第四章第02講圖形的全等(5類熱點題型講練)

第02講圖形的全等(5類熱點題型講練)1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的對應(yīng)元素；(重點)2．理解并掌握全等三角形的性質(zhì)，能用符號正確地表示兩個三角形全等；(重點)3．能熟練找出兩個全等三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊．(難點)知識點01圖形全等的定義圖形的軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)是圖形的三種基本變換，圖形經(jīng)過這樣的變換，位置發(fā)生了改變，但變換前后兩個圖形的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等圖形的形狀和大小沒有改變．能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形．軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn)這些基本變換中的兩個圖形全等知識點02全等三角形的性質(zhì)能夠完全重合的兩個多邊形稱為全等多邊形．兩個全等的多邊形，經(jīng)過變換而重合，相互重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，相互重合的邊叫做對應(yīng)邊，相互重合的角叫做對應(yīng)角．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．邊、角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．題型01全等圖形識別【例題】（2023上·山西大同·八年級統(tǒng)考階段練習）下列圖案中，屬于全等形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】能夠完全重合的圖形叫做全等圖形，根據(jù)定義解答即可.【詳解】解：觀察各選項：只有選項A中的兩個圖案能夠完全重合，選項B、C、D中的兩個圖案不能夠完全重合；故選：A.【點睛】本題考查了全等圖形，熟知概念是關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江寧波·八年級?？计谥校┫铝懈鹘M圖形中，不是全等圖形的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查的是全等形的識別．根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形對各選項分析即可得解．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)，B、C、D選項的兩個圖形都可以完全重合，∴B、C、D選項的兩個圖形都是全等圖形，A選項中兩個圖形不可能完全重合，∴它們不是全等形．故選：A．2．（2023上·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）在下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等圖形的定義，根據(jù)全等圖形的定義逐一判斷即可求解，熟記：“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：屬于全等圖形，故選A．題型02全等三角形的概念【例題】（2023·全國·八年級課堂例題）說法中正確的是（

）A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B．全等三角形是指面積相等的兩個三角形C．兩個等邊三角形是全等三角形 D．周長相等的兩個三角形不一定全等【答案】D【分析】本題主要考查了全等三角形的概念，根據(jù)能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：形狀相同的兩個三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故選項A錯誤；面積相等的兩個三角形形狀不一定相同，不一定是全等三角形，故選項B錯誤；兩個等邊三角形，形狀相同，邊長不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故選項C錯誤．長相等的兩個三角形不一定全等，故選項D正確；故選D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考階段練習）下列說法中正確的是（

）A．兩個面積相等的圖形，一定是全等圖形B．若兩個圖形周長相等，則它們一定是全等圖形C．兩個等邊三角形一定是全等圖形D．能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的定義進行判斷作答即可．【詳解】解：兩個面積相等的圖形，不一定是全等圖形，A錯誤，故不符合要求；若兩個圖形周長相等，則它們不一定是全等圖形，B錯誤，故不符合要求；兩個等邊三角形不一定是全等圖形，C錯誤，故不符合要求；能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形，D正確，故符合要求；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的定義．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．2．（2022上·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考階段練習）下列說法正確的是（

）A．面積相等的兩個圖形是全等圖形 B．所有正方形都是全等圖形C．全等三角形的周長相等 D．全等三角形的邊相等【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的定義以及性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A．面積相等的兩個圖形不一定是全等圖形，故該選項不正確，不符合題意；B．所有正方形不一定是全等圖形，故該選項不正確，不符合題意；C．全等三角形的周長相等，故該選項正確，符合題意；

D．全等三角形的對應(yīng)邊相等，故該選項不正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了全等圖形的定義以及全等三角形的性質(zhì)，掌握全等圖形的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03全等三角形的性質(zhì)【例題】（2023·全國·八年級課堂例題）如圖所示，已知在四邊形中，，過點作于點，連接，，且．(1)求的度數(shù)；(2)若，試判斷與之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等于，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和等于，求得，最后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，即可求得答案；（2）由可得，，再根據(jù)平行線的判定，即可得到答案．【詳解】（1），，，，，，，；（2），且．理由：，，，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西延安·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，，請寫出圖中的對應(yīng)角，對應(yīng)邊．①的對應(yīng)角為（

）；②的對應(yīng)角為（

）；③的對應(yīng)角為（

）；④的對應(yīng)邊為（

）；⑤的對應(yīng)邊為（

）．【答案】，，，，【分析】根據(jù)全等三角形的定義可直接得出答案．【詳解】解：∵，∴①的對應(yīng)角為；②的對應(yīng)角為；③的對應(yīng)角為；④的對應(yīng)邊為；⑤的對應(yīng)邊為；故答案為：，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形，找準對應(yīng)邊、對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．2．（2020上·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）如圖，已知，與是對應(yīng)角．(1)寫出邊的對應(yīng)邊與的對應(yīng)角；(2)若，，，則________，________．【答案】(1)邊的對應(yīng)邊是邊，的對應(yīng)角是(2)，【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)求解即可得．【詳解】（1）解：∵，與是對應(yīng)角，∴邊的對應(yīng)邊是邊，的對應(yīng)角是．（2）解：∵，，，，，∵，，故答案為：，．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型04由三角形全等求時間或線段長【例題】如圖，，于A，于B，且，P點從B向A運動，速度為，Q點從B向D運動，速度為，P、Q兩點同時出發(fā)，則經(jīng)過s后，與全等．【答案】4【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解一元一次方程，先設(shè)運動x分鐘后與全等；分兩種情況：①若，則，此時，≌；②若，則，得出，，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵于點A，于B，∴．設(shè)運動x分鐘后與全等，由題意得：，，則．分兩種情況：①若，則，，．可知，∴≌；②若，則，解得：，可知，此時與不全等．綜上所述：運動后與全等．故答案為：4．【變式訓(xùn)練】1．如圖，中，，，，點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點；點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點．點和分別以2和6的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過和作于，于．若要與全等，則點的運動時間為．【答案】或或【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，代入得出關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)點運動秒時，以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的三角形全等，分為五種情況：①如圖1，P在上，Q在上，則，，，，，，，，，，，即，；②如圖2，P在上，Q在上，則，，由①知：，，；因為此時，所以此種情況不符合題意；③當P、Q都在上時，如圖3，，；④當Q到A點停止，P在上時，，時，解得．⑤因為P的速度是每秒2，Q的速度是每秒6，P和Q都在上的情況不存在；綜上，點P運動或或秒時，與全等．故答案為：或或．【點睛】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關(guān)鍵．題型05利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和【例題】（2022上·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的網(wǎng)格是由9個相同的小正方形拼成的，圖形的各個頂點均為格點，則的度數(shù)為（

）．A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格特點，可得出，，，進而可求解．【詳解】解：如圖，則，，，∴，故選：B．【點睛】本題考查網(wǎng)格中的全等圖形、三角形的外角性質(zhì)，會利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·江蘇無錫·八年級無錫市天一實驗學校?？茧A段練習）如圖，已知方格紙中是4個相同的小正方形，則∠1+∠2的度數(shù)為.【答案】/45度【分析】觀察圖形可知與所在的直角三角形全等，則，根據(jù)外角的性質(zhì)卡得，即可求解．【詳解】觀察圖形可知與所在的直角三角形全等，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了利用全等的性質(zhì)求網(wǎng)格中的角度，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·重慶潼南·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中標出了和，則度．【答案】【分析】作輔助線，使為等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形，可得到，利用等角代換即可得解．【詳解】解：如圖，連接、，，，，由圖可知，在和中，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了網(wǎng)格中求兩角和，構(gòu)造全等三角形，利用等角代換是解題關(guān)鍵．一、單選題1．下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．

B．

C． D．

【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的定義（能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形）逐項判斷即可得．【詳解】解：A、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；B、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；C、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，則此項符合題意；D、兩個圖形的形狀不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了全等圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵．2．下列說法正確的是（

）A．面積相等的圖形叫做全等圖形 B．周長相等的圖形叫做全等圖形C．能完全重合的圖形叫做全等圖形 D．形狀相同的圖形叫做全等圖形【答案】C【分析】本題考查了全等形的概念．全等圖形指的是完全重合的圖形，包括邊長、角度、面積、周長等，但面積、周長相等的圖形不一定全等，要具體進行驗證分析．【詳解】解：A、面積相等，但圖形不一定能完全重合，說法錯誤；B、周長相等的兩個圖形不一定能完全重合，說法錯誤；C、能完全重合的圖形叫做全等圖形，符合全等形的概念，正確；D、形狀相同的兩個圖形也不一定是全等形，說法錯誤；故選：C．3．如圖，是一個的正方形網(wǎng)格．根據(jù)圖中標示的各點位置，在下列三角形中，與全等的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定，觀察可知點與點關(guān)于對稱，即可求解．【詳解】解：由圖可知：點與點關(guān)于對稱，由軸對稱的性質(zhì)可知：故選：C4．如圖，，于點，于點，且，點從向運動，每分鐘走，點從向運動，每分鐘走，，兩點同時出發(fā)，運動（

）分鐘后，與全等A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】分當時和當時，兩種情況進行討論，求得和的長，分別求得P和Q運動的時間，若時間相同即可，滿足全等，若不等，則不能成立．【詳解】解：當時，，∴，P的運動時間是：（分鐘），Q的運動時間是：（分鐘），∴當分鐘時，兩個三角形全等；當時，，=6，∴P運動的時間是：（分鐘），Q運動的時間是：（分鐘），故不能成立．綜上，運動4分鐘后，與全等，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，注意分和兩種情況討論是關(guān)鍵．5．已知如圖，、為的平分線上的兩點，連接、、、；如圖，、、為的平分線上的三點，連接、、、、、；如圖，、、、為的平分線上的四點，連接、、、、、、、依此規(guī)律，第個圖形中有全等三角形的對數(shù)是A． B． C． D．【答案】D【分析】通過觀察分析，找出圖形變換中，有全等三角形的對數(shù)規(guī)律：當有個點時，圖中有個全等三角形，然后把n=17代入計算即可求解．【詳解】解：圖中，當有點、時，有對全等三角形；圖中，當有點、、時，有對全等三角形；圖中，當有點時，有對全等三角形；圖中，當有個點時，圖中有個全等三角形，當時，全等三角形的對數(shù)是，故選：D．【點睛】本題考查圖形變換規(guī)律，全等三角形的判定，找出圖形變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．如圖所示，下列圖形中的全等圖形是.【答案】（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）【分析】本題主要考查了全等圖形的識別，能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形，據(jù)此逐一判斷即可。【詳解】解；由全等圖形的定義可知，（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）是全等圖形，故答案為：（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）．7．如圖所示，，，若，，則的度數(shù)是．【答案】80°/80度【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì)，熟知這些定理的內(nèi)容是正確解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進而得到的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，，，，所以的度數(shù)是．8．如圖，四邊形四邊形，若，，，則°．【答案】【分析】根據(jù)全等圖形的性質(zhì)可得，，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，進一步可得的度數(shù).【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案為：105．【點睛】本題考查了全等圖形，四邊形的內(nèi)角和等，熟練掌握全等圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9．在如圖所示的3×3正方形網(wǎng)格中，度．【答案】【分析】證明，得出,根據(jù)網(wǎng)格的特點可知，即可求解．【詳解】解：如圖，在與中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，根據(jù)網(wǎng)格的特點可知，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)網(wǎng)格的特點求得是解題的關(guān)鍵．10．全等三角形也叫做合同三角形，平面內(nèi)的合同三角形分為真正合同三角形和鏡面合同三角形．假如和是全等三角形，且點A與點對應(yīng)，點B與點對應(yīng)，點C與點對應(yīng)．如下圖，當沿周界及環(huán)繞時，若運動方向相同，則稱它們是真正合同三角形；若運動方向相反，則稱它們是鏡面合同三角形．下列各組合同三角形中，屬于鏡面合同三角形的有．【答案】①③/③①【分析】本題主要考查了全等三角形．根據(jù)真正合同三角形和鏡面合同三角形的定義進行解答，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：①③運動方向相反，∴屬于鏡面合同三角形的有①③．故答案為：①③三、解答題11．如圖，在中，已知，，，試把下面運用“疊合法”說明和全等的過程補充完整：說理過程：把放到上，使點A與點重合，因為，所以可以使，并使點C和在AB（）同一側(cè)，這時點A與重合，點B與重合，由于，因此，；由于，因此，；于是點C（射線AC與BC的交點）與點（射線與的交點）重合，這樣

．【答案】見解析．【分析】根據(jù)“疊合法”說明兩三角形全等即可．【詳解】說理過程：把放到上，使點A與點重合，因為，所以可以使AB與重合，并使點C和在AB（）同一側(cè)，這時點A與重合，點B與重合，由于，因此，射線AC與射線疊合；由于，因此，射線BC與射線疊合；于是點C（射線AC與BC的交點）與點（射線與的交點）重合，這樣重合，即全等．【點睛】本題主要考查三角形全等的定義，掌握“疊合法”說明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．12．在的方格紙中，每格的邊長為1，請按下列要求畫圖．（1）在圖1中畫一個格點，使與全等，且所畫格點三角形的頂點均不與點B，C重合．（2）在圖2中畫一個面積為7的格點四邊形，且為銳角．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)解決問題即可．（2）構(gòu)造梯形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．【詳解】解：（1）如圖1中，△ADE即為所求．（2）如圖2中，四邊形ABCD即為所求．【點睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．13．如圖，已知△ABC≌△DEB，點E在AB上，AC與BD交于點F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的長度；（2）求∠AED的度數(shù)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得