北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊課時精讀精練1.1《等腰三角形（第4課時）》

北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊課時同步精讀精練（解析版）三角形的證明1.等腰三角形（第4課時）課本精讀等邊三角形的判定等邊三角形判定定理1三個角都相等的三角形是等邊三角形.等邊三角形判定定理2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.含30°銳角直角三角形性質(zhì)定理在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.法.cbcba如圖，c=2a,b=3a習(xí)題精煉選擇題等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是60°，則頂角的度數(shù)是（）30° B.30°或150° C.60°或150° D.60°或120°【答案】B【解析】本題要分情況討論．當?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種情況．【詳解】解：①當為銳角三角形時，如圖1，∵∠ABD=60°，BD⊥AC，∴∠A=90°60°=30°，∴三角形的頂角為30°；②當為鈍角三角形時，如圖2，∵∠ABD=60°，BD⊥AC，∴∠BAD=90°60°=30°，∵∠BAD+∠BAC=180°，∴∠BAC=150°∴三角形的頂角為150°，故答案為：B.如圖，將等邊沿著BD折疊，點C落到點E處，連接AE，若，則∠EAB的度數(shù)為（）A．84° B．80° C．72° D．68°【答案】A【解析】：根據(jù)折疊可知，∠EBD=∠DBC=36°，BC=BE，∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=72°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC，∴∠EBA=∠EBC∠ABC=12°，∵AB=BC，BC=BE，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA，∴∠BAE=12故答案為：A．已知：如圖，l∥m，等邊△ABC的頂點B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為20°，則∠α的度數(shù)為（）A．60°B．45°C．40°D．30°【答案】C【解析】：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=60°.∴∠α=180°?180故答案為：C.下列四個說法中，正確的有（）個．①三個角都相等的三角形是等邊三角形．②有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形．③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．④有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形．A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C【解析】：根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的三個內(nèi)角相等，則每一個內(nèi)角為60°，故A正確；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形中有兩個都等于60度，則第三個內(nèi)角為60°，則每一個內(nèi)角為60°，故B正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，如果等腰三角形中有一個內(nèi)角為60°，那么另外兩個內(nèi)角也分別為60°，故C正確；等腰三角形的兩個底角相等，但不一定等于頂角，故D錯誤.故答案為：C．如圖,等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點，分別過點E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是（）.

6B.7C.8D.9【答案】A【解析】：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，BC=6.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠DFE=60°，，∴△EDF為等邊三角形.∴DE=EF=EF，∵E，F(xiàn)是BC的三等分點，AO=DO，∴EF=13BC=2∴DE+EF+DF=6故答案為：A.如圖，是邊長為2的等邊三角形，是高上的一個動點，以為邊向上作等邊，在點從點到點的運動過程中，點所經(jīng)過的路徑長是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】：取BC的中點H，連接NH，證明△DBM≌△HBN（SAS），進而得到HN=DM，再計算出CD即可求出點N所經(jīng)過的路徑長．解：如圖，取BC的中點H，連接NH，∵BH=12BC=12∵CD⊥AB，BD=12AB∴BH=BD，∵△ABC和△BMN是等邊三角形，∴BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH，∴∠DBM=∠HBN，∴△DBM≌△HBN（SAS），∴HN=DM，∠BHN=∠BDM=90°，∴NH⊥BC，又點M在C處時，HN=CD=32AB=32×點M在D處時，點N與點H重合，∴點N所經(jīng)過的路徑的長為M從C點運動到D點運動的路徑長3．故選：D．二、填空題如圖，是等邊三角形，點P在內(nèi)，，將PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則PQ的長等于.【答案】6【解析】由旋轉(zhuǎn)以及△ABC是等邊三角形可證△AQP為等邊三角形，進而可知PQ的長度．解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAB＋∠CAP=60°，∵∠PAB=∠QAC，∴∠QAC＋∠PAC=60°，∵AP=AQ，∴△AQP為等邊三角形，∴PQ=AP=6，故答案為6（2022·浙江舟山·八年級期末）如圖，已知等邊三角形ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且ED⊥BC，則∠EFD＝_____．【答案】45°【解析】：由翻折的性質(zhì)可知∠AFE＝∠EFD，求出∠FDB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和可得∠BFD的度數(shù)，即可求解．解：由翻折的性質(zhì)可知；∠AFE＝∠EFD．∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．∵ED⊥BC，∴∠EDC=90°，∴∠FDB＝30°，∴∠BFD＝90°，∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，∴∠EFD＝45°．故答案為：45°△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，則∠1=_______度，此三角形有_______個等腰三角形．【答案】①.72°②.3【解析】：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°?36°）×12∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°36°72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.圖中共有3個等腰三角形．故答案為①.72°②.3（2022·浙江衢州·八年級期末）如圖，△ABC是等邊三角形．在AC，BC邊上各取一點P，Q，使AP＝CQ，且∠ABP＝20°，AQ，BP相交于點O，則∠AQB＝_____．【答案】80°【解析】：先證明△BAP≌△ACQ，再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠ABP=∠CAQ=20°，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論.解：△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°∵AP=CQ，∴△BAP≌△ACQ.∴∠ABP=∠CAQ=20°∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.故答案為：80°（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有.【答案】①②④【解析】：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°，通過推理證明對①②③④四個結(jié)論進行判斷即可．【詳解】解：①∵△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正確；②∵△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正確；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝12∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′與BB′不垂直．故③不正確；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝12∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正確．∴①②④這三個結(jié)論正確．【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解答題（2022·浙江·金華市第五中學(xué)八年級期末）已知，如圖，延長的各邊，使得，，順次連接，得到為等邊三角形．求證：（1）；（2）為等邊三角形．【解析】：（1）關(guān)鍵是證出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，兩兩相加可得．再結(jié)合已知條件可證出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等關(guān)系，可得出∠AFE=∠CED，再結(jié)合△DEF是等邊三角形，可知∠DEF=60°，從而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等邊三角形．證明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等邊三角形（已知），∴EF=DE（等邊三角形的性質(zhì)）．又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（對應(yīng)角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代換），△DEF是等邊三角形（已知），∴∠DEF=60°（等邊三角形的性質(zhì)），∴∠BCA=60°（等量代換），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角對等邊）．∴△ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）．（2022·河北保定·八年級期末）將一個三角形沿著其中一個頂點及其對邊上的一點所在的直線折疊，若折疊后原三角形的一邊垂直于這條對邊，則稱這條直線是該三角形的“對垂線”．（1）如圖1，AD是等邊△ABC的對垂線，把△ABC沿直線AD折疊后，點B落在點B'處，求∠BAD的度數(shù)；（2）如圖2．在△ABC中，∠BAC=90°，點D在邊BC上，且AB=AD，若∠B=2∠DAC，判斷直線AD是否是△ABC的對垂線，并說明理由．【答案】：（1）15°；（2）是．【解析】（1）由“對垂線”的定義可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，則可得出∠BAD=∠B'AD，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAB'12∠BAC（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠BDA，可得出∠DAC=∠C=12∠B，求出∠B=60°，證得∠AFD解：（1）∵AD是等邊△ABC的對垂線，把△ABC沿直線AD折疊后，點B落在點B'處，∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，∴∠BAD=∠B'AD．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．又∵AB'⊥BC，∴∠BAB'=12∠BAC∴∠BAD=12∠BAB'=1（2）直線AD是△ABC的對垂線．理由如下：∵AB=AD，∴∠B=∠BDA．∵∠B=2∠DAC，∠BDA=∠DAC+∠C，∴∠DAC=∠C=12∠B∵△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B+12∠B∴∠B=60°=∠BDA，∠DAC=∠C=30°．把△ADC沿直線AD折疊，設(shè)點C落在C'處，直線AC'交BC于點F，則△ACD≌△AC'D，∴∠DAC'=∠DAC=30°，∴△AFD中，∠AFD=180°﹣30°﹣60°=90°，即AC'⊥BC，∴AD是△ABC的對垂線．本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形“對垂線”的概念，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．如圖所示，點是等邊三角形內(nèi)一點，∠AOB=110°，，以為邊作等邊三角形，連接（1）當=150°時，試判斷的形狀，并說明理由；（2）探究：當為多少度時，是以為底的等腰三角形？【答案】：（1）△AOD是直角三角形；（2）當α=110°時，△AOD是以AD為底的等腰三角形．【解析】（1）證△BOC≌△ADC，求出∠ADO=90°即可判斷；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，設(shè)∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠CAO=c,列方程即可．解：(1)∵△OCD是等邊三角形，∴OC=CD.而△ABC是等邊三角形，∴BC=AC.∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD.在△BOC與△ADC中，∵OC∴△BOC≌△ADC（SAS），∴∠BOC=∠ADC.而