考研數(shù)學二(選擇題)模擬試卷(題后含答案及解析)

考研數(shù)學二(選擇題)模擬試卷82(題后含答案及解析)

題型有：1.

1.設向量組I：al,a2,…，ar可由向量組H：Bl,B2,…，Bs

線性表示，貝U()

A.當r<s時，向量組H必線性相關。

B.當r>s時，向量組H必線性相關。

C.當rVs時，向量組I必線性相關。

D.當r>s時，向量組I必線性相關。

正確答案：D

解析：因為向量組I可由向量組n線性表示，故r(I)Wr(H)Ws。又因為當

r>s時，必有r(I)<r,即向量組I的秩小于其所含向量的個數(shù)，此時向量組I

必線性相關，所以應選D。知識模塊：向量

2.設非齊次線性方程組Ax=b有兩個不同解B1和B2,其導出組的一個基

礎解系為al,a2,cl,c2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解為

A.clal+c2(a1+a2)+(31-32)

B.cla1+C2(a1-a2)+(31+02)

C.clal+c2(B1+B2)+(B1-B2)

D.clal+c2(B1-B2)+(B1+B2)

正確答案：B

解析：因al,a[a2是與基礎解系al,a2等價的線性無關向量組，故

a1,al-a2也是Ax=O的基礎解系,又由(AB1+AB2)=(B+B)=b知(B1+B2)

是Ax=B的一個解，由解的結構即知(B)正確.知識模塊：線性方程組

無窮大量是

正確答案：D

解析：本題四個極限都可以化成的形式，其中n=2,3,故只需討論極限要

選該極限為+8的，僅當n=3并取“+”號時，即.選

D.知識模塊：極限、連續(xù)與求極限的方法

4.設XI,X2,…，Xn相互獨立同分布，每個分布函數(shù)均為F(x),記

X=min(Xl,…，Xn),Y=max(Xl,…，Xn),則(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)當y

>x時在(x,y)處的值為()

A.[F(x)F(y)]n

B.[F(y)]n-[F(y)-F(x)]n

C.[F(y)]n-[F(y)-F(x)F(y)]n.

D.[r(x)]n—[F(x)—F(y)]n.

正確答案：B

解析：r(x,y)=P{XWx,YWy}=P{xW+8,YWy}—P{X>x,YWy}

=P{YWy}—P{X>x,y<y}=P{max(Xl,X2,…，Xn)Wy}-P{min(XLX2,…，

Xn)>x,max(XLX2,…，Xn)Wy}=[F(y)]n—P{Xl>x,…，Xn>x,XlWy,…，

XnWy}=[F(y)]n-P{x<XlWy,x<X2Wy,…，x<Xn<y}=[F(y)]n-P{x<Xl

W),}P{xVX2Wy}…P{x<XnWy}=[F(y)]n—[F(y)-F(x)]n(y>x).知識模

塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

5.二元函數(shù)f(x,丫)=在點(0,0)處

A.連續(xù)，偏導數(shù)存在

B.連續(xù)，偏導數(shù)不存在

C.不連續(xù)，偏導數(shù)存在

D.不連續(xù)，偏導數(shù)不存在

正確答案：C涉及知識點：多元函數(shù)微積分

6.設函數(shù)f(x)與g(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(x)Wg(x),且對任何c￡(0,1)

A..

B..

C..

D..

正確答案：D涉及知識點：一元函數(shù)積分學

7.設f(x)=其中g(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x=0處()

A.極限不存在

B.極限存在，但不連續(xù)

C.連續(xù)，但不可導

D.可導

正確答案：D

解析：=f(0)=0,f(x)在x=0點連續(xù).所以f-5(0)=0.故f+，(0)=0,從而f，(0)

存在，且『(0)=0,應選(D).知識模塊：一元函數(shù)微分學

8.設函數(shù)f(x)=則在點x=0處f(x)().

A.不連續(xù)

B.連續(xù)但不可導

C.可導但導數(shù)不連續(xù)

D.導數(shù)連續(xù)

正確答案：D

解析：因為=f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續(xù)；知識模塊：一元函數(shù)微分學

9.設f(x)連續(xù)，且f，(O)>O,則存在3>；0,使得().

A.f(x)在(0,6)內(nèi)單調(diào)增加

B.f(x)在(-6,0)內(nèi)單調(diào)減少

C.對任意的x￡(-6,0),有f(x)>f(0)

D.對任意的xG(0,6),有f(x)>f(0)

正確答案：D

解析：因為f，(0)=>0,所以由極限的保號性，存在3>0,當0>0,當x?(-

6,0)時，f(x)f(0),應選(D)知識模塊：高等數(shù)學部分

10.已知三階矩陣A與三維非零列向量a,若向量組a,Aa,A2a線性

無關，而A3a=3Aa—2A2a,那么矩陣A屬于特征值入=—3的特征向量是

()

A.a

B.Aa+2a

C.A2a—Aa

D.A2a+2Aa—3a

正確答案：C

解析：由已知A3a+2A2a—3Aa=0,即有(A+3E)(A2a—Aa)=0=O(A2a

—Aa)0因為a,Aa,A2a線性無關，那么必有A2a—AaW0,所以，A2

a—Aa是矩陣A+3E屬于特征值入=0的特征向量，也是矩陣A屬于特征值入=

—3的特征向量，故選C。知識模塊：矩陣的特征值和特征向量

11.設且IAI=m,則IBI=()

A.nio

k

B.-8mo

C.2mo

D.一2mo

正確答案：D

解析：將行列式IA|的第一列加到第二列上，再將第二、三列互換，之后

第一列乘以2就可以得到行列式IB|。由行列式的性質(zhì)知IB|=一2IA1=

一2m。知識模塊：行列式

12.A=E—aTa,B=E+2aTa,其中E為n階單位矩陣，則AB等于

A.0.

B.-E.

C.E.

D.E+aTa.

正確答案：C涉及知識點：矩陣

13.設則B=()

A.PlP3Ao

B.P2P3Ao

C.AP3P2o

D.APlP3o

正確答案：B

解析：矩陣A作兩次初等行變換可得到矩陣B,而AP3P2,AP1P3描述的

是矩陣A作列變換，故應排除。該變換或者把矩陣A第一行的2倍加至第三行

后，再第一、二兩行互換可得到B；或者把矩陣A的第一、二兩行互換后，再

把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者，所以應選B。知

識模塊：矩陣

14.設函數(shù)f(x)=,討論f(x)的間斷點，其結論為()

A.不存在間斷點.

B.x=0是可去間斷點.

C.x=0是跳躍間斷點.

D.x=0是無窮間斷點.

正確答案：D

解析：因為所以x=0是f(x)的無窮間斷點，故應選(D).知識模塊：函數(shù)、

極限、連續(xù)

15.設非齊次線性微分方程y5+P(x)y=Q(x)有兩個不同的解yl(x),y2(x),C

為任意常數(shù)，則該方程的通解是()

A.C[yl(x)-y2(x)].

B.yl(x)+C[yl(x)-y2(x)]

C.C[yl(x)+y2(x)].

D.yl(x)+C[yl(x)+y2(x)].

正確答案：B

解析：由于yl(x)-y2(x)是對應齊次線性微分方程y，+P(x)y=O的非零解，所

以它的通解是Y=C[yl(x)—y2(x)],故原方程的通解為y=yl(x)+Y=yl(x)+C[yl(x)

一y2(x)],故應選

B.知識模塊：常微分方程

16.設al,a2,a3線性無關，Bl可由al,a2,a3線性表示，B2

不可由al,a2,a3線性表示，對任意的常數(shù)卜有().

A.a1,a2,a3,kB1+B2線性無關

B.a1,a2,a3,kB1+B2線性相關

C.a1,a2,a3,Bl+kB2,線性無關

D.a1,a2,…，a3,Bl+kB2線性相關

正確答案：A

解析：因為Bl可由al,a2,a3線性表示，B2不可由al,a2,a3

線性表示，所以kB1+B2一定不可以由向量組a1,a2,a3線性表示，所以

al,a2,a3,kB1+B2線性無關，選(A)知識模塊：線性代數(shù)部分

17.設入1,入2是n階矩陣A的特征值，a1,a2分別是A的對應于入1,

入2的特征向量，則()

A.當入1=入2時，a1,a2對應分量必成比例

B.當入1=入2時，a1,a2對應分量不成比例

C.當入1關入2時，a1,a2對應分量必成比例

D.當入1W入2時，a1,a2對應分量必不成比例

正確答案：D

解析：當入1=入2時，a1與a2可以線性相關也可以線性無關，所以al,

a2可以對應分量成比例，也可以對應分量不成比例，故排除(A),(B).當入1

W入2時，a1,a2一定線性無關，對應分量一定不成比例，故選①).知識模

塊：線性代數(shù)

18.設al,a2,a3是四元非齊次線性方程組AX=b的三個解向量，且

r(A)=3,a1=[1,2,3,4]T,a2+a3=[0,1,2,3]T,k是任意常數(shù),則方程

組AX=b的通解是()

A.

B.

C.

D.

正確答案：C

解析：方程組有齊次解：2al—(a2+a3)=[2,3,4,5]T,故選(C).知

識模塊：線性代數(shù)

19.已知a1是矩陣A屬于特征值入=2的特征向量，a2,a3是矩陣A

屬于特征值入=6的線性無關的特征向量，那么矩陣P不能是()

A.[al,一a2,a3]

B.[al,a2+a3,a2-2a3]

C.[a1,a3,a2]

D.[a1+a2,a1-a2,a3]

正確答案：D

解析：P=[a1,a2,a3],則有AP=PA,即即[Aa1,Aa2,Aa3]=[al

al,a2a2,a3a3].可見ai是矩陣A屬于特征值ai的特征向量(i=l,2,

3),又因矩陣P可逆，因此，al,a2,a3線性無關.若a是屬于特征值

入的特征向量，則一a仍是屬于特征值人的特征向量，故(A)正確.若a,

0是屬于特征值人的特征向量，則kla+k2B仍是屬于特征值人的特征向量.本

題中，a2,a3是屬于入=6的線性無關的特征向量，故a2+a3,a2—2a3

仍是入=6的特征向量，并且a2+a3,a2—2a3線性無關，故(B)正確.關

于(C),因為a2,a3均是入=6的特征向量，所以a2,a3誰在前誰在后均正

確.即(C)正確.由于al,a2是不同特征值的特征向量，因此a1+a2,

al-a2不再是矩陣A的特征向量，故(D)錯誤.知識模塊：線性代數(shù)

20.設A為n階實矩陣，則對線性方程組(I)AX=0和(II)ATAX=0,必有

()

A.(H)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解

B.(11)的解是(1)的解，但(I)的解不是(II)的解

C.(I)的解不是(H)的解，(n)的解也不是(I)的解

D.(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是①的解

正確答案：A

解析：方程AX=0和ATAX=0是同解方程組.知識模塊：線性代數(shù)

21.設A為mXn矩陣，B為nXm矩陣，則

A.當m>n時，必有|AB|W0.

B.當m>n時，必有|AB|=0.

C.當n>m時，必有|AB|W0.

D.當n>m時，必有|AB|=0.

正確答案：C

解析：當m>n時,r(AB)Wr(A)WnVm,注意AB為m階方陣，故|AB|=0.知

識模塊：線性代數(shù)

22.設平面區(qū)域D：lWx2+y2W4,f(x,y)是區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則

等于().

A.2n/12rf(r)dr

B.2n[112rf(r)dr-f01rf(r)dr]

C.2nf12rf(r2)dr

D.2n[/02rf(r2)dr-f01rf(r2)