數(shù)學（新高考專用2024新題型）02金卷：2024年高考第二次模擬考試（全解全析）

2024年高考第二次模擬考試高三數(shù)學全解全析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，然后再逐個分析判斷即可.【詳解】由，得，解得或，所以或，因為，所以，對于A，因為，所以，所以A錯誤，對于B，因為或，，所以，所以B正確，對于C，因為，所以C錯誤，對于D，因為或，所以，因，所以，所以D錯誤，故選：B2.已知，是關于x的方程的兩個根.若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由，是關于x的方程的兩個根，由韋達定理求出，再由復數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】法一：由，是關于x的方程的兩個根，得，所以，所以.法二：由，是關于x的方程的兩個根，得，所以，所以.故選：C.3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點D在線段BC上，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)確定，從而可得，從而用向量數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】設等腰△ABC在邊上的高為，因為，所以，所以,所以，所以.故選:B.4.已知向量，，則是向量，夾角為鈍角的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.必要不充分條件 D.充分不必要條件【答案】C【解析】【分析】若向量，夾角為鈍角，則滿足，求出的范圍，然后驗證充分性與必要性.【詳解】又因為向量，夾角為鈍角所以滿足所以且因為推不出且，所以充分性不成立又因為且能推出，所以必要性成立所以是向量，夾角為鈍角的必要不充分條件故選：C5.一般地，聲音大小用聲強級（單位：dB）表示，其計算公式為：，其中I為聲強，單位，若某種物體發(fā)出的聲強為，其聲強級約為（）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將聲強代入中，結合對數(shù)的運算化簡求值，可得答案.【詳解】由已知得().故選：A．6.“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚州瘦西湖”這6個景點中隨機選擇1個景點游玩.記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件B為“兩位游客選擇的景點不同”，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)古典概型概率公式求出，然后利用條件概率公式即得.【詳解】由題可得，,所以.故選D.7.已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)零點的定義，列不等式組結合整數(shù)限制條件即可求解.【詳解】令，則，解得或，即或，因函數(shù)在上恰有3個零點，所以，第一個不等式組解得，第二個不等式組解得所以所求取值范圍為.故選：D.8.已知雙曲線的左右焦點分別為、，過的直線與曲線的左右兩支分別交于點，且，則曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，進而結合雙曲線的定義得，，，，進而在，結合余弦定理求得，進而得，再求離心率即可.【詳解】解：如圖，設，因為,所以，由雙曲線的定義得：，所以，，，，，所以，在中，，在中，因為，所以，即，所以故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.為慶祝江西籍航天員鄧清明順利從太空返航，鄧清明家鄉(xiāng)的某所中學舉辦了一場“我愛星辰大海”航天知識競賽，滿分100分，該校高一（1）班代表隊6位參賽學生的成績（單位：分）分別為：84，100，91，95，95，98，則關于這6位參賽學生的成績.下列說法正確的是（）A．眾數(shù)為95 B．中位數(shù)為93C．平均成績超過93分 D．第分位數(shù)是91【答案】ACD【分析】根據(jù)題意將成績排序，結合眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)相關知識求解即可.【詳解】將成績按從小到大的順序排序為：，對于A，95出現(xiàn)兩次，其他數(shù)據(jù)只出現(xiàn)一次，所以眾數(shù)為95，故A正確；對于B，中位數(shù)為第3,4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為，故B錯誤；對于C，平均數(shù)為，故C正確；對于D，，所以第分位數(shù)是第二個數(shù)，為91，故D正確.故選：ACD10.數(shù)列的通項為，它的前項和為，前項積為，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.當或者時，有最大值C.當或者時，有最大值 D.和都沒有最小值【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項得出數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的特征分別對每個選項進行分析即可求解.【詳解】因為數(shù)列的通項為，則，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，因為公差，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故選項正確；因為，當時，；當時，，因為，所以當或者時，有最大值，故選項正確；由可知：，，，所以當或者時，有最大值，故選項正確；根據(jù)數(shù)列前30項為正數(shù)，從第31項開始為負數(shù)可知：無最小值，因為，當時，，但零乘任何數(shù)仍得零，所以有最小值，故選項錯誤，故選：.11.設為拋物線的焦點，點在上且在軸上方，點，，若，則（）A.拋物線的方程為B.點到軸的距離為8C.直線與拋物線相切D.三點在同一條直線上【答案】ACD【解析】【分析】由，先求設點坐標，得拋物線方程，再驗證每個選項.【詳解】拋物線的焦點，由，有，解得，所以拋物線的方程為，A選項正確；，點在拋物線上且在軸上方，到焦點距離為8，到準線距離也為8，所以點到軸的距離為6，B選項錯誤；點在拋物線上且在軸上方，到軸的距離為6，有點橫坐標為6，代入拋物線方程，可得，則直線的方程為，由消去得，，所以直線與拋物線相切，C選項正確；由，，，得，則三點在同一條直線上，D選項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線與圓交于兩點，則__________；若P是圓C上的一點，則面積的最大值是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）先求圓心到直線的距離，然后結合垂徑定理算出弦長即可；（2）結合上一空，三角形底邊長一定，求出圓上一點到直線的距離的最大值，即可得到三角形面積的最大值．【詳解】由題意可知圓的圓心坐標為，半徑，則圓心到直線的距離，故；因為是圓上的一點，所以點到直線距離的最大值為，所以面積的最大值是．故答案為：；．13.《九章算術》是《算經十書》中最重要的一部，全書總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，內容十分豐富，在數(shù)學史上有其獨到的成就．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，幾何體P－ABCD為一個陽馬，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，則幾何體EFGABCD的外接球表面積為______．【答案】【解析】【分析】判斷出幾何體外接球球心的位置，求得外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.【詳解】設，連接.依題意，四邊形是矩形，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，由于，平面，所以面，由于平面，所以.同理可證得，由于，所以都是以為斜邊的直角三角形，所以幾何體外接球球心是，且半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：14.已知的三個內角所對的邊分別為，且，則面積的最大值是________；若分別為的內切圓和外接圓半徑，則的范圍為_________________．【答案】①.；②..【解析】【分析】對于第一空，利用余弦定理表示出，再表示出，再利用可得答案；對于第二空，利用可得答案.【詳解】因在三角形中，則由三角形三邊關系可得，又利用余弦定理有：，又，則.得，當且僅當，即時取等號.則面積的最大值是；對于第二空，因，則，又，則，因，則.令，其中，因，則在上單調遞增，故，得.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖，三棱柱的側棱長為，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是的中點，．（1）求證：側面是矩形；（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，證明平面,根據(jù)線面垂直的性質定理證明，結合三棱柱性質，可證明結論；（2）取中點O，連接，證明⊥平面，即可建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求得平面的法向量，根據(jù)線面角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】由題意是的中點，連接，由已知為等邊三角形，所以．由已知,平面,所以平面又平面ADE，故，因為，所以，又側面為平行四邊形，所以側面是矩形.............................................6分【小問2詳解】取中點O，連接，由已知得，底面是邊長為2的等邊三角形，則，因為，E為的中點，所以，是等邊三角形．故，由（1）知平面，平面,所以是，平面,所以⊥平面．.............................................9分以O為原點，過點O作的平行線作為x軸，以所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系，如上圖，故，所以，設平面的法向量為，則，故，取，則，.............................................10分設直線與平面所成角為，則，故，所以直線與平面所成角的余弦值為..............................................13分16．（15分）已知，為橢圓：的左、右焦點.點為橢圓上一點，當取最大值時，.（1）求橢圓的方程；（2）點為直線上一點（且不在軸上），過點作橢圓的兩條切線，，切點分別為，，點關于軸的對稱點為，連接交軸于點.設，的面積分別為，，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由已知結合橢圓定義，可求與的倍數(shù)關系，結合向量相關條件以及橢圓中，即可求得與，也就得出橢圓方程.(2)利用過橢圓一點的切線方程的推導過程，得出切線方程，進而得出直線的定點坐標，然后解設的方程，并與橢圓聯(lián)立，然后利用韋達定理化簡整理出點的坐標，由此求出的關系式，利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】依題意有當為橢圓短軸端點時最大，此時，則為正三角形，則.............................................3分且，又，，，故橢圓方程為..............................................5分【小問2詳解】設，，，若，則切線方程為，若，則在處的切線的斜率必定存在，.............................................7分設該切線的方程為，由可得，整理得，.............................................8分故，整理得到：，故，故切線方程為：，故：，綜上，：，同理：.............................................9分因，都過點，則，則方程為，即過定點.故設方程為，，聯(lián)立，，，又.............................................11分直線方程為：，令得，.............................................13分當且僅當即，時取等號故最大值為..............................................15分17．（15分）現(xiàn)有一種射擊訓練，每次訓練都是由高射炮向目標飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物與否相互獨立．已知射擊訓練有A，B兩種型號的炮彈，對于A型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物的概率均為p（），且擊中一彈目標飛行物墜毀的概率為0.6，擊中兩彈目標飛行物必墜段；對子B型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物的概率均為q（），且擊中一彈目標飛行物墜毀的概率為0.4，擊中兩彈目標飛行物墜毀的概率為0.8，擊中三彈目標飛行物必墜毀．（1）在一次訓練中，使用B型號炮彈，求q滿足什么條件時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標飛行物的概率不低于；（2）若，試判斷在一次訓練中選用A型號炮彈還是B型號炮彈使得目標飛行物墜毀的概率更大？并說明理由．【答案】（1）（2）使用B型號炮彈，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用間接法與二項分布的概率公式得到關于的不等式，解之即可；（2）先利用二項分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標飛行物的概率，再利用作差法與構造函數(shù)法，結合導數(shù)比較得兩概率的大小，從而得到結論.【小問1詳解】因為每次訓練都是由高射炮向目標飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標飛行物與否相互獨立，所以在一次訓練中，連發(fā)三發(fā)B型號炮彈，用表示命中目標飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項分布），則，.............................................4分即，則，即，則，又，故，所以當時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標飛行物的概率不低于..............................................6分【小問2詳解】在一次訓練中，連發(fā)三發(fā)A型號炮彈，用表示命中目標飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項分布），，記事件為“使用A型號炮彈使得目標飛行物墜毀”，事件為“使用B型號炮彈使得目標飛行物墜毀”，則，.............................................8分，因為，所以，則，.............................................10分令，則，令，即，則，得，又，所以恒成立，.............................................13分所以在上單調遞增，又，則，故，即，所以使用B型號炮彈使得目標飛行物墜毀的概率更大..............................................15分【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵點有兩次，一次是理解A、B型炮彈擊中飛行物的次數(shù)服從二項分布，進而利用二項分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標飛行物的概率；二次是利用導數(shù)比較兩者概率的大小.18．（17分）已知函數(shù).（1）若，求實數(shù)的取值范圍.（2）求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得，進而得出，利用不等式的性質及構造函數(shù)，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解；（2）根據(jù)（1）的結論及已知條件，只需證當時，成立即可，轉化成求函數(shù)的最值，利用不等式的性質構造函數(shù)及法求函數(shù)的最值即可求解.【小問1詳解】因為，則，即，反之當時，，.............................................4分令，則，設，由于在單調遞增，且，所以當時，，即，當時，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，即，所以..............................................9分【小問2詳解】由（1）可知：①下面證明當時，②等價于，設，.............................................4分當時，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減,所以，所以②式成立，由①?②可得：，當時取到“”，取有，，所以，不等式成立..............................................17分【點睛】解決此題的關鍵第一問根據(jù)條件得出，進而構造函數(shù)，將恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可，第二問的關鍵根據(jù)第一問得，進而問題轉化為只需證當時，即可，不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值，轉而構造函數(shù)利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可.19．（17分）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).