三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（蘇科版）

專題08三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心

一.選擇題（共4小題）

1.（2020秋?贛榆區(qū)期末）RfZXABC中，ZC=90o,AB=5,內(nèi)切圓半徑為1,則三角形

的周長(zhǎng)為（）

A.12B.13C.14D.15

【分析】作出圖形，設(shè)內(nèi)切圓。。與aABC三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F,連接OE、OF

可得四邊形OECF是正方形，根據(jù)正方形的四條邊都相等求出CE、CF,根據(jù)切線長(zhǎng)定

理可得AD=AF,BD=BE,從而得至∣JAF+BE=AB,再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義解答即

可.

【解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓。O與AABC三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F,連接OE、OF,

VZC=90o,

.?.四邊形OECF是正方形，

ACE=CF=L

由切線長(zhǎng)定理得，AD=AF,BD=BE,

.?.AF+BE=AD+BD=AB=5,

三角形的周長(zhǎng)=5+5+1+1=12.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長(zhǎng)定理，作輔助線構(gòu)造出正方形是解

題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于將三角形的三邊分成若干條小的線段，作出圖形更形象直觀.

2.（2020秋?鼓樓區(qū)期末）如圖所示，在4X4的網(wǎng)格中，A,B,C,D,O均在格點(diǎn)上，則

點(diǎn)O是（)

A.AACD的外心B.Z?ACD的內(nèi)心C.ZsABC的內(nèi)心D.A1ABC的外心

【分析】根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理得出OA=OD=OC,進(jìn)而判斷即可.

【解答】解：由勾股定理可知：

OA=OD=OC=√12+22=√5,

所以點(diǎn)0是aACD的外心，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的外接圓與外心問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出OA=OD=OC.

3.（2021秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,點(diǎn)E、F分另IJ是AD、

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段EF上，ZM3AB內(nèi)切圓半徑的最大值是（）

【分析】由三角形APB的面積為12,可知AP+BP最小時(shí)，r有最大值，連接CA與EF

交于點(diǎn)P',求出AC=I0,由三角形面積公式可得出答案.

【解答】解：?.\盧￡、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，

ΛEF√AB,

:P在EF上，AB=8,BC=6,

1

.?.SΔPAB=^×8×3=12,

設(shè)aPAB內(nèi)切圓半徑是r,

1

VSΔPAB=^（AP+PB+AB）?r=12,

???AP+BP最小時(shí),r有最大值,

如圖，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)是C點(diǎn)，連接CA與EF交于點(diǎn)P',

D

VAP+BP=AP+CP≥CA,

???此時(shí)CA即為AP+BP最小值，

?.'AB=8,AD=6,

ΛAC=√62+82=10,

ΛAPiBP最小值為10,

.?.PA=PB=5,

Ill

Λ-×5×r+-×5×r+-×8×r=12,

222

解得胃5,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離；能

夠?qū)P+BP最小值轉(zhuǎn)化為CA的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

4.（2019秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（）

A.三角形的外心一定在三角形的外部

B.三角形的內(nèi)心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

C.外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形

D.直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點(diǎn)連線的夾角為125°

【分析】利用三角形內(nèi)心以及三角形外心的性質(zhì)判斷得出即可.

【解答】解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，錯(cuò)誤；

B、三角形的內(nèi)心到三個(gè)邊的距離相等，錯(cuò)誤；

C、外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形，正確；

D、直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點(diǎn)連線的夾角為135°,錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)外心的區(qū)別，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

5.（2021秋?邢江區(qū)期末）如圖所示，點(diǎn)。是aABC的內(nèi)切圓的圓心，若∕BAC=76°,

則NBOC的度數(shù)為128°.

11

【分析】由點(diǎn)O是4ABC的內(nèi)切圓的圓心，可得NoBC=WNABC,NOCBENACB,

又由NBAC=76°,可求得NABC+/ACB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求得

答案.

【解答】解：?；點(diǎn)O是AABC的內(nèi)切圓的圓心，

ΛB0>CO分別平分NABC、ZACB,

11

ΛZOBC=∣ZABC,∕OCB=RACB,

?.?∕BAC=76°,

ΛZABC+ZACB=180q-NBAC=I04°,

ΛZBOC=180o-(ZOBC+ZOCB)=180o-?(ZABC+ZACB)=J80o-∣×104o

=128°.

故答案為：128°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理.注意掌握數(shù)形結(jié)合思

想與整體思想的應(yīng)用.

6.(2020秋?濱湖區(qū)期末)設(shè)兩直角邊分別為3、4的直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑

長(zhǎng)分別為R和r,則R-r=1.5.

【分析】利用三角形的外心與內(nèi)心的性質(zhì)即可進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：因?yàn)橹苯侨切蔚耐饨訄A半徑等于斜邊長(zhǎng)的一半，

所以R=*√32+42=2.5：

若RfZlABC的邊AC=3,BC=4,

根據(jù)勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5,

其內(nèi)切圓。O分別切AB、BC、Ae于D、E、F.

設(shè)OE=OF=OD=八

，S?ABC=S?A0B÷S?B0C+S?A0C?

Iiii

即一AC?BC=怖AB?OD+^BC?OE+之AC?OF,

22ZZ

Illl

-×3×4=?×5×r+?×4×r+?x3×r,

2222

1

6=W(5+4+3),

6=6r,

r—1,

則R-r=2.5-1=1.5.

故答案為：1.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心關(guān)系，牢記這些定

義和計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵.

7.(2019秋?鼓樓區(qū)期末)已知三點(diǎn)A(0,0),B(5,12),C(14,0),則AABC內(nèi)心的

坐標(biāo)為(6,4).

【分析】作BQLOC,由題意可得BQ=12,根據(jù)勾股定理分別求出OB的長(zhǎng)，利用面積

法可得aABC內(nèi)切圓半徑，設(shè)AD=AE=X,則CD=CF=I4-χ,BE=BF=13-χ,由

BC=BF+CF列方程，解之求出X的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出答案.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQLOA于點(diǎn)Q,連接PA,PB,PC,

則OQ=5,BQ=12,

ΛOB=√0Q2+BQ2=√52+122=13,CQ=AC-AQ=14-5=9,

BC=√CQ2+BQ2=√92+122=15,

設(shè)G)P的半徑為r,

過(guò)點(diǎn)P作PDj_AC于D,PF_LBC于F,PE_LOB于E,

1ill

SΔABC=2OC?BQ—2AB?r+AC?r+BC?r

14x12一

則r=14+13+15=%

設(shè)AD=AE=x,則CD=CF=I4-X,BE=BF=I3-x,

,.?BC=BF+CF,

二13-x+14-x=15,

解得：x=6,

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,4）.

故答案為：（6,4）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理，根據(jù)面積法及

切線長(zhǎng)定理求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）AABC中，AB=AC=13,BC=24,點(diǎn)I是AABC的內(nèi)心，點(diǎn)

O是AABC的外心，則Ol=14.3.

【分析】設(shè)Be邊的中點(diǎn)為D,連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ADLBC,ZDAB

=ZCAD,得到內(nèi)心I和外心O都在直線AD上，根據(jù)勾股定理得到AD=5,i5ΔABC

的內(nèi)切圓半徑為〃外接圓半徑為R,則IO=Dl+OD,根據(jù)勾股定理列方程得到R=16.9,

求得OD=II.9,根據(jù)三角形的面積公式得到∕?=2.4,于是得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D,連接AD,

：AB=AC=13,

ΛAD±BC,ZDAB=ZCAD,

；點(diǎn)0為aABC的外心，點(diǎn)I為AABC的內(nèi)心,

，內(nèi)心I和外心0都在直線AD上，

VAB=AC=13,BC=24,

ABD=CD=I2,

ΛAD=√AB2-BD2=5,

設(shè)AABC的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,則IO=Dl+OD,

連接0B,在Rr△()DB中，C)D=R-5,OB=R,DB=12,

由勾股定理得(R-5)2+122=R2,

/.R=16.9,

ΛOD=AO-AD=16.9-5=11.9,

VSΔABC=∣BC?AD=∣(AB+BC÷AC)?r,

._BCAD_24×5_12

，?r≡AB+BC÷AC=13+24+13=^5"=2,4

Λr=DI=2.4,

ΛI(xiàn)0=DI+0D=2.4+11.9=14.3.

故答案為：14.3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面

積的計(jì)算，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共4小題）

9.（2018秋?武進(jìn)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（3,0）為圓心，5為半

徑作。A,與y軸的正半軸交于點(diǎn)B.

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,4）；

（2）Z?AOB的內(nèi)切圓半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度;

（3）將。A在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平移，使其與X軸、y軸都相切，記平移后的圓的圓心

為Ai,則AAl為舊或屈個(gè)單位長(zhǎng)度.

【分析】（1）連接AB,利用勾股定理計(jì)算出OB即可得到B點(diǎn)坐標(biāo);

（2）利用直角三角形內(nèi)切圓的半徑=巴方（。、h為直角邊，。為斜邊）進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）根據(jù)切線的性質(zhì)可判定Ai的坐標(biāo)為（5,5）或（-5,5）或（-5,-5）或⑸

-5）,然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算AAi的長(zhǎng)即可.

【解答】解：（1）連接AB,如圖，

在RrΔOAB中，OB=√AB2-OA2=√52-32=4,

，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）；

（2）AAOB的內(nèi)切圓半徑=丐口=1；

（3）；OAi與X軸、y軸都相切，

而OAi的半徑為5,

ΛA∣的坐標(biāo)為（5,5）或（-5,5）或（-5,-5）或（5,-5）,

若Al的坐標(biāo)為（5,5）,則AAI=J（5_3尸+52=聞:

若Al的坐標(biāo)為（-5,5）,則AAI=J（-5-3尸+5?=磁；

若Ai的坐標(biāo)為（-5,-5）,則AAi=√（-5-3）2+52=√89;

若Al的坐標(biāo)為（5,-5）,則AAl=J（5—3）2+52=舊；

綜上所述，AAl為啰或惋個(gè)單位長(zhǎng)度.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三

角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.也考查了切線的性質(zhì).

10.（2010秋?灌云縣期末）AABC外切于。O,切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F,NA=60°,BC

=7,G）O的半徑為百.求：

（1）求BF+CE的值；

（2）求AABC的周長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到BF=BD,CE=CD,代入求出即可；

（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AE=AF,求出∕OAE=30°,根據(jù)含30度得直角三角形和

勾股定理求出OA、AE,即可求出答案.

【解答】解：（1）;ZSABC外切于。O,切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F,

.?.BF=BD,CE=CD,

BF+CE=BD+CD=BC=7,

答：BF+CE的值是7.

(2)連接OE、OF,OA,

；AABC外切于ΘO,切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F,

ΛZOEA=90o,ZOAE=∣ZBAC=30o,

ΛOA=2OE=2√3,

由勾股定理得：AE=AF=√0A2-OE2=J(2√3)2-(√3)2=3,

Λ?ABC的周長(zhǎng)是AB+BC+AC=AF+AE+CE+BF+BC=7+7+3+3=20,

答：^ABC的周長(zhǎng)是20.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)勾股定理，含30度角的直角三角形，切線長(zhǎng)定理，三角形的內(nèi)

切圓與內(nèi)心等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

11.(2012秋?徐州期末)如圖，在RfzλABC中，ZABC=90o,BC=5cm,AC-AB=Icm.

(1)求AB、AC的長(zhǎng)；

(2)求AABC內(nèi)切圓的半徑.

【分析】(1)設(shè)AB=XCτn,則AC=(x÷l)cm,根據(jù)勾股定理得出方程(x+l)2-%2=

52,求出X即可；

(2)設(shè)內(nèi)切圓的半徑為y,根據(jù)三角形面積公式得出SΔΛBC=∣×5X12=

∣×5∕?+∣×12r+∣×13r,求出即可.

【解答】解：(1)設(shè)AB=Xa則AC=(x+l)cm,

：在RfZXABC中，由勾股定理得：AC2-AB2=BC2,

(X+1)2-X2=52.

解得：x=12,

即AB=12tw,AC=13cm；

連接AO、BO,CO、OD.OE>OF,

1111

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為y,根據(jù)題意，得SAABC=2x5X12=]x5r+zxl2r+zxl3r,

解得：r=2,

即所求內(nèi)切圓的半徑為2cw.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，勾股定理的應(yīng)用，用了方

程思想.

12.(2010秋?海陵區(qū)期末)如圖，I是AABC的內(nèi)心，NBAC的平分線與AABC的外接圓

相交于點(diǎn)D,與BC相交于點(diǎn)E.

(1)寫出圖中與ACAE相似的所有三角形；

(2)求證:DI=DB;

(3)求證：DI2=DE?DA.

D

【分析】(1)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得NC=ND,ZCAE-ZDBE,再由角平分

線定義，貝IJz^DBEs∕?ABC,?DAB^?ABC;

(2)連接BI,CLCD,求證aBCD為等腰三角形，再利用Bl為NABe平分線，求證

△DBI為等腰三角形，利用等量代換即可證明；

(3)i!E?DBE^?DAB,得DB?=DE?DA,再由(2)得DF=DE?DA.

【解答】(1)解：與ACAE相似的所有三角形：ADBE,?DAB;

VZC=ZD,ZCAE=ZDBE,

Λ?DBE^ΔCAE;

VZC=ZD,AD是/BAC的平分線，

ΛZBAD=ZEAC,

Λ?DAB^?CAE;

(2)證明：連接BI,CI,CD,

TI為內(nèi)心，

JAI為/BAC角平分線，

Bl為/ABC平分線，

ΛZABI=ZCBI,ZBAD=ZDAC,

YNBID=NABHNBAL

NCBD=ZDAC=ZBAl,

ΛZBID=ZCBI+ZCBD=ZDBI,

為等腰三角形，

/.DB=DI；

(3)證明：VZDBE=ZCAD,NBAE=NCAE,

.'.ZBAE=ZEBD,

ΛΔDBE^ΔDAB,

?_DBDE

??—,

DADB

ΛDB2=DE?DA,

又；DB=Dl(已證)，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的相似和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，證明此題的關(guān)鍵

是連接BLCI,CD,求證aBCD為等腰三角形，再利用BI為NABC平分線，求證△

DBI為等腰三角形.

Q

一.選擇題（共4小題）

1.（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，在一張RfZ?ABC紙片中，ZACB=90o,BC=3,AC=4,

。。是它的內(nèi)切圓.小明用剪刀沿著。O的切線DE剪下一塊三角形ADE,則aADE的

周長(zhǎng)為()

A.4B.5C.6D.8

【分析】設(shè)AABC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F,H,G,連接OF,OH,0G,得四邊形OHCG

是正方形，由切線長(zhǎng)定理可知：AF=AG,根據(jù)DE是。。的切線，可得MD=MF,EM

=EG,根據(jù)勾股定理可得AB=5,再求出內(nèi)切圓的半徑=；(AC+BC-AB)=1,進(jìn)而

可得aADE的周長(zhǎng).

【解答】解：如圖，設(shè)aABC的內(nèi)切圓切三邊丁點(diǎn)F,H,G,連接OF,OH,0G,

四邊形OHCG是正方形，

由切線長(zhǎng)定理可知：AF=AG,

：DE是(DC)的切線，

MD=MF,EM=EG,

VZACB=90o,BC=3,AC=4,

.?.AB=√4C2+"2=5,

?.?(DO是AABC的內(nèi)切圓，

二內(nèi)切圓的半徑=W(AC+BC-AB)=1,

.?.CG=1,

.?.AG=AC-CG=4-1=3,

?ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=2AG=6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵

是掌握切線的性質(zhì).

2.(2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期中)如圖，Z?ABC中，ZC=90o,AC=4,BC=3,I為aABC

的內(nèi)心，ID〃AC,IE〃BC,則AIDE的周長(zhǎng)為()

C

【分析】先解直角三角形得到AB=5,連接IA、IB,如圖，利用三角形的內(nèi)心的性質(zhì)得

到∕1=N2,再證明/2=/3得到DA=DI,同理可得EI=EB,所以aIDE的周長(zhǎng)=AB

=5.

【解答】解：VZC=90o，AC=4,BC=3,

ΛAB=√32+42=5,

連接IA、IB,如圖，

即Nl=∕2,

VID/7AC,

.?.N1=∕3,

ΛZ2=Z3,

ΛDA=DI,

同理可得EI=EB,

，ZUDE的周長(zhǎng)=ID+DE+IE=DA+DE+EB=AB=5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切

圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角

形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).

3.（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知AB是Θ0的直徑，CD,CB是。O的切線，D,

B為切點(diǎn)，OC交。。于點(diǎn)E,AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F,連接AD,BD,給出以下四個(gè)

結(jié)論：①AD〃0C；②E為aCDB的內(nèi)心：③FC=FE.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】①利用切線長(zhǎng)定理和等腰三角形三線合一證明即可；

②由垂徑定理得/&=麗，再由切線性質(zhì)推角相等，進(jìn)一步證明DE平分NCDB,BE平

分NCBD,最后證點(diǎn)E為ACDB的內(nèi)心；

③利用①的結(jié)論AD〃OC推/NDA=/NCM,再根據(jù)切線性質(zhì)推角相等，等量代換后

推NMCB=NDBA,由詢不一定等于歷?,推角也不一定相等.

【解答】解：①；AB為。。的直徑，

ΛZADB=90°,

：CD、CB為。。的切線，

ΛCD=CB,Co平分/DCB,

.,.CO±BD,

ΛZOHB=90°,

ΛZOHB=ZADB,

...AD〃OC,故①正確；

②連接DE、BE,

VCD為。O的切線,

.?.ZCDE=ZDAE,

VCO±BD,

：.DE=BE,

ΛZDAF=ZEDB,

NCDE=NEDB,

ΛDE平分/CDB,

同理可證BE平分∕CBD,

：CO平分NDCB,

/.點(diǎn)E為ACDB的內(nèi)心，故②正確；

③；AD〃OC,

.,.ZNDA=ZNCM.

；CO平分NDCB,

.?.ZDCM=ZMCB,

VCD為。O的切線，

.?.ZNDA=ZDBA,

NMCB=/DBA,

VZCEF=ZAEM,

而不一定等于回，

ΛZCFE,/AGB不一定相等

,FC、EF也不一定相等，故③不正確，

正確的結(jié)論是①②.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理、圓周角的性質(zhì)定理、外角性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)定理的

綜合應(yīng)用，輔助線的作法是解題關(guān)鍵.

4.（2022?祁江區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，點(diǎn)I和O分別是AABC的內(nèi)心和外心，若NAlB=I25°,

則NAOB的度數(shù)為（）

【分析】根據(jù)圓周角定義，以及內(nèi)心的定義，可以利用NC表示出“AIB和NAoB,即

可得到兩個(gè)角的關(guān)系.

【解答】解：：點(diǎn)O是AABC的外心，

ΛZA0B=2ZC,

1

.?.NC=*NAOB,

???點(diǎn)I是AABC的內(nèi)心,

ΛZlAB=∣ZCAB,ZIBA=∣ZCBA,

...NA出=180°-(ZIAB+Z1BA)

=180。-∣（NCAB+NCBA）,

=180。-?（180o-ZO

=90°+∣ZC,

Λ2ZAIB=180o+ZC,

VZA0B=2ZC,

1

o

ΛZAIB=90+44ZA0B,

Λ4ZAIB-NAOB=360°.

VZAIB=125o,

ΛZAOB=140o.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵

是正確利用/C表示NAlB的度數(shù).

二.填空題（共4小題）

5.（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，。。是等邊AABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F,

若等邊AABC的邊長(zhǎng)為8,則陰影部分的面積是16K-能.

【分析】連接OE、OB、OC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得NABC=∕ACB=60°,BC=8,

再利用切線的性質(zhì)和內(nèi)心性質(zhì)得到OE_LBC,BO平分NABC,OC平分NACB,從而得

到NOBE=∕OCE=30°,再計(jì)算OE,然后根據(jù)扇形的面積公式，利用SgJ影部分=SAABC

-SΘO=3SΔOBC-Soo進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接OE、OB、OC,

V?ABC為等邊三角形，

ΛZABC=ZACB=60o,BC=8,

；OO是等邊AABC的內(nèi)切圓，

ΛOE±BC,BC)平分NABC,C)C平分/ACB,

NOBE=/OCE=30°,

VOB=OC,OElBC,

二BE=CE=BBC=4,

在RfZXOBE中，OE=孚BE=竽，

β

??S陰影部分=Sz2iABC-SoO

=3SΔOBC-S0O

14?∕34√3?

=3×4×8×??——π×(-----)J

233

=16√5-竽n.

故答案為：16??∕5-竽n.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解決本

題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心定義.

6.(2022秋?云龍區(qū)校級(jí)月考)如圖，圓O是AABC的內(nèi)切圓，若∕ABC=60°,ZACB

=50°，則NBoC=125°.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念得到NC)BC=&ABC=30°,ZOCB=∣ZACB=

25°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【解答】解：是aABC的內(nèi)切圓，

ΛZOBC=∣ZABC=?×60o=30o,ZOCB=∣ZACB=?×50o=25o,

ΛZBOC=180o-ZOBC-ZOCB=125o,

故答案為：125.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)心

是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.（2020秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知圓。為RfZ?ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、

F,且NC=90°,AB=13,BC=12,則圓O的半徑為2.

【分析】設(shè)BF=BD=x,利用切線長(zhǎng)定理，構(gòu)建方程先求出證明四邊形OECF是矩形,

推出OE=CF即可解決問(wèn)題.

【解答】解：在Rr?ABC中，

VZC=90o,AB=13,BC=12,

ΛAC=-JAB2-BC2=5,

；。。為RfAABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D,E,F,

BD=BF,AD=AE,CF=CE,

如圖，連接OE,OF,

，NOEC=/C=∕OFC=90°,

，四邊形OECF是正方形，

設(shè)OE=OF=CE=CF=x,則AD=AE=5-X,BF=BD=I2-x,

VAD+BD=13,

Λ5-x+12-x=13,

?'x=2,

則圓O的半徑為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

8.（2021秋?高新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在aABC中，I是aABC的內(nèi)心，O是AB邊上一點(diǎn)，

744

G）O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與Al相切于點(diǎn)I,若S"/BAC=苛，則si"∕ACB的值為F.

【分析】連接01,BI,作OEJ_AC,可證AAOD是等腰三角形，然后證明OD〃BC,進(jìn)

而NADO=NACB,解三角形AoD即可.

【解答】解：如圖，

連接OI并延長(zhǎng)交AC于D,連接BI,

VOI與。0相切，

ΛAll0D,

ΛZAIO=ZAID=90o,

VI是AABC的內(nèi)心，

ΛZOAI=ZDAL/ABI=/CBI,

VAI=AL

Λ?AOI^?ADI(ASA),

ΛAO=AD,

VOB=OI,

ΛZOBI=ZOIB,

ΛZOIB=ZCBI,

ΛOD√BC,

ΛZADO=ZC,

作OE_LAC于E,

OE24

Y必〃NBAC=浣=竽

.?.不妨設(shè)OE=24&,AE=lk,

.?.OA=AD=25k,

ΛDE=AD-AE=18%,

ΛOD=y∕OE2+DE2=30?,

.?/AZ_OE_24k_4

,?S"i∕ACB-oo-30fc-s>

4

故答案是：--

【點(diǎn)評(píng)】本題考查課圓的切線性質(zhì)，內(nèi)心性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，解斜三角形等

知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是有機(jī)地組合條件，發(fā)現(xiàn)特殊性.

≡.解答題（共4小題）

9.（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，AABC內(nèi)接于。0,/BAC的平分線AF交。O于點(diǎn)G,過(guò)

G作DE〃BC分別交AB,AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,E.

（1）求證：DE是。O的切線：

_BF3

（2）已知AG=8,—=-，點(diǎn)I為AABC的內(nèi)心，求Gl的長(zhǎng).

DG4

【分析】（1）連接OG,根據(jù)角平分線的定義得到NBAG=∕CAG,根據(jù)垂徑定理得到

OGlBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OG_LEF,根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）連接BI,BG,根據(jù)角平分線定義得到NBAl=NCAI,ZABI≈ZCBI,推出/BIG

=ZGBL得到BG=IG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接OG,

,.?ZBAC的平分線AF交。O于點(diǎn)G,

ΛZBAG=ZCAG,

：.BG=CG,

ΛOG±BC,

VDE√BC

ΛOG±EF,

；OG是OO的半徑,

ΛDE為。O的切線;

(2)解：連接BLBG,

??點(diǎn)I為AABC的內(nèi)心，

:BI平分NABC,AG平分NBAC,

??NBAI=NCAI,ZABI=ZCBI,

??NBIG=NBAl+NABI,ZGBI=ZGBC+ZCBI,ZGBC=ZGAC,

?ZBAI=ZCBG,

*.ZBIG=ZGBI,

?.BG=IG,

.,BC√DE,

,.?ABF^?ADG,

tAFBF3

9AG~DG~4

.?AG=8,

?.AF=6,

β.FG=2,

??NBGF=NAGB,NGBF=NBAG,

β.?BGF^?AGB,

.BGAG

FG~BG

BG8

2BG

*.BG=4(負(fù)值舍去),

?.GI的長(zhǎng)為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟

練掌握.

10.(2022秋?泰州月考)如圖,O是AABC的外心，I是4ABC的內(nèi)心，連接Al并延長(zhǎng)交

BC和。。于D,E.

(1)求證：EB=EI;

(2)若AB=8,AC=6,BE=4,求Al的長(zhǎng).

E

【分析】（1）根據(jù)1是AABC的內(nèi)心，于是得到AE平分NCAB,Bl平分NABc根據(jù)

角平分線的定義得到NBAE=NCAE,ZABI=ZCBI,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到結(jié)

論；

（2）連接EC根據(jù)已知條件得到BE=EC=4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：Tl是AABC的內(nèi)心，

???AE平分/CAB,BIWZABC,

ΛZBAE=ZCAE,ZABI=ZCBI,

?.?ZBIE=ZBAE+ZABI,ZIBE=NIBD+NEBD,

?：ZCBE=ZCAE,

???NBIE=NEBI,

：?EB=EI;

（2）解：連接EC.

VZBAE=ZCAE,

：.BE=EC,

ΛBE=EC=4,

YNADB=NCDE,ZBAD=ZDCE,

Λ?ADB<^?CDE,

BDADAB8

/.—=—=—=—=2,設(shè)DE="?,CD="r,ι則lBD=2m，AD=2〃,

DEDCEC4

同法可證：Z?ADCs∕?BDE,

.ADAC

?.=,

BDBE

.2n6

??-—,

2m4

??/7：〃7=3：2,設(shè)"=3k,m=2k,

VZCED=ZAEC,