專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（4大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯題（新高考專用）（原卷版）

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用易錯點一：忽略切點所在位置及求導(dǎo)簡化形式（導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用）一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1．概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2．幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3．物理意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．二、導(dǎo)數(shù)的運算1．求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2．導(dǎo)數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：應(yīng)用1．在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．應(yīng)用2．過點的切線方程設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．易錯提醒：1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo)．注意以下幾點：連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：（1）函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標(biāo)．（2）切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點．（3）曲線“在”點處的切線與“過”點的切線的區(qū)別：曲線在點處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過點的切線，是指切線經(jīng)過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．4．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）謹(jǐn)記切點既在切線上又在曲線上．例．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若，都有，求的取值范圍．變式1．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.變式2．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求過原點且與的圖象相切的直線方程；(2)若有兩個不同的零點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式3．．已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若對，恒成立．求實數(shù)的取值范圍．1．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若曲線存在與直線垂直的切線，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．過點作曲線的切線有且只有兩條，切點分別為，，則（

）A． B．1 C． D．4．曲線在點處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在處的切線方程為 B．函數(shù)有兩個零點C．函數(shù)的極大值點在區(qū)間內(nèi) D．函數(shù)在上單調(diào)遞減6．已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于原點中心對稱B．在區(qū)間上的最小值為C．過點有且僅有1條直線與曲線相切D．若過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是8．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，若對任意實數(shù)，恒成立，求的取值范圍.9．已知函數(shù)，且，．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，，，討論函數(shù)的零點個數(shù)．10．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.11．已知，函數(shù)，．(1)當(dāng)時，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點的坐標(biāo)；(2)若與有相同的最小值，求實數(shù)a．易錯點二：轉(zhuǎn)化為恒成立后參變分離變號的前提條件（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：確定函數(shù)的定義域；第二步：求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；第三步：把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標(biāo)和的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；第四步：確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.注意①使的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處均為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因為，即或，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.技巧：1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路第一步：由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(減)可知()在區(qū)間上恒成立列出不等式；第二步：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；第三步：對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使在整個區(qū)間恒等于0，若恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點處有，則參數(shù)可取這個值．易錯提醒：一：研究單調(diào)性問題1．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2．已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分)；（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；（5）正負(fù)未知看零點(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點)；（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分)；（3）恒正恒負(fù)先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間。例．已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)若，討論在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，且在內(nèi)有唯一的極大值，求實數(shù)的取值范圍．變式1．已知函數(shù)．(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)若有兩個不同的極值點（），求證：．變式2．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的取值范圍．變式3．設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若正數(shù)，滿足，證明：.1．若方程在上有實根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．6．已知是定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，，，則下列說法正確的是（

）A．B．（為自然對數(shù)的底數(shù)，）C．存在，D．若，則7．設(shè)，若，，，下列說法正確的是（

）A． B．無極值點 C．的對稱中心是 D．8．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．若是增函數(shù)，則D．若和的零點總數(shù)大于2，則這些零點之和大于59．已知函數(shù)且．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．10．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．(2)若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．11．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若存在極小值點，且，求的取值范圍．易錯點三：誤判最值與極值所在位置（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值）1．函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟第一步：先確定函數(shù)的定義域；第二步：求導(dǎo)數(shù)；第三步：求方程的根；第四步：檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．2．函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：第一步：求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；第二步：將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．技巧：1．由圖象判斷函數(shù)的極值，要抓住兩點：（1）由的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)的可能極值點；（2）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點．2．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：（1）根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）因為導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗．3．求函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值的思路（1）若所給的閉區(qū)間不含有參數(shù)，則只需對函數(shù)求導(dǎo)，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．（2）若所給的閉區(qū)間含有參數(shù)，則需對函數(shù)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．結(jié)論：1、若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；2、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．3、若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；4、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解5、對于任意的，總存在，使得；6、對于任意的，總存在，使得；7、若存在，對于任意的，使得；8、若存在，對于任意的，使得；9、對于任意的，使得；10、對于任意的，使得；11、若存在，總存在，使得12、若存在，總存在，使得易錯提醒：（1）①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點．（2）①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.例．已知函數(shù)存在兩個極值點，且.(1)求的取值范圍；(2)若，求的最小值.變式1．已知函數(shù)，其中．(1)若是函數(shù)的極值點，求a的值；(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．變式2．若函數(shù)，為函數(shù)的極值點.(1)求的值；(2)求函數(shù)的極值.變式3．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若有兩個極值點，求證：.1．已知函數(shù)，在有且只有一個極值點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知是函數(shù)的一個極值點，則的取值集合為（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無極值點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．0是的極值點C．在上有且僅有1個零點 D．的值域是6．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的極值點為，函數(shù)的最大值為，則（

）A． B． C． D．8．當(dāng)時，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（

）A．8 B．12 C．16 D．329．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，求在上的最小值；(3)若在上存在零點，求的取值范圍.10．已知函數(shù).(1)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值；(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.11．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的值；(2)求在上的值域.易錯點四：零點不易求時忽略設(shè)零點建等式（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題）1．判斷函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間上是否存在零點，主要利用函數(shù)零點的存在性定理進(jìn)行判斷．首先看函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有．若有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點．2．判斷函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)時，常用以下方法：（1）解方程：當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷；（3）通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸交點的個數(shù)來判斷．3．已知函數(shù)有零點（方程有根），求參數(shù)的取值范圍常用的方法：方法1：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．方法2：分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．方法3：數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解．4．解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟第一步：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；第二步：建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的意義．技巧：判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：方法1：利用零點存在性定理判斷法；方法2：代數(shù)法：求方程的實數(shù)根；方法3：幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，