高考數(shù)學(xué)新增分大一輪新高考（魯京津瓊）專用講義 第二章 冪函數(shù)與二次函數(shù)

幕函數(shù)與二次函數(shù)

【最新考綱】1.通過實(shí)例，了解基函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,>=x3,丁=丄，y=/

X

的圖象，了解它們的變化情況3理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì).4.能用二次函數(shù)、

方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題.

1.上函數(shù)

(1)基函數(shù)的定義

一般地，形如目^的函數(shù)稱為基函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

(2)常見的五種幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較

1

函數(shù)y=xy=x2y=x3y=/y=x~l

*書傘

圖象JL

O\X

定義域RRR—0)

值域R—R△廿05

奇偶性査函數(shù)值函數(shù)査函數(shù)非奇非偶函數(shù)査函數(shù)

性在(-8,0]

在(一8,0)

質(zhì)在R上單上單調(diào)遞減；在R上單調(diào)在「0,+8)上單

單調(diào)性和(0,+8)

調(diào)遞增在(0,十8)遞增調(diào)遞增

上單調(diào)遞減

上單調(diào)遞增

公共點(diǎn)(1.1)

2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

解析式危)=ax2+hx+c(a>0)j(x)=ax2+hx+c(a<0)

小

圖象

a/

定義域RR

44c—b2.]|4ac-b2

值域----------,+001I8,

L4aJI4aJ

-oo.....-在xw〔一8'—此上單調(diào)遞增；

在2aJ上單調(diào)遞減；

單調(diào)性

~2a,+T上單調(diào)遞增———,十°°"1

在在工￡2aJ上單調(diào)遞減

函數(shù)的圖象關(guān)于直線'=一招稱

對(duì)稱性

【概念方法微思考】

1.二次函數(shù)的解析式有哪些常用形式？

提示(1)一般式：y=ax2+bx+c(a^0)；

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x—m)2+〃(〃W0)；

(3)零點(diǎn)式：y=a(x-x\)(x-X2)(a0).

2.已知y(x)=ox2+bx+c(aW0),寫出/(x)20恒成立的條件.

提示Q>0且/WO.

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(“W0),x^[a,6]的最值一定是他^—―.(X)

4。

(2)在>=ax2+bx+cmW0)中，〃決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大

小.(丿)

丄

(3)函數(shù)歹=215是尋函數(shù).(X)

(4)如果基函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).(V)

(5)當(dāng)〃<0時(shí)，幕函數(shù)y=x"是定義域上的減函數(shù).(X)

題組二教材改編

2.已知基函數(shù)段)=人啲圖象過點(diǎn)b￥1則A+a等于()

13

A?丄B.1C.-D.2

22

答案C

k=1,

解析由暴函數(shù)的定義，知'也

?**k=1*a=—.；?%+a=~~.

22

3.已知函數(shù)以)=7+4方在區(qū)間(一8,6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()

A.B.aW3

C.a<—3D.aW—3

答案D

解析函數(shù)_/(x)=x2+4ax的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是x=-2a,由函數(shù)在區(qū)間

(-8,6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(-8,6)應(yīng)在直線X=-2〃的左側(cè)，

，一2Q26,解得aW—3,故選D.

題組三易錯(cuò)自糾

4.幕函數(shù)兀0=x"J°"23(°e%)為偶函數(shù),且人均在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，則。等于()

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析因?yàn)閷右籡0〃+23=(a—5)2—2,

大苫)=公“-5)2-23e2)為偶函數(shù)，

且在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，

所以(a—5)2—2<0,從而“=4,5,6,

又僅一5>—2為偶數(shù)，所以只能是。=5,故選C.

5.己知函數(shù)y=2x2—6X+3,XG[-1,I],則y的最小值是.

答案一1

解析函數(shù)y=2%2—6x+3的圖象的對(duì)稱軸為x=|>l,...函數(shù)y=2x2—6x+3在[-1,1]上單

調(diào)遞減，

???ymin=2—6+3=—1.

6.設(shè)二次函數(shù);(x)=x2-x+“(a>0),若貝加)<0,則加H-1)0.(填“〉”或“=”)

答案>

解析")=X2—x+a圖象的對(duì)稱軸為直線x=J且沢1)>0,川)>0,而貝加)<0,

/./w—1<0,:.f[m—1)>0.

題型一募函數(shù)的圖象和性質(zhì)-------自主演練

1.若累函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P'3,則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(0,+8)B.[0,+8)

C.(—8,4-00)D.(—8,0)

答案D

解析設(shè)｛x)=K,則2。=丄，a=-2,即負(fù)x)=/2,它是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,

4

0).故選D.

2.若四個(gè)基函數(shù)歹=犬，y=xh,y=xc,>=/在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則。，b,c,

d的大小關(guān)系是()

A.d>c>b>a

B.a>h>c>d

C.d>c>a>b

D.a>h>d>c

答案B

解析由早函數(shù)的圖象可知，在(0,1)上號(hào)函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖知

a>b>c>d,故選B.

3.己知幕函數(shù)兀0=(〃2+2〃-2)x"2T”(〃ez)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0,+8)上是減函

數(shù)，則〃的值為()

A.-3B.1C.2D.1或2

答案B

解析由于/(x)為嘉函數(shù)，所以居+2〃-2=1,解得〃=1或"=-3,經(jīng)檢驗(yàn)只有〃=1符合

題意，故選B.

4.(2018?濰坊模擬)若(a+1)5<(3-2a)"則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(一8,-i)ub'3

解析不等式(a+1)3<(3—2a)等價(jià)于〃+1>3—2。>0或3—2a〈a+1<0或a+1<0<3—

2a,解得1或1<4弓

思維升華(1)幕函數(shù)的形式是y=x?(aeR),其中只有一個(gè)參數(shù)a,因此只需一個(gè)條件即可

確定其解析式.

⑵在區(qū)間(0,1)上，寐函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間

(1,+8)上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離X軸.

(3)在比較賽值的大小時(shí)，必須結(jié)合瓶值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，

準(zhǔn)確掌握各個(gè)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型二求二次函數(shù)的解析式-------師生共研

例1(1)已知二次函數(shù)｛x)=x2—bx+c滿足貝0)=3,對(duì)VxCR,都有貝l+x)=/(l-x)成立,

則兀0的解析式為.

答案X%)=x2—2x+3

解析由負(fù)0)=3,得c=3,

又<l+x)=/(l—x),

函數(shù)人X)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，

1,:.b=2,

2

—x2—2x+3.

⑵已知二次函數(shù)外)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(一2,0)且有最小值一1,則貝x)=

答案x2+2x

解析設(shè)函數(shù)的解析式為_/(x)=“x(;v+2)(a#0),

4aX0-4a2

所以兀r)=”無2+2辦,1,

得a=l,所以/)=/+2》.

思維升華求二次函數(shù)解析式的方法

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知二次函數(shù)/(x)=a/+6x+13，bGR,aWO),x￡R,若函數(shù)/(x)的最小

值為沢-1)=0，則40=.

答案x2+2x+l

解析設(shè)函數(shù)7(x)的解析式為/(x)=a(x+l)2—ax2+2ax+a(a^0),

又貝x)=ax2+Z>x+1,所以a=l,

故7(x)=x2+2x+1.

(2)已知二次函數(shù)次x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意xGR,

都有人2—x)=/(2+x),則火刈=.

答案x2-4x+3

解析因?yàn)?(2-x)=/(2+x)對(duì)任意xGR恒成立，所以貝x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2.又因?yàn)?/p>

/(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,所以貝》)=0的兩根為1和3.設(shè)兀0的解析式為寅x)=a(x

-l)(x-3)(a^0),又/(x)的圖象過點(diǎn)(4,3),所以3a=3,即a=l,所以/(x)的解析式為/(x)

—(x—l)(x—3),即Hx)=x2_4r+3.

題型三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象

例2(2018?重慶五中模擬)一次函數(shù)夕=奴+6(。=0)與二次函數(shù)、=収2+以+<?在同一■坐標(biāo)

系中的圖象大致是()

答案C

解析若”>0,則一次函數(shù)y=ax+/>為增函數(shù)，二次函數(shù)y=ox2+bx+c的圖象開口向上，

故可排除A；若a<0,一次函數(shù)〉="+6為減函數(shù)，二次函數(shù)y=ar2+bx+c的圖象開口向

下，故可排除D；對(duì)于選項(xiàng)B,看直線可知。>0,b>0,從而一(Y0,而二次函數(shù)的對(duì)稱軸

在y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除B,選C

命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性

例3函數(shù)Hx)="2+(a—3)x+l在區(qū)間[-1,+8)上是遞減的，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.[-3,0)B.(一8,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

答案D

解析當(dāng)a=0時(shí)，外)=-3x+l在［―1,+8)上單調(diào)遞減，滿足題意.

當(dāng)“W0時(shí)，/(x)的對(duì)稱軸為X=^-,

2a

p<0,

由Hx)在［―1,+8)上單調(diào)遞減，知上-"..］

I2a、'

解得一3Wa<0.綜上，。的取值范圍為［-3,0］.

引申探究

若函數(shù)人工)=#+(4—3)x+l的單調(diào)減區(qū)間是［-1,+<?),則。=.

答案一3

解析由題意知貝x)必為二次函數(shù)且a<0,

命題點(diǎn)3二次函數(shù)的最值

例4已知函數(shù)人幻=収2+2公+1在區(qū)間上有最大值4,求實(shí)數(shù)a的值.

解fix)—a{x-\-1)2+1-a.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)段)在區(qū)間［-1,2］上的值為常數(shù)1,不符合題意，舍去；

⑵當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間［-1,2］上是增函數(shù)，最大值為負(fù)2)=8a+l=4,解得。=?；

(3)當(dāng)"0時(shí)，函數(shù);(x)在區(qū)間［-1,2］上是減函數(shù)，最大值為4-1)=1一。=4,解得。=一3.

綜上可知，。的值為3或-3.

8

引申探究

將本例改為：求函數(shù)?r)=x2+2ax+l在區(qū)間|-1,2］上的最大值.

解y(x)=(x+a)2+1—~a2,

?\/(x)的圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=-a.

(1)當(dāng)一。苫即。>一；時(shí)，貝X)max=/(2)=4Q+5,

(2)當(dāng)一即aW—3時(shí)，1/(x)max=X—1)=2—2a,

4a+5,

綜上，?X)max='

2-2a,

命題點(diǎn)4二次函數(shù)中的恒成立問題

例5(1)已知二次函數(shù)?r)滿足貝x+l)-/(x)=2x,且{0)=1,若不等式./(x)>2x+m在區(qū)間［一

1,1］上恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

答案(-8,-1)

解析設(shè)貝x)=ax2+bx+c(ar0),由負(fù)0)=1,得c=l,又貝》+1)—危)=2%,得2ax+a+b

=2x,所以a=l,b=—\,所以貝x)=N—》+1?0>2工+"7在區(qū)間［-1,1］上恒成立，即x2一

M5

3x+1—加>0在［―1,1］上怛成立，令g(x)=x2—3x+1—用=1”2—1一m，XE.［―1,1］,g(x)

在［-1,1］上單調(diào)遞減，所以g(x)min—g(1)=1—3+1—W>0,所以m<—\.

⑵函數(shù)兀0=0+3^—2(公>1),若在區(qū)間［-L1］上｛x)<8恒成立，則〃的最大值為.

答案2

n-

解析令ax=t,因?yàn)閍>\,xe［—1,1］,所以丄原函數(shù)化為g(Z)=/2+3/—2,_a

a

1"

顯然g⑺在L?”」上單調(diào)遞增，所以外方8恒成立，即8(。^=以。方8恒成立，所以有序

+3。-2W8,解得一5WaW2,又。>1,所以。的最大值為2.

思維升華解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時(shí)要注意：

(1)拋物線的開口，對(duì)稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論；

(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草

圖)，再"定量"(看圖求解).

(3)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵

解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值

域.

跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)y=x2+bx+c(xd［(),+8))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()

A.后0B.6W0

C.b>0D.b<0

答案A

解析???函數(shù)y=x2+6x+c(xC［0,+8))是單調(diào)函數(shù)，圖象的對(duì)稱軸x=一，在區(qū)間［0,

+8)的左邊或?——=0,即一eW0,得bNO.

22

(2)已知函數(shù)J(x)=x2-2ax+2a+4的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+°°),則。的值為.

答案一1或3

解析由于函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?,+°°),

所以/(x)min=1.又於)=(%—a)2—〃2+2a+4,

當(dāng)x￡R時(shí)，，危)min=/(〃)=一〃2+2〃+4=1,

即a2—2a—3=0,解得a=3或a=—\.

(3)設(shè)函數(shù)〃)=以2-2%+2,對(duì)于滿足1令<4的一切x值都有外)>0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

+

答案(2)0°)

解析由題意得。^一三對(duì)l<x<4恒成立，

又2—3=—3+丄，1厶1,

xx224x

_i,1

??心MX2lJmax—~,??<?>-.

22

數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

研究二次函數(shù)的性質(zhì)，可以結(jié)合圖象進(jìn)行；對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)問題，要明確參數(shù)對(duì)

圖象的影響，進(jìn)行分類討論.

例設(shè)函數(shù)y(x)=x2—2x+2,xG[/,/+1],/ER,求函數(shù)y(x)的最小值.

解Xx)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x^[t,r+1],/GR,函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=l.

當(dāng)r+lWl,即/WO時(shí)，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)｛x)在區(qū)間[/,/+1]上為減函數(shù)，

所以最小值為/(r+l)=z2+l；

當(dāng)即0<f〈l時(shí)，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對(duì)稱軸x=l處取得最小值，最小值為

當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)y(x)在區(qū)間上，f+i]上為增函數(shù)，所以最小值為沢。

=?—2/+2.

卩+1,W0,

綜上可知，/(X)min=T,0W,

產(chǎn)-2f+2,f-l.

1.基函數(shù)y=Xx)經(jīng)過點(diǎn)(3,爾)，則人》)是()

A.偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

B.偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

C.奇函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

答案D

解析設(shè)嘉函數(shù)的解析式為尸巴將(3,錫代入解析式得3"=總解得ag,.口=/,

故選D.

2.幕函數(shù)夕=//一*"(/?62)的圖象如圖所示，則〃，的值為()

A.0B.1

C.2D.3

答案c

解析..》=￡/一而'(加GZ)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，

/./M2—4w?<0,即0</w<4.

又???函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且m￡Z,

Aw2—4/7?為偶數(shù),.\m=2.

3.若幕函數(shù)外)=(加2—4機(jī)+4>/"6"，+8在(0,+8)上為增函數(shù)，則〃?的值為()

A.1或3B.1

C.3D.2

答案B

解析由題意得川2—4加+4=1,加2—6相+8>0,

解得m=\.

4.已知函數(shù)/(公=。/+X+5的圖象在r軸上方，則。的取值范圍是()

［，丄］『-8,—丄］

A.l20jB.l20j

6+TD.昌q

答案C

解析由題意知卜"即產(chǎn)得J.

U<0,ll-20a<0,20

5.已知a,b,cGR,函數(shù)/(x)=ax2+/>x+c.若｛0)=貝4)刁(1),貝！|()

A.a>0,4a+b—0B.a〈0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+h=0

答案A

解析由式0)=<4),得y?MnaN+fer+c圖象的對(duì)稱軸為x=-=2,：.4a+b=0,又

2a

,/(0)>/(1),,/(4)>/(1),二小)先減后增，于是”>0,故選A.

6.已知函數(shù).七:)=一/+2辦+1-a,xC［0,1］有最大值2,則。等于()

A.2B.0

C.0或一1D.2或一1

答案D

解析函數(shù)人》)=~~x2+2ax+1—?4=—"(x—〃)2+/—?“+］,其圖象的對(duì)稱軸方程為x=〃.當(dāng)

a<0時(shí)，義x)max=H0)=l—。，所以1—a=2,所以a=—1；當(dāng)OWaWl時(shí)，沢》)??/。)：/

—a+1,所以02—a+l=2,所以“2—a—1=0,所以舍去)；當(dāng)&>1時(shí)，y(x)max=

/(l)=a,所以a=2.綜上可知，a=—1或a=2.

丄

7.已知y(x)=x2,g(x)=/，h(x)=x^2,當(dāng)O〈x〈l時(shí)，J(x),g(x),九⑴的大小關(guān)系是

答案/?(x)>g(x)>/(x)

解析分別作出/(X),g(x),〃(x)的圖象如圖所示，

可知厶(x)>g(x)次X).

8.已知二次函數(shù)y=/(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1―5'49］,且方程次x)=O的兩個(gè)實(shí)根之差的絕對(duì)值

等于7,則此二次函數(shù)的解析式是.

答案/x)=-4x2-12x+40

解析設(shè)兀0=°1+孑2+49(°#0),

方程“1+3+49=0的兩個(gè)實(shí)根分別為處，X2,

則,一刼=2=7,

所以〃=—4,所以/(x)=—4%2—12%+40.

9.己知函數(shù)貝x)=f一(a—l)x+5在區(qū)間1上為增函數(shù)，那么大2)的取值范圍是

答案［7,+8)

解析函數(shù)｛x)=x2-(a-l)x+5在區(qū)間1)上為增函數(shù)，由于其圖象(拋物線)開口向上，

所以其對(duì)稱軸x=0或與直線x=l重合或位于直線x=』的左側(cè)，即應(yīng)有0W1，解得

22222

aW2,所以｛2)=4—(〃-l)X2+527,即(2)》7.

10.設(shè)函數(shù)—)=一2/+4》在區(qū)間阿，網(wǎng)上的值域是［-6,2］,則加+“的取值范圍是

答案［0,4］

解析令/(%)=-6,得x=-1或x=3；令人x)=2,得x=l.又人工)在［-1,1］上單調(diào)遞增，在

［1,3］上單調(diào)遞減，???當(dāng)加=-1,〃=1時(shí)，加+〃取得最小值0；

當(dāng)加=1,〃=3時(shí)，加+〃取得最大值4.

11.(2018?河南南陽一中月考)已知函數(shù)危)=/+校一1,若對(duì)于任意［加，加+1］,都有

Ax)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案I2J

解析因?yàn)楹瘮?shù)圖象開口向上，所以根據(jù)題意只需滿足

f(m}=m2+m2—l<0,

/(機(jī)+1)=(機(jī)+l)2+w(w+1)—1<0,

解得一*々加<0.

2

12.已知函數(shù)/(%)=/+(26(-l)x—3.

(1)當(dāng)a=2,xG[-2,3]時(shí),求函數(shù)危)的值域;

(2)若函數(shù).火x)在[-1,3]上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值.

解(1)當(dāng)。=2時(shí)，大》)=r+3工一3,xG[-2,3],

函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為苫=一|^[一2,3],

???/(X)min=1力=*—>3=-g,

424

7(X)max=A3)=15,

一——21Is

.../(X)的值域?yàn)?4'.

(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線》=一當(dāng)1.

①當(dāng)一(lwi,即?！芬唬簳r(shí)，大沖3=/(3)=60+3,

/.6a+3=1,即。=—丄，滿足題意；

②當(dāng)一次二1>1,即"一」時(shí)，

22

./(X)max=/(-1)=_2a—1,

/.—2a—1=1,即〃=—19滿足題意.

綜上可知，4=一丄或一1.