第八章《第3單元-課時(shí)精講1-二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用》名師教學(xué)設(shè)計(jì)

第8章二元一次方程組第3單元二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用課時(shí)精講一二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用內(nèi)容分析數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)源于人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)，為了了解其中的一些變化規(guī)律，人們要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探究.二元一次方程組就是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量關(guān)系，溝通已知和未知的一種數(shù)學(xué)模型.本節(jié)課安排了5個(gè)實(shí)際問(wèn)題，分析和解決這些問(wèn)題的難度比之前要大.對(duì)于這些問(wèn)題，教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立探究，再進(jìn)行合作交流，利用數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的相等關(guān)系，構(gòu)建方程和方程組來(lái)解決問(wèn)題.學(xué)生分析受閱讀能力、分析能力的制約，怎樣從實(shí)際問(wèn)題中提取數(shù)學(xué)信息，并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，對(duì)七年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn).本節(jié)課涉及的實(shí)際問(wèn)題中都有兩個(gè)未知數(shù)，含有兩個(gè)等量關(guān)系，需要列二元一次方程組，數(shù)量關(guān)系比“一元”問(wèn)題復(fù)雜.學(xué)生要仔細(xì)分析問(wèn)題，抓住關(guān)鍵詞，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，從而列出方程組.目標(biāo)確定1.能分析實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.2.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出二元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：探究用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.難點(diǎn)：能抓住“不變量”和“等量關(guān)系”列方程組.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)“二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用”學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)量表標(biāo)準(zhǔn)等級(jí)會(huì)分析實(shí)際問(wèn)題中的已知量和未知量，用字母表示未知量.A會(huì)將問(wèn)題中所給的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成為對(duì)應(yīng)的符號(hào)語(yǔ)言會(huì)分析實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.A會(huì)分析實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.B能找出“兩個(gè)表示等量關(guān)系的句子”，抓住“不變量”和“等量關(guān)系”列方程組.B會(huì)根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.A活動(dòng)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)1復(fù)習(xí)回顧教師活動(dòng)①學(xué)生活動(dòng)①例1小明在超市買(mǎi)了兩種水果共10kg，其中蘋(píng)果每千克6元，香蕉每千克5元，一共花了56元錢(qián)，那么兩種水果各買(mǎi)了多少？問(wèn)題1只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，應(yīng)如何構(gòu)建一元一次方程求解呢？問(wèn)題2列方程（組）時(shí)最關(guān)鍵的是找表示等量關(guān)系的“關(guān)鍵句”，本題“關(guān)鍵句”是什么？師生共同總結(jié)：例1中有兩個(gè)未知量，既可以通過(guò)列二元一次方程組求解，也可以通過(guò)列一元一次方程組求解（雖然有兩個(gè)未知量，很容易用一個(gè)未知數(shù)x來(lái)表示問(wèn)題中的兩個(gè)未知量），列一元一次方程和二元一次方程組解應(yīng)用題的區(qū)別僅在于：前者是設(shè)一個(gè)未知數(shù)，列一個(gè)方程求解；而后者則是設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列二元一次方程組求解.設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，一般需列兩個(gè)方程.例1學(xué)生在操作的過(guò)程中回顧列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)并列出有關(guān)代數(shù)式；③找出等量關(guān)系列出方程（組）；④解方程（組）；⑤檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義（不寫(xiě)檢驗(yàn)過(guò)程，只需寫(xiě)出檢驗(yàn)結(jié)果）；⑥答題.簡(jiǎn)記：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.問(wèn)題1設(shè)蘋(píng)果買(mǎi)了xkg，則香蕉買(mǎi)了（10－x）kg，根據(jù)題意，可得6x＋5（10－x）=56.解這個(gè)方程，可得x=6.所以購(gòu)買(mǎi)香蕉的質(zhì)量為：10－x=10－6=4（kg）.答：蘋(píng)果買(mǎi)了6kg，香蕉買(mǎi)了4kg問(wèn)題2本題“關(guān)鍵句”是“兩種水果共10kg”和“一共花了56元錢(qián)”解：設(shè)蘋(píng)果買(mǎi)了xkg，香蕉買(mǎi)了ykg，根據(jù)題意，可得解這個(gè)方程組，可得答：蘋(píng)果買(mǎi)了6kg，香蕉買(mǎi)了4kg.活動(dòng)意圖說(shuō)明例1的設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生總結(jié)回顧列方程解應(yīng)用題的一般步驟，并體會(huì)：設(shè)一個(gè)未知數(shù)，到一個(gè)方程求解，雖思維量大，但解法簡(jiǎn)單；設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列二元一次方程組求解，雖思維量較小，順理成章，但解法較麻煩.環(huán)節(jié)2提出問(wèn)題教師活動(dòng)②學(xué)生活動(dòng)②例2已知某電腦公司有A型、B型、C型三種型號(hào)的電腦，價(jià)格分別為A型每臺(tái)6000元，B型每臺(tái)4000元，C型每臺(tái)2500元.某中學(xué)計(jì)劃將100500元錢(qián)全部用于從該公司購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電腦共36臺(tái)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出幾種不同的購(gòu)買(mǎi)方案供該學(xué)校選擇，并說(shuō)明理由.思考：“將100500元錢(qián)全部用于從該公司購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電腦”怎么理解？有幾種可能？未知數(shù)的取值有無(wú)條件限制？師生總結(jié)：方案設(shè)計(jì)問(wèn)題往往要借助方程或方程組的知識(shí)進(jìn)行決策，對(duì)于具體問(wèn)題還要考慮未知量的取值范圍.例2可分以下3種情況考慮：只購(gòu)進(jìn)A型電腦和B型電腦，只購(gòu)進(jìn)A型電腦和C型電腦，只購(gòu)進(jìn)B型電腦和C型電腦．購(gòu)進(jìn)的三種類(lèi)型的電腦的臺(tái)數(shù)都是正整數(shù).解：（1）只購(gòu)進(jìn)A型電腦和B型電腦，根據(jù)題意，可列方程組：解這個(gè)方程組，可得不合題意，應(yīng)舍去.（2）只購(gòu)進(jìn)A型電腦和C型電腦，根據(jù)題意，可列方程組：解這個(gè)方程組，可得（3）只購(gòu)進(jìn)B型電腦和C型電腦，根據(jù)題意，可列方程組：解這個(gè)方程組，可得答：有兩種方案供該校選擇，第一種方案是購(gòu)進(jìn)A型電腦3臺(tái)和C型電腦33臺(tái)，第二種方案是購(gòu)進(jìn)B型電腦7臺(tái)和C型電腦29臺(tái)．活動(dòng)意圖說(shuō)明方案設(shè)計(jì)問(wèn)題是現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，也是中考中出現(xiàn)頻次較高的問(wèn)題，往往要借助方程或方程組的知識(shí)，分類(lèi)討論進(jìn)行決策.通過(guò)解決這個(gè)問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生的分類(lèi)思想．環(huán)節(jié)3解決問(wèn)題教師活動(dòng)③學(xué)生活動(dòng)③例3養(yǎng)牛場(chǎng)原有30頭大牛和15頭小牛，1天約需要飼料675kg；一周后又購(gòu)進(jìn)12頭大牛和5頭小牛，這時(shí)1天約需用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)平均每頭大牛1天約需飼料18~20kg，每頭小牛1天約需飼料7~8kg.你能通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)嗎？思考：怎樣理解“通過(guò)計(jì)算來(lái)檢驗(yàn)他的估計(jì)”？題中要求的未知數(shù)是什么？如何設(shè)未知數(shù)？例4據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1：2.現(xiàn)要把一塊長(zhǎng)200m、寬100m的長(zhǎng)方形土地，分為兩塊小長(zhǎng)方形土地，分別種植這兩種作物.怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3：4？思考：矩形的寬不變，面積與長(zhǎng)成正比應(yīng)該怎么理解？你能解這個(gè)方程組嗎？如何表述你的種植方案？你還有其他的設(shè)計(jì)方案嗎？例3學(xué)生讀題，自主回答，體會(huì)估計(jì)值不是已知量，而是未知量，要用準(zhǔn)確的數(shù)字來(lái)檢驗(yàn).教師引導(dǎo)學(xué)生找出未知數(shù)是求每頭大牛和每頭小牛1天分別約需用飼料的千克數(shù).設(shè)平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需飼料x(chóng)kg和ykg，根據(jù)兩種情況的飼料用量，找出相等關(guān)系，列方程組.解：設(shè)平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需飼料x(chóng)kg和ykg，列方程組，得解這個(gè)方程組，得這就是說(shuō)平均每頭大牛1天約需飼料20kg，每頭小牛1天約需飼料5kg，飼養(yǎng)員李大叔對(duì)大牛的食量估計(jì)較準(zhǔn)確，對(duì)小牛的食量估計(jì)偏高.例4學(xué)生獨(dú)立思考，共同討論解決問(wèn)題.將長(zhǎng)分成兩部分，設(shè)未知數(shù)，列方程組.將方程組化簡(jiǎn)為小組討論，如過(guò)長(zhǎng)邊離一端120m處作該邊的垂線，將矩形分成兩部分，較大的部分種甲種作物，較小的部分種乙種作物.活動(dòng)意圖說(shuō)明使學(xué)生進(jìn)一步熟悉應(yīng)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的全部過(guò)程，學(xué)會(huì)將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的方程組來(lái)求解.環(huán)節(jié)4拓展提升教師活動(dòng)④學(xué)生活動(dòng)④例5關(guān)于x，y的方程3kx＋2y=6ky－3，對(duì)于任何k的值都有相同的解，試求它的解.提問(wèn)：“對(duì)于任何k的值，方程都有相同的解”應(yīng)該如何解讀？思考：因?yàn)闊o(wú)論k為何值，x，y的取值都是確定的，與k值無(wú)關(guān)，可否有其他的解讀？例6A，B兩地相距45km，一部分是上坡路，另一部分是下坡路.某人騎車(chē)從A地出發(fā)去B地辦事，辦完事后再?gòu)腂地返回A地.已知他上坡時(shí)的速度為每小時(shí)12km，下坡時(shí)的速度為每小時(shí)18km，并且從A地到B地比從B地到A地多騎了15min.求此人從A地到B地所花的時(shí)間.提問(wèn)：本題中的等量關(guān)系有哪些？思考：除了上述解法之外，你還能想出其他的解法嗎？例5無(wú)論k為何值，x，y的取值都是確定的，與k值無(wú)關(guān)，與k值無(wú)關(guān)實(shí)質(zhì)上是指方程經(jīng)過(guò)整理后，k的系數(shù)為0，因?yàn)?乘以任何數(shù)得0.解：方程可化為（3x－6y）k＋2y＋3=0，由題意，得解得故原方程的解為學(xué)生思考：我們可以取k的兩個(gè)特殊值（比如k=0，k=1）并分別代入原方程，構(gòu)造一個(gè)新方程組，同樣可以求出x，y的值.例6要我們求的雖然只是一個(gè)未知數(shù)——此人從A地到B地所花的時(shí)間，但在求這個(gè)未知數(shù)時(shí)，需要知道上坡路和下坡路的路程，所以有兩個(gè)間接未知數(shù)——從A地到B地上坡路的路程和下坡路的路程.從A地到B地的上坡路正好是從B地到A地的下坡路，從A地到B地的下坡路正好是從B地到A地的上坡路.等量關(guān)系是：①?gòu)腁地到B地上坡路的路程＋從A地到B地下坡路的路程=45km；②從A地到B地所花的時(shí)間一從B地到A地所花的時(shí)間=15min.解：設(shè)從A地到B地上坡路的路程為xkm，從A地到B地下坡路的路程為ykm，根據(jù)題意，可得解這個(gè)方程組，可得所以，從A地到B地所花的時(shí)間為：（h）=3h15min.答：此人從A地到B地所花的時(shí)間為3h15min.學(xué)生思考（討論）：由于從A地到B地的上坡路正好是從B地到A地的下坡路，從A地到B地的下坡路正好是從B地到A地的上坡路，所以，往返一次所走的上坡路與下坡路都等于A，B兩地間的距離，即45km.于是，可以求出往返一次所需的時(shí)間，即為（）h又已知從A地到B地比從B地到A地多花了15min，所以想到設(shè)兩個(gè)間接未知數(shù)——從A地到B地所花的時(shí)間和從B地到A地所花的時(shí)間.存在的等量關(guān)系是：①?gòu)腁地到B地所花的時(shí)間＋從B地到A地所花的時(shí)間＝（）h：②從A地到B地所花的時(shí)間一從B地到A地所花的時(shí)間=15min.解：設(shè)從A地到B地所花的時(shí)間為xh，從B地到A地所花的時(shí)間為yh，根據(jù)題意，可得解得x=h=3h15min答：此人從A地到B地所花的時(shí)間3h15min.活動(dòng)意圖說(shuō)明例4設(shè)計(jì)了一個(gè)“與參數(shù)k取值無(wú)關(guān)的問(wèn)題”，是難度校大、較抽象的問(wèn)題，為以后研究“動(dòng)態(tài)函數(shù)”起鋪墊作用.例5的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生體會(huì)如何在較復(fù)雜的問(wèn)題中尋找等量關(guān)系.板書(shū)設(shè)計(jì)二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用典例分析列方程解應(yīng)用題的一般步驟例1①例3③例4④例5⑤例6⑥練習(xí)診斷1.（A）初三（2）班40名同學(xué)為“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情況如下表.表格中捐款2元和3元的人數(shù)不小心被墨水污染看不清楚，請(qǐng)分別求出對(duì)應(yīng)的人數(shù).請(qǐng)用列一元一次方程和二元一次方程組兩種方法求解.2.（A）某人騎車(chē)從A地以12km/h的速度下坡，再以9km/h的速度走平路，共用55min；回來(lái)時(shí)，以8km/h的速度走平路，再以4km/h的速度上坡，用了h.求A，B兩地之間的路程.3.（A）運(yùn)往某地的兩批貨物，第一批共360t，用6節(jié)火車(chē)車(chē)廂和15輛汽車(chē)正好裝完.第二批共440t，用8節(jié)火車(chē)車(chē)廂和10輛汽車(chē)正好裝完.每節(jié)火車(chē)車(chē)廂和每輛汽車(chē)平均裝多少噸？4.（A）某所中學(xué)現(xiàn)在有學(xué)生4200人，計(jì)劃一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，這樣全校學(xué)生將增加10%.這所學(xué)?，F(xiàn)在的初中在校生和高中在校生各有多少人？5.（A）如圖，8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？6.（A）將若干只雞放入若干個(gè)雞籠中，若每個(gè)雞籠放4只，則有一只雞無(wú)籠可放；若每個(gè)雞籠放5只，則有一個(gè)籠無(wú)雞可放，那么有雞多少只？雞籠多少個(gè)？7.（A）一次籃球、排球比賽，共有48個(gè)隊(duì)，520名運(yùn)動(dòng)員參加，其中籃球隊(duì)每隊(duì)10名，排球隊(duì)每隊(duì)12名，籃球、排球各有多少隊(duì)參賽？8.（A）某班同學(xué)到距離學(xué)校18km的北山郊游.只有一輛汽車(chē)，需分兩組，甲組先乘車(chē)，乙組步行.車(chē)行至A處，甲組下車(chē)步行，汽車(chē)返回接乙組，最后兩組同時(shí)達(dá)到北山站.已知汽車(chē)速度是60km/h，步行速度是4km/h，求A處距北山站的距離.9.（A）《一千零一夜》中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹(shù)上歡歌，另一部分在地上覓食，樹(shù)上的一只鴿子對(duì)在地上覓食的鴿子說(shuō)：“若從你們中飛上來(lái)一只，則樹(shù)下的鴿子就是整個(gè)鴿群的；若是從樹(shù)上飛下去一只，則樹(shù)上和樹(shù)下的鴿子就一樣多了.”請(qǐng)問(wèn)樹(shù)上和樹(shù)下各有多少只鴿子？10.（B）暑假里，某報(bào)社組織了“我們的小世界杯”足球邀請(qǐng)賽.勇士隊(duì)在第一輪比賽中共賽9場(chǎng)，得17分.比賽規(guī)定勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分.勇土隊(duì)在這一輪中只負(fù)了2場(chǎng)，那么這個(gè)隊(duì)勝了幾場(chǎng)？又平了幾場(chǎng)呢？11.（B）某高校共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳，經(jīng)過(guò)測(cè)試得知：同時(shí)開(kāi)放1個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐；同時(shí)開(kāi)放2個(gè)大餐廳和1個(gè)小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐.（1）1個(gè)大餐廳和1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐？（2）若7個(gè)餐廳同時(shí)開(kāi)放，請(qǐng)估計(jì)一下能否供應(yīng)全校的5300名學(xué)生就餐，并說(shuō)明理由.12.（C）小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)大小相同的矩形（如圖①），恰好可以拼成一個(gè)大的矩形.小彬看見(jiàn)了，就把圖形拼成了一個(gè)正方形（如圖②），然后中間留下了