等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)

關(guān)于等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:形式1:形式2:復(fù)習(xí)回顧第2頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)？當(dāng)d≠0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令第3頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.第4頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對(duì)稱軸為7n113Sn第5頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第6頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天∴a7+a8=0等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0第7頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天求等差數(shù)列前n項(xiàng)的最大(小)的方法方法1:由利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸求得最值及取得最值時(shí)的n的值.方法2:利用an的符號(hào)判定①當(dāng)a1>0,d<0時(shí),此時(shí)Sn有最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②當(dāng)a1<0,d>0時(shí),此時(shí)Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第8頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí):已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C第9頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)2:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也是等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有n2d性質(zhì)1:為等差數(shù)列.

性質(zhì)3:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則第10頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1,則

S2n-1=(2n－1)an(an為中間項(xiàng)),

此時(shí)有:S奇－S偶=

,an性質(zhì)5:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=－(m+p)性質(zhì)6:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=0性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=,nd第11頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用第12頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為100,前100項(xiàng)的和為10,則它的前110項(xiàng)的和為

.－110例4.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,且求和.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用第13頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為

.例6.(09寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=.例7.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.510153等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用第14頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數(shù)列{Sn}中數(shù)值最大的項(xiàng),并說明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)第15頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)∵∴Sn圖象的對(duì)稱軸為由(1)知由上得即由于n為正整數(shù),所以當(dāng)n=6時(shí)Sn有最大值.∴Sn有最大值.第16頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)1已知等差數(shù)列25,21,19,…的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn最大的序號(hào)n的值.第17頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)2:求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和.第18頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)3：已知在等差數(shù)列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn為其前n項(xiàng)和.（1）問該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始為負(fù)？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整數(shù)n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值第19頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天課堂小結(jié)1.根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式.2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求=An2+Bn的最值.第20頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)2:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也是等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有n2d性質(zhì)1:為等差數(shù)列.

性質(zhì)3:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則第21頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1,則

S2n-1=(2n－1)an(an為中間項(xiàng)),

此時(shí)有:S奇－S偶=

,an性質(zhì)5:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=－(m+p)性質(zhì)6:若Sm=