直線和平面所成角

關(guān)于直線和平面所成角如圖,點(diǎn)Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是點(diǎn)P到平面的垂線段pQ

過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影；

這點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段。四.斜線在平面內(nèi)的射影１.垂線、斜線、射影(１)垂線點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影線段PQ第2頁,共18頁，2024年2月25日，星期天（2）斜線

一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線．

斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。

從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，這點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段PR第3頁,共18頁，2024年2月25日，星期天說明：①平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段有且只有一條，而這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段有無數(shù)條思考：平面外一點(diǎn)到一個(gè)平面的垂線段有幾條？斜線段有幾條？PRQST第4頁,共18頁，2024年2月25日，星期天如圖：＿＿＿＿是斜線AC在內(nèi)的射影，線段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB

過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．

垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面上的射影．(３)射影直線BC斜線段AC在內(nèi)的射影第5頁,共18頁，2024年2月25日，星期天ACBFE說明：②斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線的射影上。思考：斜線上的一個(gè)點(diǎn)在平面上的射影會(huì)在哪呢？第6頁,共18頁，2024年2月25日，星期天思考：①從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面引的垂線段和斜線段，它們的射影和線段本身之間有什么關(guān)系？②從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中，那一條最短？ACBDE幾何畫板測(cè)量第7頁,共18頁，2024年2月25日，星期天如圖，AO是平面

的垂線段，AB、AC是平面的斜線段，OB、OC分別是______________________，則有ACBOOB=OC

OB＞OC

AB=AC

AB＞AC

AB、AC在平面內(nèi)的射影AB=ACAB＞ACOB=OCOB＞OC第8頁,共18頁，2024年2月25日，星期天ACBO從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)（2）相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)（3）垂線段比任何一條斜線段都短2．射影定理第9頁,共18頁，2024年2月25日，星期天1.點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且P點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則P點(diǎn)在△ABC所在平面上的射影是△ABC的＿

心。PCBAO練習(xí)外第10頁,共18頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)2.判斷下列說法是否正確（1）兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影一定是平行直線（）（2）兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影一定是相交直線（）（3）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影要么是平行直線，要么是相交直線（）（4）若斜線段長(zhǎng)相等，則它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影長(zhǎng)也相等（）第11頁,共18頁，2024年2月25日，星期天

平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。五.直線和平面所成的角１.定義ABO第12頁,共18頁，2024年2月25日，星期天①一條直線垂直與平面，它們所成的角是直角；②一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0

的角。③直線和平面所成角的范圍是[0

，90

]說明：第13頁,共18頁，2024年2月25日，星期天AlBOD

l是平面

的斜線，點(diǎn)O是斜足，A是l上任意一點(diǎn)，AB是平面

的垂線，B是垂足，直線OB是l在

內(nèi)的射影，∠AOB(記作θ）是l與平面

所成的角.θ與∠AOD的大小關(guān)系如何？COD是內(nèi)不同于OB的任一直線，過點(diǎn)A引AC垂直于OD，垂足為C.第14頁,共18頁，2024年2月25日，星期天AlBODθ與∠AOD的大小關(guān)系如何？在Rt△AOB中，在Rt△AOC中，∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD

拓展：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)任意的直線所成的一切角中最小的角。C２.定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。第15頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例1.如圖，AO是平面π的斜線，AB⊥平面π于B，OD是π內(nèi)不與OB重合的直線，∠AOB=

，∠BOD=

，∠AOD=

，求證：cos

=cos

cos

ABODC

第16頁,共18頁，2024年2月25日，星期天例2.在正方體