與等差數(shù)列相關(guān)的結(jié)論-2023年高考數(shù)學(xué)高效速解突破技巧含答案

專題09與等差數(shù)列相關(guān)的結(jié)論-【二級(jí)結(jié)論

速解】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)高效速解突破技

巧

專題10與等差數(shù)列相關(guān)的結(jié)論

一、結(jié)論

設(shè)s“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.

(1)an=q+(〃-l)d；an=am+(/?-m)d

(2)p+q=m+n=>ai)+aq=am+an(m,n,p,q&N')

⑶p+q=2m=>ap+aq=2am(m,p,q&N*)；

⑷S,“,S2m-Sln,Sim-S2m,S.-S3m…構(gòu)成等差數(shù)列.

(5)&=[〃+(%-g)是關(guān)于"的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列｛2｝也是等差數(shù)列.

7722n

(6)

22

(7)若等差數(shù)列｛為｝的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為則所有項(xiàng)

之和S2m=機(jī)(《"+區(qū)”+|),S偶_5奇=rnd,*=乎.

奇tn

(8)若等差數(shù)列｛凡｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m-1,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S他，則所有項(xiàng)之和

S奮m

$2時(shí)|=(2加一1)冊(cè),S奇=mam,S偶=(加一l)q“，S奇-S偶=%,/~.

(9)在等差數(shù)列｛4｝,｛，｝中，它們的前〃項(xiàng)和分別記為S.,7；則?=2.

二、典型例題

例題1.(2023?全國?高二專題練習(xí))等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和\,若S,=\,S3l,-S?=5,則%=

()

A.10B.20C.30D.15

例題2.(2023秋?廣東廣州?高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，若%+3%<0,

且數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和有最大值，那么B,取得最小正值時(shí)〃為()

A.11B.12C.7D.6

例題3.（2023春?山西忻州?高二河曲縣中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和分別為

s〃+la.

CT基n

，有了=-2〃--+--6，'貝人」廂()

561121

A.—B.—c.—D.—

11112646

例題4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛。,,｝與等差數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和分別為S,,,兀若對(duì)于

任意的正整數(shù)〃都有2等則詈=（）

T“3/7-1b9

例題5.（2023?全國?高二專題練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共有偶數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)之和為84,奇數(shù)項(xiàng)之和為51,最

后一項(xiàng)與第一項(xiàng)之差為63,則該數(shù)列公差為.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023秋?廣東江門?高二統(tǒng)考期末）已知｛《,｝為等差數(shù)列，4+/+為=45,a2+a4+a6=33,貝絲。等

于（）

A.250B.410C.50D.62

2.（2023秋?山西運(yùn)城?高二統(tǒng)考期末）公差為4的等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為'，若52。23＞$2M＞$2022,

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.d＜0B.與＜0時(shí)，N的最大值為2022

C.S.有最大值D,S〃＜0時(shí)，〃的最大值為4044

3.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和為S,,,若$7＞工＞56,則下列結(jié)論：①%=0；

②為＜0；③兀＞0；④幾＜0,其中正確結(jié)論是（）

A.②③B.①③C.①④D.②④

4.（2023秋?河南周口?高二項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)校考期末）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若$3=16,

$6=8,則Si2=（）

A.—50B.-60C.-70D.-80

5.（2023秋?湖北黃岡?高二湖北省紅安縣第一中學(xué)?？计谀﹥蓚€(gè)等差數(shù)列和也｝,其前"項(xiàng)和分別

s〃

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝與等差數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和分別為S,和且寧=3,

那么善的值為（）

7.（2023秋?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列｛勺｝,其前〃項(xiàng)和為邑，若%>0,包<7,則下列結(jié)

論正確的是（）

A.使S,>0的”的最大值為16c.公差d<0D.當(dāng)"=8時(shí)5”最大

8.（2023秋?山東煙臺(tái)?高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和為S.（〃eN）,若《>0,&=&2,則

公差4<0+為<0

S”的最大值為其滿足S“<0的〃的最小值為16

9.（2023秋?河北邢臺(tái)?高二邢臺(tái)一中?？计谀┮阎f減的等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“,S5=S9,則下列

結(jié)論正確的是（）

A.4<0B.w最大兒>0D.。3〉0

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5.36<邑，且用>又，則（）

A.在數(shù)列｛?！埃?，%最大

B.在數(shù)列｛《,｝中，a｝或見最大

=

C.^3^10

D.當(dāng)〃28時(shí)，<0

11.（2023秋?湖南益陽?高二統(tǒng)考期末）己知兩個(gè)等差數(shù)列｛4｝、論,｝的前〃項(xiàng)和分別為S.和17；,且

S”5〃+13a.

~±=—「，則使得,為整數(shù)的％的取值可以是（）

T

n〃+1bk

A.4B.3C.2D.1

三、填空題

12.（2022春?上海浦東新?高一上海市川沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)

中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32:27,則公差d為.

13.（2023秋?河南商丘?高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和為S“，若數(shù)列S3,$6一3石。-》，…

的前”項(xiàng)和為6/+3〃，則。必=.

,、，、—S,2〃

14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝,｛"｝的前〃項(xiàng)和分別為S,,,。，若聲=5不，則才

四、解答題

15.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝中，前加（機(jī)為奇數(shù)）項(xiàng)的和為77,其中偶數(shù)項(xiàng)之和為33,

且4-%=18,求通項(xiàng)公式.

專題10與等差數(shù)列相關(guān)的結(jié)論

一、結(jié)論

設(shè)s“為等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.

(1)%=q+(〃-l)d；an=am+(/?-m)d

(2)p+q=m+n=>ap+ag=am+an(m,n,p,qeN*)

⑶p+q=2m=>ap+aq=2%(加，p,qeN*)；

⑷S,“,S2m-Sln,S3m-S2m,S4m-S3m…構(gòu)成等差數(shù)列.

(5)&=?”+(q-g)是關(guān)于〃的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列｛2｝也是等差數(shù)列.

n22n

(6)

22

(7)若等差數(shù)列｛4,｝的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偏，則所有項(xiàng)

s

之和S2m=m(am+%用)，S儡_5奇=md,*=竽.

奇m

(8)若等差數(shù)列｛凡｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2加-1,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S他，則所有項(xiàng)之和

S201=(2加,S奇=mam,S偶=(加一1)金，%-S偶=%,導(dǎo)=.

aSi.

(9)在等差數(shù)列｛4｝,｛“｝中，它們的前〃項(xiàng)和分別記為S,,,7；則片=產(chǎn)1.

二、典型例題

例題1.(2023?全國?高二專題練習(xí))等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S.,若S,,=1,SLS“=5,則S”,=

()

A.10B.20C.30D.15

【答案】A

【詳解】由等差數(shù)列｛叫有5“52”-5”瓜-52”,邑”-53”成等差數(shù)列，設(shè)為d,

則S3“-S“=S3“-%,+%,-S,,=S“+2"+S"+"=2S“+3"=5=d=l,

故S4n=S4n~S3n+S3n~S2?+S2n~Sn+S?=4S?+6d=iO.

故選：A

【另解】設(shè)S2,,=x,S3,,=y,SA”=z,由題意知S.=l,53“-S,,=5,即：y-l=5ny=6

又｛%｝是等差數(shù)列，貝!I：S,,,S2n-S?,Sin-S2n,S4,,-S3,,也是等差數(shù)列，如下表：

E,s.s.S3”-$4"-S3n

1x-1y-x=6-xz-y=z—6

由S.，S2ll-S?,S3n-S2n,成等差數(shù)列，得到2（x—l）=l+y—x，將少=6,代入，得到x=3,則上

表轉(zhuǎn)化為：

V-SS4n~S3n

S“S—n03w02n

1x-l=2y-x=6-x=3z-y=z-6

這樣，觀察得到規(guī)律公差為1,貝！Iz-6=4=z=10

【反思】等差數(shù)列中依次加項(xiàng)之和S,“，S2m-Sm,S3m-S2m,S.-S3,,,,…組成公差為機(jī)2d的等差數(shù)列,

此結(jié)論可以直接用語計(jì)算，但是在使用公式時(shí)注意避免公式使用錯(cuò)誤.

例題2.（2023秋?廣東廣州?高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知數(shù)列｛氏｝為等差數(shù)列，若%+3%<0,

《?％<。，且數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和有最大值，那么S,取得最小正值時(shí)〃為（）

A.11B.12C.7D.6

【答案】A

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前〃項(xiàng)和有最大值，故可得d<0,

因?yàn)槌?3%<0,故可得4勺+22。<0,即％+￡d<0,

所以的-；d<0,可得的<gd<0,

又因?yàn)?lt;0,

故可得%>0,所以數(shù)列｛《,｝的前6項(xiàng)和有最大值，

且4+%=2%+1Id<0,

又因?yàn)閹?12x^-y^.=6（a6+a7）<0,S”=?）<（q+a“）=1lx%>0,

故S”取得最小正值時(shí)〃等于11.

故選：A.

【另解】由a2+34<0na2+a8+2a8<。，即2a5+2必<0%+仆<°，進(jìn)一步利用等差數(shù)列角標(biāo)和性

質(zhì)，得至汁4+%<0,結(jié)合題意49<0,則%和%一正一負(fù)，又因?yàn)閿?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和有最大值，所

以%>0，%<0,這樣甌=1以幺要=116>0，$=12'巧組=6（%+%）<0,所以S,取得最小正

值時(shí)”等于11.

【反思】充分利用p+q=w+〃=<+%（機(jī),〃,p,qeN"）和

p+q=2map+aq=2am（m,p,qeN*）,推出等差數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)（或者單調(diào)性），從而確定數(shù)列｛叫

中有最大（?。┲?，再根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求解.

例題3.（2023春?山西忻州?高二河曲縣中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列｛凡｝,｛4｝的前〃項(xiàng)和分別為

S"，，若>碧，嘮=（）

AA21

A，11BcD.

-n-146

【答案】A

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),

〃10_2。10_41+"19凡19+15

外=五際=正選項(xiàng)A正確?

"io2小瓦+

故選:A.

【反思】在等差數(shù)列｛?！ǎ?｛〃｝中，它們的前?項(xiàng)和分別記為Sn,T?則｝=/，注意此公式使用的前提

?中分子分母角標(biāo)一致，比如：詈，》.但如果是乎這類分子分母角標(biāo)不一致，不能直接使用該公式,

b

n仇b]]b-,

需另尋它法.

例題4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛%｝與等差數(shù)列加“｝的前〃項(xiàng)和分別為s.,人若對(duì)于

任意的正整數(shù)〃都有率=誓|,貝if=（）

Tn3〃-1b9

A35卜31C31c35

A.—B.C.—?D.——

52504846

【答案】B

【詳解】設(shè)S〃=（2〃+l）〃f,7；=（3〃-1）加，fwO.則6=58-57=136-105f=31f,

4=7；-4=234184/=50/,所以詈=言

bq5。

故選：B.

【反思】本例與例題3對(duì)比，求解目標(biāo)發(fā)現(xiàn)角標(biāo)不一致，這樣不能直接使用結(jié)論，但是由于料,｝和｛",｝

都是等差數(shù)列，且方=信，則可以把s.，7；表達(dá)式求出（若數(shù)列｛對(duì)｝是等差數(shù)列，則前〃項(xiàng)和S“可以

表達(dá)為S“=A〃2+Bn,其中4,8不同時(shí)為0）,這樣就可以設(shè)邑=（2〃+1）加，7；=（3〃-1）〃/,再利用

as=Sx-S7=136t-105t=3lt,4=7；-<=234f-184f=50/再求比值.

例題5.（2023?全國?高二專題練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共有偶數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)之和為84,奇數(shù)項(xiàng)之和為51,最

后一項(xiàng)與第一項(xiàng)之差為63,則該數(shù)列公差為.

【答案】3

【詳解】解:由題知不妨設(shè)等差數(shù)列為｛%｝,首項(xiàng)為卬,公差為d,項(xiàng)數(shù)為2〃,〃eZ,

故有為=〃4；%）=〃%=84,

*^4^=吟=51,

兩式相減S闡-S奇=”“向-〃氏=〃d=33,

因?yàn)?,-C=（2〃T）d=63,

nd11

故--------=一,

（2n-\）d2「

故〃=ll,d=3.

故答案為：3

【反思】①等差數(shù)列S”｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2加-1,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為s奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之

S有m

和=（2〃z—1）%,S奇=rna,S偶=（加一1）%,S奇一S偶，薩=--.

m5偶m-l

②等差數(shù)列｛%｝的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃，%=皿產(chǎn);加向,Sy"回箸-。=加“,

SK-Sti=na^-nan=nd再結(jié)合題意求解.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023秋廣東江門?高二統(tǒng)考期末）已知｛勺｝為等差數(shù)列，卬+%+%=45,%+4+4=33,則與等

于（）

A.250B.410C.50D.62

【答案】C

【詳解】??.｛凡｝為等差數(shù)列，4+%+6=45,%+4+。6=33,

/.4+%+%=3%=45,a2+a4+a6-3a4-33,

/.=15,a4=11,公差d=4-4=-4,q=4-24=15+8=23,

.?.A。=10q+45d=230-45x4=50.

故選：C

2.（2023秋?山西運(yùn)城,高二統(tǒng)考期末）公差為”的等差數(shù)列｛?“｝的前〃項(xiàng)和為S“，若52。23>52。2|>$2。22，

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.d<0B.?！?lt;0時(shí)，H的最大值為2022

C.S,,有最大值D.S“<0時(shí)，〃的最大值為4044

【答案】B

【詳解】因?yàn)?2023>$2021>$2022，即$2021>$2022=。2022<°，$2023>邑022=。2023>。

即”=。2023—“2022>。，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?>0,且。2022<0，?2023>0>故?！?lt;。時(shí)，"的最大值為2022,故B正確：

因?yàn)閐>0,且*<0,a2023>0,所以一沒有最大值,有最小值即邑皿，故CD錯(cuò)誤.

故選:B

3.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為'，若$>風(fēng)>$6，則下列結(jié)論：①%=0；

②為<0；③兀>0；④幾<0,其中正確結(jié)論是（）

A.②③B.①③C.①④D.②④

【答案】A

【詳解】解：因?yàn)?7>$6=>$6+%>56=%>。，知①錯(cuò)誤；

由已知條件另>S8ns7>S?+a8n歿<0，可知②正確;

由%="（a；"）=]3%>0,知③正確；

由S^S6ns6+%+%>56=%+%>0,故與>0,知④錯(cuò)誤.

故選：A.

4.（2023秋?河南周口?高二項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)校考期末）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，若§3=16,

$6=8,則Sl2=（）

A.—50B.-60C.—70D.—80

【答案】D

【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3、S「S"S「S《、品成等差數(shù)列,

且該數(shù)列的公差為（/一$3）-5=-8-16=-24,則Sg-泉=（邑一邑）一24=-32,

所以，Sl2-S9=（S9-S6）-24=-56,

因此，兒=&+（S6-S,）+（59-S6）+（5,2-S9）=-80.

故選：D.

5.（2023秋?湖北黃岡?高二湖北省紅安縣第一中學(xué)?？计谀﹥蓚€(gè)等差數(shù)列也｝和也｝,其前〃項(xiàng)和分別

S3〃+2

為s“，T,且廣=,則&+九寸J()

〃+3

92565149

A.一B.C.—D.---

4242424

【答案】C

。2+〃20_+〃21了（"l+“21）_邑3x21+265

【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,

&+砥4+與&伍+%）%21+324

故選：C.

S

6.（2022,全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛/｝與等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和分別為S〃和7；,且寸=-n

那么詈的值為（）

bi

13141516

A.—B.—C.—D.

121314T?

【答案】c

【詳解】設(shè)等差數(shù)歹U{0“},{〃}的公差分別為4和4

SnS.a.11

v元n=瓦？諄=/5Mq=百

?'A招l(wèi)"=3d「2W①

3,,,

S.3a.+3d,-

—=-；-----=lf!|J1h.1=441—3d,（2）

T33b1+3d242」

由①②解得4=〃2力］=4.

.f+743a，=15

b.,a+6d24+6414

故選：C

二、多選題

7.（2023秋?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列｛叫，其前〃項(xiàng)和為S,，若1>0,也<-1,則下列結(jié)

論正確的是（）

A.使邑>0的”的最大值為16c.公差d<0D.當(dāng)"=8時(shí)5"最大

【答案】ACD

【詳解】；等差數(shù)列｛4｝,S”=￡（［+%5）=15/>0,,6>。，

又<—1Cig<—47g<0,。8+%<0,

?8

.,.|a9|>a8,A正確.

d=a9-as<-2as<0,C正確.

???4+。9<°「?S]6=5（〃|+/6）=了（。8+。9）<°，515>°，

使s〃>0的〃的最大值為15.B錯(cuò)誤.

;心>0,。9<°當(dāng)〃m8,an>0,〃29,a”<0,

所以當(dāng)〃=8時(shí)S〃最大.D正確.

故選：ACD

8.（2023秋?山東煙臺(tái)?高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為E,（〃eN'）,若卬>0,$4=岳2,則

（）

A.公差，/<0B.a7+ag<0

C.邑的最大值為縱D.滿足S“<o的〃的最小值為16

【答案】AC

【詳解】因?yàn)?>0,S,=品，

則即《+4=3（%+的），

2

^\d=--ax<0,故AI上確；

%+為=2q+14d=-d>0,故B錯(cuò)誤；

由%+%〉0，得6>。，

%=q+81=；d<0,

因?yàn)閐<0,q>0,

所以數(shù)列｛為｝是遞減數(shù)列，且當(dāng)“W8時(shí)，an>0,當(dāng)“29時(shí)，??<0,

所以5“的最大值為《，故C正確；

令S“<0,解得*>16,

所以滿足S,<0的〃的最小值為17,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

9.（2023秋?河北邢臺(tái)?高二邢臺(tái)一中?？计谀┮阎f減的等差數(shù)列｛勺｝的前〃項(xiàng)和為5.再=Sg,則下列

結(jié)論正確的是（）

A.魅<0B.與最大C.兄>°D.Sl3>0

【答案】ABD

【詳解】因?yàn)镾s=Sg,故。6+%+“8+。9=°，所以。]+。8=°，

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，故公差d<0,

所以%>0,4<0,故AB正確；

又S“=14x牝詈?=7（叼+4）=0，岳3=13x當(dāng)組=13%>0,故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD.

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和為5,,,$6<$7，且其>$8，則（）

A.在數(shù)列｛6,｝中，q最大

B.在數(shù)列｛4｝中，％或%最大

C.S3=510

D.當(dāng)〃28時(shí)，cin<0

【答案】AD

【詳解】｛4｝為等差數(shù)列，?.?"<S,,且S7>58,

**eS-j—S6~>0,S8—Sj=<0,Clj>,

即〃<0,

.??｛4〃｝是遞減等差數(shù)列，%最大，當(dāng)〃47時(shí)，?！?gt;0,當(dāng)〃28時(shí)，4〃<0,

故AD正確，B錯(cuò)誤，

S10-S3=a10+a9++a7++a5+a4=7a7>0,

則兒。53,故C錯(cuò)誤，

故選：AD.

11.（2023秋?湖南益陽?高二統(tǒng)考期末）已知兩個(gè)等差數(shù)列｛""｝、｛4｝的前〃項(xiàng)和分別為S“和7；,且

S5〃+13a.

-±=-「，則使得廣為整數(shù)的％的取值可以是（）

北〃+14

A.4B.3C.2D.1

【答案】ACD

【詳解】由等差中項(xiàng)以及等差數(shù)列求和公式可得

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