圓錐曲線復習講義（二級結(jié)論的運用）-學生版-高考數(shù)學二輪復習講義

模塊三:圓錐曲線

曲線種類橢圓雙曲線

222

a,b,c關系a=b+c(a最大)c2=a2+b2(c最大)

焦半徑關系

|Pa|+|PF2|=2a\\PF1\-\PF2\\=2a

離心率§離心率越大，橢圓越扁離心率越大，雙曲線開口越大

2

reb

APF/z面積S=b2tan—s=~e

tan2

焦點位置分母哪個大，焦點在哪個軸分母哪個正，焦點在哪個軸

點差法公式的三種形式（同支或異支都可以）

⑴.45為楠圓的弦，M為弦AB的中點.則有：k-k;D

ABOM1）M為弦48的中點.則有：kAKkOM（見圖3.AB為雙曲線的弦

（2）4,4為橢圓的頂點，A為櫛圓上一點，則有：A"=D2-4—

（3）.45為桶圓過原點的弦.P為橢圓上一點，則有：左4孑心=。3）43過原點，P為雙曲線上一點，則有D

點差法■

其中。的求法:將橢圓方程中的1改為0,變形得V=62

其中。的求法:將雙曲線方程中的1改為0,變形得yI=Dx2

2人2

通徑通過焦點，且垂直于直線&&的焦點弦，為最短焦點弦；長度為等

同支：[c-a,+00)

[a—c,a+c]

異支:[c+a,+00)

焦半徑范圍（P在X軸上）廬工|「尸1|.尸尸2隆02（P在y軸上）

（P在y軸上）62-c2<VF\PF\<b2（P在x軸上）/

【焦點在力軸】p的坐標為(x,y)【焦點在元軸】P的坐標為(x0,y0)

焦半徑公式00

\PF1\=a+ex0,\PF2\=a-ex0\PF1\=|a+ex0|,|PF2|=\a-ex0\

①在左右支,則1①|(zhì)<|&|：②45在同支，則|如|>|弧|

*2尸2

i2

直線位置m2+n2-1當421n2+辟足=C時相切

Ax+By+C=0i

直線AB與雙曲線相切或相離，則有|勺/>|%|（見圖4）

漸近線斜率/橫:±3豎F

焦點到

/b

漸近線距離

^PFF

12（a,0）為其中一個切點

內(nèi)切圓結(jié)論

i---------/---------1-----------------------------Vi+fc2VA

弦長公式2

\AB\-VI+^|X1久2I—+HjOi+%2尸-|D|

（D為聯(lián)立所得方程的二次項系數(shù)）

拋物線的一些希見結(jié)論

7,魚支移力3的衣盛表示（見囹1）

4（1，

①用冗%）,B（X2,力）坐標表示：

對于拋物線y2=2px而言：|=/+外+P=2%o+p,

其中％o為線段48中點的橫坐標

對于拋物線/=2py而言：\AB\=yi+丫2+P=2yo+p,

②用直線43的傾斜角。表示（見圖2）

對于拋物線y2=2p%而言:

AF-AC=GF+FH=p+AFcos6

|明=p;同理\BF\=p

l-cos01+cos0

則\AB\=\AF\+\BF\=^

112

-------1-------=一

\AF\\BF\p

對于拋物線無2—2py而言：同理可得

|/F|=pp

l-sin0\BF\=l+sin3

則網(wǎng)=|4F|+\BF\=T

2.AB是拋物俵y2=2Px這危曼F的夠,AC1I,BD1l,MaCD的中點，4（冗1/1）,3（元2，丫2），則

（1）=-P?,久1久2=彳（2）+=|（3）MF1AB（4）MA1

MB

（5）A,。,。三點共線（6）以48為直徑的圓與1相切

（7）若。A1ABQ4B過定點（2p,0）（見圖2）

3M為她,場假y2=2Px的維俵7一支,M4MB物易趣物餞相切初支,則市見囹切

（1）4B過焦點F（2）2yM=yA+yB

(3)MA1MB（4）MF1AB

圓錐曲線大題訓練

解析幾何常規(guī)處理方法

1,設而不求：運用韋達定理轉(zhuǎn)化是解析幾何解題的主線

2,韋達定理內(nèi)容：若第是方程a/+bx+c=0的兩根，

貝I%]+%2=_*汽1%2=~

3.直線的設法：消y,設y=kx+m.尤其已知直線過y軸上點(0,租)；

消%,設％=A,y+m.尤其已知直線過無軸上點(TH,0).

4.弦長公式：已知,8(%2〃2)

2

(1)設直線ZB:y=kx+TH(消y),則=V1+k\x2—xr\.

2

(2)設直線ZB:y=Ay+TH(消久)，則|AB|=V1+A|y2—%1

2

若%L%2是方程a，+b%+c=0的兩根,則\x2—%il=(△=b—4ac)

注意：任意兩點的距離都可用弦長公式

5.兩根之比的處理方法：若*=A,且％L%2是方程a—+b%+c=0的兩根,

X2-

由立逐=①+包+2可得Q=4+工+2

ac

X1X2%2A

6.直線與圓錐曲線位置關系：

相交=△>0

{相切Q△=0,

相離=△<0

/y2

菠+/-1當42m2+^2兀2=時相切

{Ax+By+C=0

直線與拋物線及雙曲線相交需按二次項系數(shù)為0與不為。分類討論.

7.面積的表示方法：

(1)當坐標軸上的線段為定值時，

以坐標軸上的線段為底作為首選

如圖(1)中，當[F圖為定值時

1

SAABE~—S、BEF=]|EF|1X4—7B\

如圖⑵中，當|FE|為定值時

1

SQABE=S"EF+SRBEF=2|EF||yyi—7BI

（2）當坐標軸上的線段不為定值，宜將弦長作為底來表示面積

8.直線和曲線過定點問題：把直線或曲線方程中的變量x,y當作常數(shù)看待，把方程一端化

為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等

于零，這樣就得到一個關于％,y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所

過的定點，或者可以通過特例探求，再用一般化方法證明.

【?？碱}型剖析】

題型一：利用橢圓的定義求方程

1.（2021?全國高二課時練習）已知橢圓C上任意一點PQ,y）都滿足關系式

J（x—1萬+*+收+1萬+y2=4,則橢圓C的標準方程為（）

??772

A.-+^=1B.匕+匕=1C.2+匕=1D.2v=1

34431615

2.（2020?深圳實驗學校高二月考）在A4BC中，點4（一2,0）、點8（2,0）,且叫是

和|BC|的等差中項，則點C的軌跡方程是

題型二：根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)問題

22

3.（2021?全國高二課時練習）已知方程工+-=1表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是

22

4.（2021?全國高二）已知方程二+匚=1表示曲線C,則（）

4-tt—1

A.當l<t<4時，曲線C一定是橢圓

B.當t>4或t<l時，曲線C一定是雙曲線

C.若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則l<t<|

D.若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，貝盤>4

4.【多選題】（2020?海南?高考真題）已知曲線C:.+九y2=1（）

A.若7H>72>0,則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若租=九>0,則C是圓，其半徑為返

C.若nm<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為曠=土久

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

題型三：求橢圓的標準方程

5.求符合下列條件的橢圓的標準方程：

（1）（過兩點）過點（磬，百）和（竽，1）

（2）（共焦點）過點（-3,2）且與橢圓一+—=1有相同的焦點.

94

（3）已知焦點在x軸上的橢圓過點（魚,1）,且離心率與橢圓次+片=1相同.

84

題型四：橢圓的定義及其應用

☆考查知識點：IPF/lPFzl的范圍

6.（2021?全國高考真題）已知6，尸2是橢圓C:?+?=1的兩個焦點，點M在C上，則

,IMF2］的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

7.（2021?全國）已知橢圓C：9+?=1的右焦點為F,P為橢圓C上一動點，定點

4（2,4）,則|P*一|PF|的最小值為（）

A.1B.-1C.V17D.-V17

X2V2

8.已知橢圓商+w=1上一點P的橫坐標為2,F是橢圓的右焦點，則點P到點F的距離

為（）

83317

A.5B.C.D.

555

題型四：焦點三角形面積

22

9.（2023?全國?高三專題練習）已知P是橢圓會+卷=1上的點，取、尸2分別是橢圓的

PRPF2

左、右焦點，若g,則△耳「￡的面積為（)

A.3A/3B.973C.73D.9

題型五：存在性問題

10.【多選題】（2023?全國?高三專題練習）點&,尸2為橢圓C的兩個焦點，若橢圓C上存

在點P,使得尸鳥=90°,則橢圓C方程可以是（）

A.B.

2592516

CD.工+匚1

189169

題型六：點差法

22

11.（2022?全國?高考真題（理））橢圓C.?京+a=l（a>6>0）的左頂點為4,點

P,Q均在C上，且關于y軸對稱.若直線AP,A2的斜率之積為：，則C的離心率為

（）

12.（2022?全國?高三專題練習）橢圓?亍2+y2=1,則該橢圓所有斜率為1綱弦的中點的

軌跡方程為.

22

12.（2022?全國高三專題練習）已知橢圓C；京+a=l（a>6>0）的長軸長為4,若點

P是橢圓C上任意一點，過原點的直線/與橢圓相交于M、N兩點，記直線PM、PN的斜

-1

率分別為KPM，KPN,當KPM?KPN=—；時，則橢圓方程為（)

4

v1222-.2-,2-.2丫2

A.乙+匕=1B.±+匕=1c./+匕=1D.——I-y2=1

1644244/

題型七：離心率的計算

13.（2022?四川成都?高三期末（理））已知橢圓C.?捺+3=l（a>6>0）的的左，右

焦點分別為6、尸2，以坐標原點。為圓心，線段月耳為直徑的圓與橢圓C在第一象限相

交于點4.若|A周42仙區(qū)|,則橢圓C的離心率的取值范圍為.

22

14.（2021?全國高二課時練習）設橢圓C；京+翥=l（a>6〉0）的焦點為&尸2，P是橢

圓上一點，且N&PF2=g,若AfiPB的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r,當氏=

4r時，橢圓的離心率為.

2

15.（2021?全國高二期中）橢圓。：二+丫2=1的左、右焦點分別為兒尸2，。為坐標原點,

4

則以下說法正確的是（）

A.過點尸2的直線與橢圓。交于a,B兩點，則△力BF1的周長為8

B.橢圓C上存在點P,使得麗?電=0

c.橢圓r的離心率為3

D.P為橢圓C上一點，Q為圓％2+y2=1上一點，則點p,Q的最大距離為3

22

16.（2021?全國高二單元測試）已知雙曲線C；京—3=l（a>b>0）,4,4是其左、

右頂點，理?2是其左、右焦點，P是雙曲線上異于4的任意一點，下列結(jié)論正確

的是（）

A.||P6|—|P4||=2a

B.直線P4,P4的斜率之積等于定值與

a2

C.使得APF1F2為等腰三角形的點尸有且僅有8個

,,匕2

D.△尸F(xiàn)］尸2的面積為tadAiP而

17.（2022?全國?高考真題（理））若雙曲線/—，=1（爪>0）的漸近線與圓久2+y2_

4%+3=0相切，則m.

22

18.（2019?全國?高考真題（理））已知雙曲線C;j一勺=l（a>b>0）的左、右焦點

a2爐

分別為心,尸2，過&的直線與c的兩條漸近線分別交于a,B兩點.若4A=AB,

耳B招8=0,則C的離心率為.

題型一：拋物線的簡單性質(zhì)（頂點、焦點）

19.（2020?全國高二）對拋物線，y=工/下列描述正確的是（）

A.開口向上，焦點為（0,2）B.開口向上，焦點為（0,點）

1

C.開口向右，焦點為（2,0）D.開口向右，焦點為（5，0）

20.（2021?全國高二（文））點M（5,3）到拋物線丫=a/的準線的距離為6,那么拋物線

的標準方程是.

題型二：拋物線的弦長問題

21.（2021?河北運河?滄州市一中高二開學考試）已知直線曠=做%—2）（k>0）與拋物

線C:*=8比相交于2,B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點.若［4尸|=6,則|AB|等于（）

A.7B.8C.9D.10

22.（2021?富寧縣第一中學高二月考（文））已知拋物線*=2px（p>0）第一象限內(nèi)一

點M到焦點F的距離等于2p,則直線MF的斜率為（）

A.-\/3B.t］C.+V3D.土日

23.（2020?江蘇高二課前預習）已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為無=-1,

過其焦點F的直線1與拋物線C交于4,B兩點,若直線/的斜率為1,則弦48的長為

()

A.4B.6C.7D.8

24.（2021?陜西漢中?高二期末（文））已知拋物線產(chǎn)=2px（p>0）的焦點為F,.0

過F的直線I交拋物線于2,B兩點,且看:=2而，則I的斜率為（）

A.±1B.+V2C.+—D.+2V2

——4

25.（2021?河北）已知點F為拋物線C:>2=4%的焦點，過點尸的直［線交拋物線C于2,8

兩點，且而=1麗（1>1）|AB|=￡,則t=（）

A.2B.3C.4D.5

26.（2023?全國?高三專題練習）已知以F為焦點的拋物線f=4x上的兩點A,B滿足

XF=AFB（j<A<3）,則弦48的中點到C的準線的距離的最大值是（）

題型三：直線與拋物線的位置關系

27.（2021?全國高