2023年新高考數(shù)學大一輪復(fù)習 直線、平面平行的判定與性質(zhì)(原卷版)

專題30直線、平面平行的判定與性質(zhì)

【考點預(yù)測】

知識點一：直線和平面平行

1.定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面a平行，記作/〃a

2.判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這//〃4、

線〃線n個平面內(nèi)的■條直線平行，那么這4ua>n/〃a

線〃面條直線和這個平面平行（簡記為Z_/1(Za

“線線平行n線面平行

如果兩個平面平行，那么在一allB

>=>a//B

面〃面=>個平面內(nèi)的所有直線都平行于另aua

線〃面一個平面

3.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和1//a

一個平面平行，經(jīng)過lu/3>nI//

線〃面n線〃線這條直線的平面和這a0=1',

個平面相交，那么這二

條直線就和交線平行

知識點二：兩個平面平行

1.定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和夕，若。，〃=。，則a〃4

2.判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果一個平面內(nèi)有兩b-P

線〃面=>條相交的直線都平行于另allB，b//Bna/邛

面〃面一個平面，那么這兩個平面//

平行（簡記為“線面平行

n面面平行

線_1,面=>如果兩個平面同垂直ILa]

>=a〃0

面〃面于一條直線，那么這兩個平IL/3]

面平行

3.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，

面〃面n

那么在一個平面中的所a11P

線〃面//>=>〃//僅

有直線都平行于另外一〃U1

個平面

如果兩個平行平面

同時和第三個平面相交，a//，

ay==a〃匕.

性質(zhì)定理那么他們的交線平行（簡

By-b

記為“面面平行n線面

平行”）

如果兩個平面中有

面〃面=>一個垂直于一條直線，那土al1f3

17>n/_L/?

線JL面么另一個平面也垂直于I.La

這條直線

【方法技巧與總結(jié)】

線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示.

（1）證明直線與平面平行的常用方法：

①利用定義，證明直線。與平面a沒有公共點，一般結(jié)合反證法證明；

②利用線面平行的判定定理，即線線平行n線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，

同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；

③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；

（2）證明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用兩個平面垂直于同一條直線；

④證明兩個平面同時平行于第三個平面.

（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

【題型歸納目錄】

題型一：平行的判定

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法

題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行

題型六：面面平行的證明

題型七：面面平行的性質(zhì)

【典例例題】

題型一：平行的判定

例1.（2022?上海.高三專題練習）設(shè)加，”是兩條不同的直線，a,4是兩個不同的平面，則下列說法錯

誤的是（）

A.若機mLa,n工B,則</_1_萬8.若加〃”，m±a,nlI/3,則&_1_齊

C.若“z_L”，mlla,n!//3,則a//￡O.若加〃“，mLa,77_1_尸，貝!]￡//月

例2.（2022?上海靜安?二模）在下列判斷兩個平面。與夕平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是（）.

（1）a、口都垂直于平面廣，那么a〃夕.

（2）夕都平行于平面r,那么a〃尸.

（3）a、口都垂直于直線/,那么a〃口.

（4）如果/、機是兩條異面直線，且/〃a,加〃a,I//P,m//p,那么a〃夕

A.0B.1C.2D.3

例3.（2022.寧夏?銀川一中模擬預(yù)測（文））如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點,

M、N、。為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線48不平行于平面MAQ的是（）

例4.（2022?浙江?海寧中學模擬預(yù)測）已知a,b,c是不全平行的直線，a，B，7是不同的平面，則下

列能夠得到a〃￡的是（）

A.a±/,pLy

B.aaa,bua,alI/3,blip

C.aua,bua,cua,alI/3,blip,clip

D.blla,blip

例5.（2022.全國?高三專題練習）已知用是空間兩個不同的平面，機，〃是空間兩條不同的直線,

下列說法中正確的是（）

A.alI[3,mlla,則77”/尸

B.mHn,nl/a,則〃?//￡

C.平面a內(nèi)的不共線三點A、B、C到平面夕的距離相等，則a與夕平行

D.如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與此平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行

例6.（2022?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學模擬預(yù)測（理））如圖，在正方形ABCD-A,UCD中，M,

N分別是AO',的中點，則直線AM與平面8A?的位置關(guān)系是（）.

D'N

C.相交但不垂直D.無法確定

例7.（2022?全國?高三專題練習）已知三條直線b,c和兩個平面。,夕，下列命題正確的是（）

A.若a//a,a//b,則?//&B.若a〃b,bua,則〃//a

C.若a//a,〃//,///￡,則齊//aD.若&B=a、bua,cuB，bl1c,貝！J〃//5

【方法技巧與總結(jié)】

排除法：畫一個正方體，在正方體內(nèi)部或表面找線或面進行排除.

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法

例8.（2022?山西呂梁?三模（文））如圖，在四棱柱ABC。-44GA中，底面ABCD是平行四邊形,

DAYDB,側(cè)面ADRA是矩形，為AA的中點，DtA±BM.

（1）證明：AC〃平面MB。；

（2）求三棱錐M-ABD的體積.

例9.（2022?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐V-ABC中，O,M分別為01的中點.求證:

VB〃平面MOC.

例10.（2022?青海?海東市第一中學模擬預(yù)測（文））如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面尸CD，平

面A5CD,PCD為等邊三角形，CD=2AB=2,AD=垃,NBA。=/ADC=90。，/是棱PC上一點.

若MC=2MP,求證：AP〃平面MBZ).

例11.（2022?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為。的正方形,

側(cè)面B4D_L底面ABCD,且尸4=尸￡>=走4￡>,若E、歹分別為PC、

BO的中點，求證：EB7側(cè)面PAD；

2

例12.（2022?河南?濮陽一高高三階段練習（理））如圖，四邊形ABC。為菱形，AB=2,ZABC=60°,

將"⑦沿AC折起，得到三棱錐D-ABC,點M,N分別為△■）和ABC的重心.

又CDU平面8肱V，POu平面

例13.（2022?全國?高三專題練習）如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E^PB

的中點.

證明：OE〃平面PAC；

【方法技巧與總結(jié)】

（1）初學者可以拿一把直尺放在H5位置（與平齊），如圖一；

（2）然后把直尺平行往平面ACE方向移動，直到直尺第一次落在平面ACE內(nèi)停止，如圖二；

（3）此時剛好經(jīng)過點E（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點E）,此時直尺所在的位置就是我們

要找的平行線，直尺與AC相交于點尸，連接印，如圖三；

（4）此時PB、班'長度有長有短，連接尸3、EF并延長剛好交于一點。，剛好構(gòu)成A型模型（E為PD

中點，則產(chǎn)也為由）中點，若E為等分點，則尸也為如對應(yīng)等分點），PB//EF,如圖四.

圖一圖三圖四

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法

例14.（2022?河南開封?模擬預(yù)測（理））如圖，。分別是圓臺上、下底的圓心，為圓。的

直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E,C為圓。的直徑AB所對弧的中點，連接3C交圓E于點D,AA,,BBi,

CQ為圓臺的母線，A8=2A耳=8.

證明；CQ//平面088.；

例15.（2022?廣東?大埔縣虎山中學模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺ABCO-ABCR中，AB=2,A瓦=1,

四邊形ABC。為平行四邊形，點E為棱8C的中點.

例16.（2022?全國?高三專題練習）在如圖1所示的等腰梯形C￡>￡F中，DE=CD=2,EF=2+2近,

將它沿著兩條高位》IC折疊成如圖2所示的四棱錐E-A8CD（凡尸重合），點分別為線段A民〃E的

中點.

D,C

DC

E（F）圖2

例17.（2022?全國?模擬預(yù)測）在四棱錐P-ABCD中，R4_L平面ABCD,四邊形A8CD是矩形,

48=4尸=142￡,歹分別是針，BC的中點.

2

求證：EF〃平面PCD；

例18.（2022?全國?高三專題練習）如圖，正方形A3CD與直角梯形ADEF所在平面相互垂直,

ZADE=90，AF//DE,AD=DE=2AF=4.求證：AC〃平面BEF；

例19.（2022?全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB=BC=CD=~AD=1,ADHBC,

尸在以AD為直徑的圓。上，平面ABCDL平面E4D設(shè)點。是AP的中點，求證：8Q//平面PC。；

例20.（2022?江蘇?礦大附中高三階段練習）如圖，已知正方形ABC。和矩形AC所所在的平面互相

垂直，AB=-Ji，AF=t,M是線段E產(chǎn)的中點.

求證：9///平面&0￡；

例21.（2022?河南?洛寧縣第一高級中學一模（文））如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知平面上位＞，

平面ABC。，ABIICD,ADLCD,CD=2AB=4,AE是等邊△P㈤的中線.

例22.（2022?全國?高三專題練習）小明同學參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒

如圖所示：底面A3CD是邊長為8（單位：cm）的正方形，EAB,FBC,GCD,HD4均為正三角形，且它

們所在的平面都與平面ABCD垂直.

（1）證明：所〃平面A3CD；

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）初學者可以拿一把直尺放在"位置，如圖一；

（2）然后把直尺平行往平面即方向移動，直到直尺第一次落在平面網(wǎng)內(nèi)停止，如圖二；

（3）此時剛好經(jīng)過點8（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點8）,此時直尺所在的位置就是我們

要找的平行線，直尺與R4相交于點。，連接B。，如圖三；

（4）此時PB、所長度相等（感官上相等即可，若感覺有長有短則考慮法一4型的平行），連接0E,

剛好構(gòu)成平行四邊形班E0型模型（E為PD中點，O也為RL中點，0E為三角形R4D中位線），OB//EF,

如圖四.

AA

圖一圖二圖三圖四

題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行

例23.（2022今國?高三專題練習）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面BCCR為正方形，平面BCC、B、1

平面A844，AB=BC=2,M,N分別為A與，AC的中點.

求證：MV〃平面BCG耳；

例24.（2022唉國?高三專題練習）如圖所示的幾何體中，底面ABC。是等腰梯形，AB〃CD,ZABC=60°,

平面ABCD,CC「AA,,且C￡>=BC=gA3=gA4,,E,尸分別為AQ,CG的中點.

證明：EF〃面ABC。；

例25.（2022?湖南?長沙一中高三階段練習）如圖、三棱柱43（?-4與6的側(cè)棱441垂直于底面43（7,

ASC是邊長為2的正三角形，44,=3,點。在線段48上且4。=2。3,點E是線段3G上的動點.

RE

當釜為多少時，直線?！?/平面ACGA?

例26.（2022?全國?高三專題練習）如圖，在等腰直角三角形PAD中，ZA=90°,AD=8,AB=3,B、C

分別是從PD上的點，且AD/ABC,M、N分別為3尸、CD的中點，現(xiàn)將BCP沿2C折起，得到四棱錐

P-ABCD,連接MN.

證明：〃平面PAD；

例27.（2022?貴州?貴陽一中高三階段練習（理））如圖，四棱錐尸-ABCD中，平面上45,平面ABCD,

AB//CD,AB±AD,AB=3,AD=5AP=CD=2,ZPAB=60.M是8中點，N是尸8上一點.

是否存在點N使得MN〃平面PAD,若存在求PN的長.若不存在，請說明理由;

例28.（2022?全國?高三專題練習）已知將圓柱。02沿著軸截面ABCD分割，得到如圖所示的幾何

體，若四邊形ABC。是邊長為2的正方形，E,尸分別是AB,OC上的點，H是AE的中點，AC與8。交于

點O,REB=/O/C=60。.

E

H

DO2

求證：OH//平面EFCB；

例29.（2022?河北?高三專題練習）如圖所示正四棱錐S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=尤,

（1）正四棱錐S-ABCD的表面積；

（2）側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得3E〃平面PAC.若存在，求蕓的值；若不存在，試說明理由.

例30.（2022?全國?高三專題練習）在如圖所示的圓柱中，AB為圓0的直徑，C、。是AB的

兩個三等分點，EA.FC、GB都是圓柱QU的母線.

求證：尸&〃平面ADE；

【方法技巧與總結(jié)】

本法原理：己知平面1〃平面尸，則平面萬里的任意直線均與平面a平行

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行

例31.（2022?福建?三模）如圖，在三棱錐丫-ABC中，VAB和A6C均是邊長為4的等邊三角形.P

2

是棱U4上的點，VP=-VA,過尸的平面a與直線VC垂直，且平面cmI平面VAB=/.

V

在圖中畫出/,寫出畫法并說明理由;

例32.（2022?全國?高三專題練習）如圖所示，四棱錐的底面A3CD是直角梯形，

BC//AD,AB±AD,AB=BC=-AD,PA±ABCD,過BC的平面交尸。于M,交,PA于N（M與。不

2

例33.（2022?山東青島?二模）如圖，P為圓錐的頂點，。為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑AB=4,

母線PH=2g,M是依的中點，四邊形OBCW為正方形.

p,

—」——y.一

Hc

設(shè)平面PC月c平面尸3C=/,證明：I//BC-,

例34.（2022?安徽?蚌埠二中模擬預(yù)測（理））正方體A8C￡>-a4GR中，點加在棱。。上，過點C

作平面BMG的平行平面。，記平面。與平面BCC1耳的交線為/,則AC與/所成角的大小為（）

例35.（2022?全國?高三專題練習）如圖，己知三棱錐P-ABC中，△E43為正三角形，

ABA.BC,AC=2BC,D,E分別為AB,AC的中點，經(jīng)過DE的平面a與「反尸。分別交于點G,F,且

PA//a.求證：四邊形OERS是平行四邊形；

一七/E\,

DB

例36.（2022?全國?高三專題練習）如圖，A3是圓0的直徑，點C是圓0上異于的點，直線尸

平面ABC,2尸分別是上4,PC的中點.

Ph

記平面BEF與平面ABC的交線為/,求證：直線///平面PAC；

例37.（2022?安徽?安慶一中高三階段練習（文））如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，設(shè)

平面上4B與平面PCD的交線為直線I.

證明：/〃平面ABCD；

例38.（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PC，底面ABCD,底面ABCD

是直角梯形，ABLAD,AB//CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB上的點.

若PDH平面ACE,求尸E:尸3的值;

【方法技巧與總結(jié)】

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行

題型六：面面平行的證明

例39.（2022?全國?高三專題練習（理））如圖，在四棱錐尸-A8C。中，平面出。，平面48cPA

=PD,AB=AD,PALPD,ADLCD,ZBAD^60°,M,N分別為A。，B4的中點.

證明：平面8MN〃平面尸。；

例40.（2022?浙江?高三專題練習）在三棱錐S-ABC中，平面SAB，平面SBC,ABLBC,AS^AB,

過A作AFLS3,垂足為b，點E,G分別是棱SA，SC的中點.求證：平面EFG//平面A3C.

例41.（2022?河南?高三階段練習（理））如圖，在四棱柱ABC。-中，四邊形ABC。是正方

形，E,F,G分別是棱B4，4G，CG的中點.

證明：平面4的”/平面ARG；

例42.（2022安徽?南陵中學模擬預(yù)測（理））如圖，在正方體A8CD-A瓦GR中，E,F分別為棱。RCC

的中點.

求證：平面AECJ/平面BDF-,

【方法技巧與總結(jié)】

常用證明面面平行的方法是在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時

垂直于這兩個平面.證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線分別平行.

題型七：面面平行的性質(zhì)

例43.（2022?黑龍江?高三階段練習（理））四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，

/朋。=120。，上4,底面ABCD,PA=2y/3,E,F分別是PC,尸。的中點.

BGC

已知BG=/IBC,若平面EFG//平面RIB,求力的值；

例44.（2022?青海玉樹?高三階段練習（文））在長方體ABCD-ABCQ］中，AB=2BC=2AAl=1,

P為44的中點.

已知過點A的平面a與平面BPG平行，平面a與直線AB，C2分別相交于點M,N,請確定點M,N

的位置；

例45.（2022?四川?模擬預(yù)測（理））如圖，在直棱柱A3C-A4G中，點E,尸分別為A片，8C的

中點，點G是線段上的動點.

c,Bi

E

B

確定點G的位置，使得平面AGE//平面BCG,并給予證明;

例46.（2022?全國?高三專題練習）如圖，在直棱柱ABC-ABC中，點E，F(xiàn)分別為A瓦，BC的中

點，點G是線段AF上的動點.確定點G的位置，使得平面AGE〃平面BCG,并給予證明

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））已知小"是兩條不同的直線，a、￡是兩個不同的平面，則下列結(jié)論

一定成立的是（）

A.若m_L〃，m_Laf則〃〃aB.若根〃a,a///3f則相〃夕

C.若m_La,a邛,則加〃4D.若mJ_a,〃_L4，貝!Ja_L￡

2.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））已知長方體A5CD-A51G2中，AB=AD=4,明=2,E,尸分別

為棱A瓦和AA的中點，M為長方體表面上任意一點.若〃平面A￡F,則創(chuàng)/的最大值為（）

A.2A/6B.2幣C.4A/2D.6

3.（2022?云南師大附中模擬預(yù)測（理））若a,夕是兩個不同平面，加，〃是兩條不同直線，則下列4

個推斷中正確的是（）

A.m//a,m//p,孔ua,nuB=m〃n

B.mua,nuf3,a//n

C.m//a,nHa,rnu°,幾u￡=a〃尸

D.mua,nu（3,m〃n=a〃B

4.（2022.全國?高三專題練習（文））下列四個命題，真命題的個數(shù)為（）

（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于該平面；

（2）過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直；

（3）平行于同一個平面的兩條直線平行；

（4）。與6為空間中的兩條異面直線，點A不在直線a,6上，則過點A有且僅有一個平面與直線a,

b都平行.

A.0B.1C.2D.3

5.（2022?廣東廣州?三模）一幾何體的平面展開圖如圖所示，其中四邊形A3CD為正方形，反尸分別為

尸&PC的中點，在此幾何體中，下面結(jié)論錯誤的是（）

A.直線AE與直線B尸異面

B.直線AE與直線DE異面

C.直線EF,/平面PAD

D.直線所/平面ABCD

6.（2022?新疆克拉瑪依?三模（文））如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A瓦G2中，尸為棱B耳的中

點，。為正方形84GC內(nèi)一動點（含邊界），若D?//平面4尸。，則線段2Q長度的取值范圍是（）

2H3

4

c13忘6

42

7.（2022.全國?高三專題練習（文））己知點E,尸分別是正方體48。。一48/。0/的棱AB,AAi的中點,

點M,N分別是線段。正與C/尸上的點，則滿足與平面48CD平行的直線皿有（）

c.2條D.無數(shù)條

8.（2022?安徽師范大學附屬中學模擬預(yù)測（理））如圖，在三棱柱ABC-A與C中，過Af的截面與AC

CD

交于點。，與8c交于點E,該截面將三棱柱分成體積相等的兩部分，則三=（）

C2一退D班一、

,2,2

二、多選題

9.（2022.全國?高三專題練習）如圖，在下列四個正方體中，A,B為正方體的兩個頂點，M,N,Q為

所在棱的中點，則在這四個正方體中,直線A5與平面"N。平行的是（）

10.（2022?全國?高三專題練習）在正四面體A—5CQ中，AB=3,點。為35的重心，過點。的截

面平行于AB和CD分別交BC,BD,AD,AC于E,F,G,〃，貝l|()

A.四邊形E尸GH的周長為8

B.四邊形EFGX的面積為2

C.直線A3和平面EFGH的距離為&

TT

D.直線AC與平面ENGH所成的角為:

4

11.（2022?河北石家莊?高三階段練習）已知孫〃為異面直線，相，平面。，〃，平面夕.若直線/滿

定I工m,l工n,laa,lg0,則（）

A.a//P，I//a

B.I//a,I//f3

C.。與夕相交，且交線平行于/

D.。與夕相交，且交線垂直于/

12.（2022?全國?模擬預(yù)測）在正方體AB。-A4CQ中，CE=^（0<2<1）,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.存在Xe[0,l],使得用ELAC

B.對任意的九e[0』，都有百。LAE

C.對任意的幾?0』],都有4E〃平面片8。

D.當人=：時，直