題可得：，解得：，∴，；（2），∵4的算術(shù)平方根為2，∴的算術(shù)平方根為2．10．如圖將邊長為2cm的小正方形與邊長為xcm的大正方形放