考點(diǎn) 直線與圓方程版典型數(shù)學(xué)試題解讀與變式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)35:直線與圓方程【考綱要求】1．直線與方程（1）在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素;（2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；(3）能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；（4）掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；（5）能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（6）掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．2．圓與方程（1）掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；（2）能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；（3)能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；（4）初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想．【命題規(guī)律】從近三年的高考試題來(lái)看，該部分主要考查熱點(diǎn)及題型如下：（1）兩條直線的平行與垂直、點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間距離是命題的熱點(diǎn)，對(duì)于距離問(wèn)題常常多融入到解答題中進(jìn)行考查;（2）求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標(biāo)、半徑是高考熱點(diǎn),多與直線相結(jié)合命題，著重考查待定系數(shù)法求圓的方程;（3）直線與圓的位置關(guān)系，特別是直線與圓相切一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．預(yù)計(jì)2018年的高考將會(huì)繼續(xù)保持穩(wěn)定，主要還是會(huì)從直線與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)、圓與圓的位置關(guān)系三個(gè)熱點(diǎn)進(jìn)行考查，體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，難度中等偏易．【典型高考試題變式】（一）兩條直線的位置關(guān)系【例1】【2011浙江卷】若直線與直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)=_______．【答案】【解析】，即．【方法技巧歸納】（1）求解兩條直線的平行問(wèn)題，要關(guān)注兩個(gè)方面:①兩條直線的斜率之間的關(guān)系，注意斜率不存在的情況；②在斜率相同的條件下考慮它們的截距是否相等．(2）判斷兩直線垂直是考慮它們的斜率之積是否為－1，對(duì)于判斷方程以一般式給出的直線：,：是否垂直，通常判斷是否成立，這樣可避開(kāi)分類討論，即不必對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論．【變式1】【變?yōu)閮蓚€(gè)方程中同時(shí)含有參數(shù)】若直線與互相垂直，則點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_________．【答案】或【變式2】【變垂直與平行同時(shí)出現(xiàn)在試題中】已知過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線為,直線為,直線為，若，,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．【答案】-10【解析】由題意可得，直線為的斜率為,直線的斜率為?2,且，∴=?2，求得．由于直線的斜率為,,∴?2×()=?1，求得，∴．（二）直線與圓的位置關(guān)系的判斷【例2】【2017全國(guó)卷Ⅲ1】已知集合A=，B=，則AB中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3B．2C．1【答案】B【解析】由題意可得:圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有兩個(gè)元素,故選B．【方法技巧歸納】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法:（1）若易求出圓心到直線的距離，則用幾何法，利用d與r的關(guān)系判斷．（2)若方程中含有參數(shù),或圓心到直線的距離的表達(dá)式較復(fù)雜，則用代數(shù)法，聯(lián)立方程后利用Δ判斷，能用幾何法求解的，盡量不用代數(shù)法．【變式1】【由例題變?yōu)楦鶕?jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)問(wèn)題，且與常用邏輯用語(yǔ)交匯】直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)必要不充分條件是(）A．B．C．D．【答案】C【解析】聯(lián)立直線與圓的方程得:，消去y得：,根據(jù)題意得：,變形得:，計(jì)算得出:,因?yàn)槭堑囊粋€(gè)真子集，所以直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是．故選C．【變式2】【變例題與三角函數(shù)交匯】圓與直線(，，)的位置關(guān)系是__________(橫線內(nèi)容從“相交、相切、相離、不確定”中選填）．【答案】相離（三）兩條直線相交問(wèn)題【例3】【2014四川卷】設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】B【解析】由條件,得,．由與消去，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為,易知為圓的一條直徑，如圖所示，由圖可知，所以．因?yàn)?，所?所以．又(兩點(diǎn)之間線段最短），綜上知的取值范圍是，故選B．【方法技巧歸納】解答直線與其它知識(shí)的綜合題,必須清楚明白兩類知識(shí)的交匯點(diǎn)在什么地方，涉及到這兩類知識(shí)哪些知識(shí)點(diǎn)，再聯(lián)想處理這兩類知識(shí)所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法,然后將問(wèn)題進(jìn)行不斷的深入解決．【變式1】【變?yōu)楦鶕?jù)兩直線交點(diǎn)位置求參數(shù)】若直線與的交點(diǎn)在第一象限內(nèi),則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】聯(lián)立直線方程,解得,∵直線的交點(diǎn)在第一象限，∴，解不等式組可得-1＜k＜1．【變式2】【變兩直線相交為三直線相交】若三條直線相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】聯(lián)立，解得把(1，2）代入可得，∴．∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．當(dāng)時(shí),取等號(hào)。∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選A．(四）距離公式的應(yīng)用【例4】（1）【2016年全國(guó)2卷】圓的圓心到直線的距離為1，則（）A．B．C．D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得,解得，故選A．（2）【2016上海卷】已知平行直線,則與的距離是_______．【答案】【解析】利用兩平行線間的距離公式得．【方法技巧歸納】利用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),一定要注意將直線方程化為一般式，同時(shí)代點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)注意準(zhǔn)確性；確定兩平行線間距離,關(guān)鍵是注意應(yīng)用公式的條件，即的系數(shù)必須相同．【變式1】【變求直線中參數(shù)為求點(diǎn)中參數(shù)】點(diǎn)到直線的距離為4，則（)A．1B．C．1或D．【答案】D【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得或，故選D．【變式2】【變?yōu)榍蠛袇?shù)的兩條平行間的距離】若直線：與直線：平行，則與的距離為（)A．B．C．D．【答案】B（五）直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題【例5】【2016新課標(biāo)Ⅰ卷】設(shè)直線與圓：相交于兩點(diǎn),若QUOTE，則圓的面積為＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】圓，即，圓心為,由圓心到直線的距離為，所以得，則所以圓的面積為．【方法技巧歸納】（1）處理直線與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)多用幾何法,如圓的半徑、弦長(zhǎng)、圓心到弦的距離之間的關(guān)系：在求圓的方程時(shí)常常用到；（2）處理圓的切線問(wèn)題時(shí),一般通過(guò)圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系式解決問(wèn)題．【變式1】【變?yōu)橹挥兄本€方程中含有參數(shù)】已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則（)A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)圓心到直線的距離為，由,可得，∴，即，解得，故選A．【變式2】【變求參為求直線方程】過(guò)點(diǎn)且被圓截得弦長(zhǎng)為8的直線的一般方程是__________．【答案】或（六)圓與圓的位置關(guān)系【例6】【2014湖南卷】若圓與圓外切，則（）A．21B．19C．9D．【答案】C【解析】因?yàn)?所以且圓的圓心為，半徑為,根據(jù)圓與圓外切的判定（圓心距離等于半徑和)可得，故選C．【方法技巧歸納】(1)處理兩圓的位置關(guān)系時(shí)多用圓心距與半徑的和或差的關(guān)系判斷，一般不采用代數(shù)法．（2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到．【變式1】【變外切為內(nèi)切】圓內(nèi)切于圓，則＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】圓的方程為，圓心.圓的方程變形得，圓心，圓內(nèi)切于圓,。．【變式2】【變相切求參為相交求參】已知圓與圓相交，則的取值范圍是_____________．【答案】【解析】的圓心，的圓心為，由兩圓相交得．（七)直線與圓位置關(guān)系綜合題【例7】【2014新課標(biāo)Ⅰ卷】已知點(diǎn)，圓:，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1）求的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積．【答案】(1）；（2）【解析】(1）圓C的方程可化為,所以圓心為，半徑為4，設(shè),則,，由題設(shè)知，故,即．由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是．（2）由（1）可知M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．由于，故O在線段PM的垂直平分線上．又P在圓N上,從而．因?yàn)镺N的斜率為3，所以的斜率為，故的方程為．又，O到的距離為，，所以的面積為．【方法技巧歸納】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問(wèn)題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化．涉及圓中弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般利用垂徑定理進(jìn)行解決,具體就是利用半徑的平方等于圓心到直線距離平方與弦長(zhǎng)一半平方的和．【變式1】【第(2)問(wèn)變?yōu)橄议L(zhǎng)問(wèn)題】已知定點(diǎn)，點(diǎn)圓上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求的中點(diǎn)的軌跡方程；(2）若過(guò)定點(diǎn)的直線與的軌跡交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】（1）；（2)或．【解析】(1）設(shè),由題意知：，化簡(jiǎn)得，故的軌跡方程為。(2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為,此時(shí)，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，因?yàn)榘霃剑?故圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式得,解得，直線的方程為,故直線的方程為或．【變式2】【第(1）問(wèn)變?yōu)橄嗲?第（2）問(wèn)變?yōu)榍笕切蚊娣e最值】已知圓，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0）．（1)若直線與圓C相切,求直線的方程;（2）若直線與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求三角形CPQ面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程．【答案】（1）或（2)y＝x－1或y＝7x－7（2）直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離，又∵三角形面積∴當(dāng)d＝時(shí)，S取得最小值2,則，，故直線方程為y＝x－1，或y＝7x－7．【數(shù)學(xué)思想】1．函數(shù)思想求與直線與圓方程的最小值問(wèn)題，通常通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值問(wèn)題,或利用基本不等式求最值問(wèn)題等,其實(shí)質(zhì)就是函數(shù)思想的應(yīng)用。2．方程思想求直線的方程或圓的方程常常要利用待定系數(shù)法求解，體現(xiàn)是方程思想的應(yīng)用；根據(jù)直線與圓間的位置關(guān)系求相關(guān)參數(shù)時(shí)，常常需要建立方程來(lái)求解．3．轉(zhuǎn)化與化歸的思想在直線與圓的方程中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在:（1）最值問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與平面幾何圖形中距離最短或最長(zhǎng)問(wèn)題；（2）與直線或圓上的點(diǎn)有關(guān)系的一些代數(shù)式,常常根據(jù)它們的幾何意義將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．4．分類討論思想分類討論思想在直線與圓問(wèn)題中的應(yīng)用主要有常見(jiàn)的兩種情形，即討論直線斜率的存在性與根據(jù)需要對(duì)圖形中的直線或圓的不同位置的討論．在解題時(shí)能作出圖形的盡量作圖，使隱含的條件直觀顯現(xiàn)，解答就會(huì)更加完備．【處理集合問(wèn)題注意點(diǎn)】1．處理直線傾斜角與求直線方程時(shí)，易忽略斜率不存在的情況、對(duì)傾斜角的取值范圍不清楚造成錯(cuò)解；忽略截距為0的情況造成少解；2．判斷兩條直線的位置關(guān)系忽視斜率是否存在;求兩平行線間的距離忽視兩直線的系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;忽略檢驗(yàn)兩直線重合的情況；3．對(duì)含有參數(shù)的一般式方程，忽視表示圓的條件；遺漏方程的另一個(gè)解;忽略圓方程中變量的取值范圍；4．處理兩圓位置關(guān)系時(shí)，忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形；忽視切線斜率不存在的情形；求弦所在直線的方程時(shí)遺漏一解．【典例試題演練】1．【2017?梅河口市二?！恳阎鞘堑诙笙藿?直線的斜率為，則等于（）A．B． C．D．【答案】D【解析】由題意，得，故，故，故選D．2．【湖北省武漢市硚口區(qū)2017屆高三9月調(diào)研】已知，直線與直線互相垂直,則的最小值為(）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】由已知兩直線垂直得：,即，兩邊同除b得，故選B．3．【江西師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三第三次模擬】已知直線與，則“”是“”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件【答案】B4．【2017屆江西省九江市高三下學(xué)期三?！恳阎本€經(jīng)過(guò)圓的圓心，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴圓心，且圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則直線，則由，得，∴直線的方程為,即，故選C．5．【北京市石景山區(qū)2017屆高三3月統(tǒng)一練習(xí)】以為圓心且與直線相切的圓的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓的半徑為，所以所求圓的方程為，故選A．6．【江西省2017屆高三4月新課程教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】已知點(diǎn)及圓：，則“點(diǎn)在圓內(nèi)”是“直線：與圓相離”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】點(diǎn)在圓：內(nèi),故選C．7．【海南省海南中學(xué)、文昌中學(xué)2017屆高三下學(xué)期聯(lián)考】拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則交點(diǎn)確定的圓的方程為（)A．B．C．D．【答案】D【解析】拋物線的圖象關(guān)于對(duì)稱，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，,，令圓心坐標(biāo)，可得，即，解得，,∴圓的方程為，故選D．8．【廣東省韶關(guān)市2017屆高三4月高考模擬】過(guò)直線上的點(diǎn)作圓:的兩條切線、，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，(）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)可知當(dāng)時(shí)，兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱，此時(shí)即為點(diǎn)到直線的距離，即，故選B．9．【河南省安陽(yáng)市2017屆高三第二次模擬】已知圓：，動(dòng)點(diǎn)在圓：上，則面積的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，當(dāng)時(shí)，的面積最大，其最大值為，應(yīng)選答案B。10．【2017屆江西省南昌市高三第一次模擬】已知點(diǎn)P在直線上,點(diǎn)Q在直線上,線段的中點(diǎn)為，且，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】D11．【海南省海口市2017屆高三4月調(diào)研】已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為(）A．B．C．D．【答案】C【解析】到兩直線及的距離都相等的直線方程為，聯(lián)立方程組，解得．兩平行線之間的距離為，所以，半徑為，從而圓的方程為，故選．12．【安徽省黃山市2017屆高三第二次模擬】已知圓,點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（)A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)是圓的切線,是圓與以為直徑的兩圓的公共弦，可得以為直徑的圓的方程為＝①．又②．由①—②得，可得滿足上式，即過(guò)定點(diǎn),故選B．13．【2017屆南京市、鹽城市高三年級(jí)第二次模擬】在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由題意得,直線的斜率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線的斜率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),且直線,所以點(diǎn)落在以為直徑的圓上，其中圓心坐標(biāo)，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的最大距離為，故選D．14．【2017屆貴州銅仁一中高三上學(xué)期入學(xué)模擬】已知直線，平行,則它們之間的距離是＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】因?yàn)橹本€,平行，所以，化為,兩直線的距離為．15．【安徽省蚌埠市2017屆第二次（3月）教學(xué)質(zhì)量檢查】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，對(duì)于任意不全為零的實(shí)數(shù)、，直線,若點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離為的最大距離為,最小距離為0，所以的取值范圍是．16．【湖南省瀏陽(yáng)一中2017屆高三高考適應(yīng)性考試(6月）】已知直線：與直線:相互垂直,點(diǎn)到圓：的最短距離為3，則______________．【答案】2【解析】依題意,①；②;聯(lián)立兩式，解得，故．17．【四川省師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三下學(xué)期5月模擬】已知圓，圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為,若點(diǎn)在直線位于第一象限的部分，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】,所以由圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為，可得，（時(shí)等號(hào)成立)，即的最小值為．18．【廣東省珠海一中等六校2018屆高三第一次聯(lián)考】已知直線與圓：相交于兩點(diǎn),且為等邊三角形,則圓的面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】圓，化為,圓心，半徑,因?yàn)橹本€和圓相交，為等邊三角形，所以圓心到直線的距離為，即，解得