蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練專題43根式的應(yīng)用和幾何圖形結(jié)合(原卷版+解析)

專題43根式的應(yīng)用和幾何圖形結(jié)合1．如圖，在等腰中，，平分，平分分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．102．在一個(gè)正方形的內(nèi)部按照如圖方式放置大小不同的兩個(gè)小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．83．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰直角三角形，其中∠=90°，，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）A．1 B． C． D．44．如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交x軸于點(diǎn)C，則線段長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．6．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在對(duì)角線AC上，連接DM，DN．若AM＝CN，則(DM＋DN)2的最小值為_(kāi)___．7．如圖，和都是等邊三角形，若點(diǎn)，，點(diǎn)在第二象限內(nèi)．將沿翻折得，當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則與的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______．8．如圖，直線l：y＝2x+b交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，以O(shè)A為斜邊作等腰直角△AOB，點(diǎn)B（2，2）．將△AOB向右平移得到△DEF，連結(jié)BE交直線l于點(diǎn)G．當(dāng)A，B，E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D恰好落在直線l上，則的值為_(kāi)____．9．在矩形ABCD中，，，M是BC中點(diǎn)，，垂足為E，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示DE的長(zhǎng)．10．如圖1，在正方形ABCD中，，P是AD邊上一點(diǎn)，連接BP，將△ABP繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．(1)已知旋轉(zhuǎn)角為60°，點(diǎn)P與D點(diǎn)重合（如圖2）．①證明：；②證明：是等腰三角形；(2)已知旋轉(zhuǎn)角為45°．①請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，在圖3上的AD邊上作出一點(diǎn)P，使P、、三點(diǎn)在一直線上（不寫作法，保留作圖痕跡）；②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸上，已知，上有一點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；連接，若軸，則的值為_(kāi)_____；（2）如果．①當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的長(zhǎng)；②請(qǐng)直接寫出最小值．12．四邊形具有不穩(wěn)定性，現(xiàn)將8個(gè)木棍和一些釘子組成了一個(gè)正方形和平行四邊形（如圖），且，在一條直線上，點(diǎn)落在邊上．經(jīng)測(cè)量，發(fā)現(xiàn)此時(shí)、、三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，，．(1)求的長(zhǎng)度．(2)設(shè)的長(zhǎng)度為，________（用含的代數(shù)式表示）．(3)在保證，位置不變的前提條件下，從點(diǎn)向右推動(dòng)的正方形，直到四邊形剛好變?yōu)榫匦螘r(shí)停止推動(dòng)（如圖）．若此時(shí)，求的長(zhǎng)度．13．（1）方法回顧證明：三角形中位線定理．已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：______．證明：（請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上完成證明過(guò)程）（2）問(wèn)題解決如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長(zhǎng)．（3）拓展研究如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的長(zhǎng)．14．閱讀理解：二次根式的除法，要化去分母中的根號(hào)，需將分子、分母同乘以一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩胃剑纾夯?jiǎn)．解：將分子、分母同乘以得：．

類比應(yīng)用：（1）化簡(jiǎn)：；（2）化簡(jiǎn)：．

拓展延伸：

寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形ABCD的寬AB=1．（1）黃金矩形ABCD的長(zhǎng)BC=；（2）如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個(gè)以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②中，連結(jié)AE，則點(diǎn)D到線段AE的距離為．15．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請(qǐng)直接寫出△ABC的面積．16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊APE（A，P，E按逆時(shí)針排列），點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，且點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，BC與CE的位置關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，且點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上時(shí)，其他條件不變，連接BE．若AB＝2，BE＝2，請(qǐng)直接寫出APE的面積．17．定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)和，我們把它們的橫、縱坐標(biāo)的差的平方和的算術(shù)平方根稱作這兩點(diǎn)的“湘一根”，記作，即（1）若A（2，1）和B（，3），則______；（2）若點(diǎn)M（1，2），，其中a為任意實(shí)數(shù)，求的最小值（3）若m為常數(shù)，且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5m），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8m，），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代數(shù)式表示）18．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．(1)已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，則BN＝．(2)如圖，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N為直線AB上兩點(diǎn)，滿足∠MCN＝45°．①如圖2，點(diǎn)M、N在線段AB上，求證：點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)；②如圖3，若點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，AM，BN，求BM的長(zhǎng)．專題43根式的應(yīng)用和幾何圖形結(jié)合1．如圖，在等腰中，，平分，平分分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最短即，當(dāng)時(shí)最短，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，即與點(diǎn)重合時(shí)最短，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等面積法求得，即可求解．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小即，當(dāng)時(shí)最短，即為所求，∵，是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴∵平分，∴∵，設(shè)，則在中，∵∴解得∴∵∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，軸對(duì)稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．在一個(gè)正方形的內(nèi)部按照如圖方式放置大小不同的兩個(gè)小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根據(jù)面積可求得大正方形和陰影部分的邊長(zhǎng)，從而求得空白部分的長(zhǎng)；觀察可知兩塊空白部分全等，則可得到一塊空白的面積；通過(guò)長(zhǎng)方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長(zhǎng)即可求出面積．【詳解】∵觀察可知，兩個(gè)空白部分的長(zhǎng)相等，寬也相等，∴重疊部分也為正方形，∵空白部分的面積為2﹣6，∴一個(gè)空白長(zhǎng)方形面積=，∵大正方形面積為12，重疊部分面積為3，∴大正方形邊長(zhǎng)=，重疊部分邊長(zhǎng)=，∴空白部分的長(zhǎng)=，設(shè)空白部分寬為x，可得：，解得：x=，∴小正方形的邊長(zhǎng)=空白部分的寬+陰影部分邊長(zhǎng)=，∴小正方形面積==10，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，觀察圖形得到各個(gè)正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰直角三角形，其中∠=90°，，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】如圖，過(guò)作軸，交y軸于M，過(guò)作軸，垂足為D，交MA于H，則證明可得設(shè)則可得再利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式的變形可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作軸，交y軸于M，過(guò)作軸，垂足為D，交MA于H，則設(shè)則而當(dāng)時(shí)，則∴的最小值是8，∴的最小值是故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“的變形公式”是解本題的關(guān)鍵．4．如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交x軸于點(diǎn)C，則線段長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關(guān)于x的方程，解之即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，令x=0，則y=，令y=0，則x=，則A（，0），B（0，），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，∴AC==x，∵旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．5．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，再根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在對(duì)角線AC上，連接DM，DN．若AM＝CN，則(DM＋DN)2的最小值為_(kāi)___．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AC，使得CH=AD，連接NH，由題意易得∠NCH=∠MAD=90°，進(jìn)而可得△NCH≌△MAD，然后可得DM=NH，要使的值為最小，只需DM+DN的值為最小，即NH+DN的值為最小，所以可得D、N、H三點(diǎn)共線時(shí)最小，則過(guò)點(diǎn)H作HE⊥DC于點(diǎn)E，然后根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AC，使得CH=AD，連接NH，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，∴∠MAD=∠DCB=90°，∠DCA=45°，AD=CH=AB=CD=2，∴∠NCH=∠MAD=90°，∵AM=CN，∴△NCH≌△MAD（SAS），∴DM=NH，若使的值為最小，只需DM+DN的值為最小，即NH+DN的值為最小，所以可得D、N、H三點(diǎn)共線時(shí)最小，則過(guò)點(diǎn)H作HE⊥DC于點(diǎn)E，如圖所示：∴∠DCA=∠ECH=45°，∴△CEH為等腰直角三角形，∴，∴，∴在Rt△DEH中，；∴的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．7．如圖，和都是等邊三角形，若點(diǎn)，，點(diǎn)在第二象限內(nèi)．將沿翻折得，當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則與的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______．【答案】【分析】過(guò)D作DF⊥x軸于F，連接AD，BE，由（1）中的△ABD≌△OBC結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由△AOB為等邊三角形結(jié)合點(diǎn)A、O的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由翻折的性質(zhì)可得出四邊形BCED是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；【詳解】解：如圖，連接BE，過(guò)D作DF⊥x軸于F，∵△AOB和△BCD是等邊三角形，∴∠ABO=∠CBD=60°，AB=OB，BD=BC，∠AOB=60°，∴∠ABO+∠OBD=∠CBD+∠OBD，即：∠ABD=∠OBC，∴△ABD≌△OBC（SAS），∴AD=OC=m，∠BAD=∠BOC=30°，∴∠DAF=∠BAO-∠BAD=∠BAO-∠BOC=30°，∴DF=AD=m，AF=DF=m，∵A（-2，0），∴D（m-2，m），∵將△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等邊三角形，∴四邊形BCED是菱形，∴BE、CD互相平分，∵△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A（-2，0），過(guò)點(diǎn)B作BG⊥x軸，垂足為G，∴AG=1，BG=，∴B（-1，），∴E（m-2+1，m+m-），即（m-1，m-），設(shè)m-1=x，m-=y，∴m=，m=，∴=，化簡(jiǎn)得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時(shí)，熟練的掌握等邊三角形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，直線l：y＝2x+b交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，以O(shè)A為斜邊作等腰直角△AOB，點(diǎn)B（2，2）．將△AOB向右平移得到△DEF，連結(jié)BE交直線l于點(diǎn)G．當(dāng)A，B，E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D恰好落在直線l上，則的值為_(kāi)____．【答案】【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB及直線AB的關(guān)系式，再令y=0，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求出直線CD的關(guān)系式，然后將兩個(gè)直線關(guān)系式聯(lián)立求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式求出EG，即可得出答案．【詳解】∵△ABO是等腰直角三角形，且點(diǎn)B（2，2），∴AO=4，∴點(diǎn)A（0，4），則，解得．設(shè)直線AB的關(guān)系式為y=kx+b，得，解得，∴直線AB的關(guān)系式為y=-x+4．當(dāng)y=0時(shí)，x=4，∴點(diǎn)E（4，0），∴點(diǎn)D（4，4），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入y=2x+b，得4=8+b，解得b=-4，∴所以直線CD的關(guān)系式為y=2x-4.將兩個(gè)直線關(guān)系式聯(lián)立，得，解得，則點(diǎn)G，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，兩點(diǎn)之間的距離公式，等腰直角三角形的性質(zhì)等，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．9．在矩形ABCD中，，，M是BC中點(diǎn)，，垂足為E，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示DE的長(zhǎng)．【答案】【分析】分點(diǎn)E在線段AM上和點(diǎn)E在線段AM的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別運(yùn)用矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積進(jìn)行解答即可．【詳解】解：如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AM上時(shí)，連接DM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AD，垂足為H矩形ABCD，四邊形ABMH為矩形M是BC的中點(diǎn)，在中，,則∴∴∴如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，同（1）可證．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用矩形的判定和性質(zhì)定理成為解答本題的關(guān)鍵．10．如圖1，在正方形ABCD中，，P是AD邊上一點(diǎn)，連接BP，將△ABP繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．(1)已知旋轉(zhuǎn)角為60°，點(diǎn)P與D點(diǎn)重合（如圖2）．①證明：；②證明：是等腰三角形；(2)已知旋轉(zhuǎn)角為45°．①請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，在圖3上的AD邊上作出一點(diǎn)P，使P、、三點(diǎn)在一直線上（不寫作法，保留作圖痕跡）；②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析(2)①圖見(jiàn)解析；②1或【分析】（1）①先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；②連接，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證出是等邊三角形，再根據(jù)三角形全等的判定證出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得證；（2）①連接，以點(diǎn)為圓心、為半徑畫弧，交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角的和差求出，然后分和兩種情況，利用勾股定理求解即可得．（1）證明：①四邊形是正方形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，即，在和中，，；②如圖，連接，四邊形是正方形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，是等邊三角形，，，，在和中，，，，由（1）①已證：，，，是等腰三角形．（2）解：①如圖，點(diǎn)即為所求．②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，，，解得或（舍去），，，，，，則分以下兩種情況：（Ⅰ）如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，在中，，即，整理得：，解得或（舍去），，；（Ⅱ）如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，同理可得：，設(shè)，則，，，整理得：，，解得或（舍去），；綜上，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為1或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算、利用平方根解方程、作垂線、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）②，正確分兩種情況討論，并通過(guò)作輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題關(guān)鍵．11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸上，已知，上有一點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；連接，若軸，則的值為_(kāi)_____；（2）如果．①當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的長(zhǎng)；②請(qǐng)直接寫出最小值．【答案】（1），；（2）①的長(zhǎng)為；②最小值為2．【分析】（1）如圖，連接過(guò)作于證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理可得的坐標(biāo)，如圖，當(dāng)軸于時(shí)，而再利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理求解從而可得答案；（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，同理可得：為等邊三角形，過(guò)作于則結(jié)合利用含的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求解再求解從而可得答案；②如圖，作直線交于過(guò)作于過(guò)作于先證明在直線上運(yùn)動(dòng)，再求解直線的解析式，可得為則當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，最短，畫出圖形，再由旋轉(zhuǎn)可得：再利用直角三角形的性質(zhì)可得從而建立方程求解從而可得答案.【詳解】解：（1）如圖，連接過(guò)作于是等邊三角形，如圖，當(dāng)軸于時(shí)，而同理可得：為等邊三角形，故答案為：（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，同理可得：為等邊三角形，過(guò)作于則解得：（負(fù)根舍去）②如圖，作直線交于過(guò)作于過(guò)作于由旋轉(zhuǎn)與矩形的性質(zhì)可得：點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后落在直線上，由矩形四邊形是矩形，設(shè)則設(shè)為則解得：為結(jié)合①問(wèn)可得點(diǎn)在直線上，為則當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，最短，如圖，由旋轉(zhuǎn)可得：所以的最小值為：【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，含的直角三角形的性質(zhì)，利用平方根的含義解方程，二次根式的運(yùn)算，本題綜合性強(qiáng)，難度大，要求基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)散要求較高.12．四邊形具有不穩(wěn)定性，現(xiàn)將8個(gè)木棍和一些釘子組成了一個(gè)正方形和平行四邊形（如圖），且，在一條直線上，點(diǎn)落在邊上．經(jīng)測(cè)量，發(fā)現(xiàn)此時(shí)、、三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，，．(1)求的長(zhǎng)度．(2)設(shè)的長(zhǎng)度為，________（用含的代數(shù)式表示）．(3)在保證，位置不變的前提條件下，從點(diǎn)向右推動(dòng)的正方形，直到四邊形剛好變?yōu)榫匦螘r(shí)停止推動(dòng)（如圖）．若此時(shí)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）易得，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理，求出a的值，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∵的長(zhǎng)度為a，∴，∴；故答案為：；（3）∵在推進(jìn)過(guò)程中的長(zhǎng)度保持不變，設(shè)，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，位置不變，∴，∴在中，由勾股定理得，，而∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握矩形，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（1）方法回顧證明：三角形中位線定理．已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：______．證明：（請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上完成證明過(guò)程）（2）問(wèn)題解決如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長(zhǎng)．（3）拓展研究如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的長(zhǎng)．【答案】（1）DE∥BC，DE=BC，證明見(jiàn)解析；（2）GF=7；（3）GF=．【分析】（1）利用“邊角邊”證明△ADE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF，然后判斷出四邊形BCFD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得；（2）先判斷出△AEG≌△DEH（ASA）進(jìn)而判斷出EF垂直平分GH，即可得出結(jié)論；（3）先求出AG=HD的長(zhǎng)，進(jìn)而判斷出△PDH為等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出結(jié)論．【詳解】（1）DE∥BC，DE=BC，證明：如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB，又∵AD=BD，∴CF=BD，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DE∥BC，DE=BC．故答案為：DE∥BC，DE=BC；（2）如圖2，延長(zhǎng)GE、FD交于點(diǎn)H，∵E為AD中點(diǎn)，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，在△AEG和△DEH中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG=HD=3，EG=EH，∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，∴GF=HF=DH+DF=3+4=7；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，同（1）可證△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=2，∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，∴∠HDP=45°，∴△PDH為等腰直角三角形，∴PD=PH=，∴PF=PD+DF=+=2，在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=，PF=2，∴HF=，∴GF=．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解（1）的關(guān)鍵是判斷出△ADE≌△CFE，解（2）的關(guān)鍵是判斷出EF垂直平分GH，解（3）的關(guān)鍵是作出輔助線．14．閱讀理解：二次根式的除法，要化去分母中的根號(hào)，需將分子、分母同乘以一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩胃剑纾夯?jiǎn)．解：將分子、分母同乘以得：．

類比應(yīng)用：（1）化簡(jiǎn)：；（2）化簡(jiǎn)：．

拓展延伸：

寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形ABCD的寬AB=1．（1）黃金矩形ABCD的長(zhǎng)BC=；（2）如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個(gè)以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②中，連結(jié)AE，則點(diǎn)D到線段AE的距離為．【答案】類比應(yīng)用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】類比應(yīng)用：（1）仿照題干中的過(guò)程進(jìn)行計(jì)算；（2）仿照題干中的過(guò)程進(jìn)行計(jì)算；拓展延伸：（1）根據(jù)黃金矩形的定義結(jié)合AB=1進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)題意算出AD的長(zhǎng)，從而得出DF，證明DF和EF的比值為即可；（3）連接AE，DE，過(guò)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，根據(jù)△AED的面積不同算法列出方程，解出DG的長(zhǎng)即可.【詳解】解：類比應(yīng)用：（1）根據(jù)題意可得：=；（2）根據(jù)題意可得：====2；拓展延伸：（1）∵寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形，若黃金矩形ABCD的寬AB=1，則黃金矩形ABCD的長(zhǎng)BC===；（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根據(jù)黃金矩形的性質(zhì)可得：AD=BC=，∴FD=EC=AD-AF==，∴=，故矩形DCEF為黃金矩形；（3）連接AE，DE，過(guò)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，∵AB=EF=1，AD=，∴AE=，在△AED中，S△AED=，即，則，解得DG=，∴點(diǎn)D到線段AE的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，平方差公式，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，此類問(wèn)題要認(rèn)真閱讀材料，理解材料中的知識(shí)．15．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請(qǐng)直接寫出△ABC的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）12；探究：2或2．【分析】（1）利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點(diǎn)，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB與△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分為兩種情況：①如圖1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BC=A′D=2，過(guò)B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面積是×BC×AC=×2×2=；②如圖2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四邊形A′BDC是平行四邊形，∴A′C=BD=2，過(guò)C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面積是2或2．16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊APE（A，P，E按逆時(shí)針排列），點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，且點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，BC與CE的位置關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，且點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上時(shí)，其他條件不變，連接BE．若AB＝2，BE＝2，請(qǐng)直接寫出APE的面積．【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，見(jiàn)解析；（3）31【分析】（1）連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明△BAP≌△CAE即可證得結(jié)論；（2）（1）中的結(jié)論成立，用（1）中的方法證明△BAP≌△CAE即可；（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)或點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AC交BD于點(diǎn)O，由∠BCE＝90°，根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)即得到BP的長(zhǎng)，再求AO、PO、PD的長(zhǎng)及等邊三角形APE的邊長(zhǎng)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，連接AC，延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案為：BP＝CE，CE⊥BC；（2）（1）中的結(jié)論：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如圖2中，連接AC，設(shè)CE與AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠DCE＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CE⊥AD；∴（1）中的結(jié)論：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD

BD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，∴BD＝6，由（2）知CE⊥AD，∵AD∥BC，∴CE⊥BC，∵BE＝2，BC＝AB＝2，∴CE＝＝8，由（2）知BP＝CE＝8，∴DP＝2，∴OP＝5，∴AP＝＝＝2，∵△APE是等邊三角形，∴S△AEP＝×（2）2＝7，如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得AP＝＝＝2，∴S△AEP＝×（2）2＝31，【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，將菱形的性質(zhì)與三角形全等的條件聯(lián)系起來(lái)，此題難度較大，屬于考試壓軸題．17．定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)和，我們把它們的橫、縱坐標(biāo)的差的平方和的算術(shù)平方根稱作這兩點(diǎn)的“湘一根”，記作，即（1）若A（2，1）和B（，3），則_____