實(shí)變函數(shù)測(cè)試題與答案

實(shí)變函數(shù)試題

一，填空題

1.設(shè)21，n=L2■,那么limA〃=______

〃"f00

2.(?？?(7,口),因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)集合之間的—映射為

.1

cos一w0

3.設(shè)E是爐中函數(shù)V二%的圖形上的點(diǎn)所組成的集

0,x=0

合，那么?=,E°=

4.假設(shè)集合滿足EuE,那么￡為集.

5.假設(shè)儂尸)是直線上開集G的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間，那么30滿足：

6.設(shè)區(qū)使閉區(qū)間可中的全體無理數(shù)集，那么根石=.

7.假設(shè)機(jī)￡［力(%)/4/(%)］=。，那么說｛力(%)｝在E上.

8.設(shè)/eH",假設(shè)，那么稱］。是E

的聚點(diǎn).

9.設(shè)｛力(%)｝是石上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列，/(%)是石上幾乎

處處有限的可測(cè)函數(shù)，假設(shè)Vb＞0,有

,那么稱｛力(%)｝在月上依測(cè)度收斂于/(%).

10.設(shè)力(%)=/(%),%￡石，那么三｛力(%)｝的子歹U｛九(%)｝,使得

二，判斷題.正確的證明，錯(cuò)誤的舉反例.

1.假設(shè)A5可測(cè)，＞1(=6且74。6,那么加4＜加5.

2.設(shè)E為點(diǎn)集，P更E,那么尸是石的外點(diǎn).

3.點(diǎn)集石=，1，2，，，的閉集.

4.任意多個(gè)閉集的并集是閉集.

5.假設(shè)￡uRn，滿足mE=+oo,那么E為無限集合.

三，計(jì)算證明題

1,證明:A_（5_C）=（A—5）J（AnC）

2,設(shè)M是外空間中以有理點(diǎn)（即坐標(biāo)都是有理數(shù)）為中心，有理數(shù)為

半徑的球的全體，證明M為可數(shù)集.

3.設(shè)耳且均為可測(cè)集，1=1,2…根據(jù)題意，假設(shè)有

-8）,證明后是可測(cè)集.

ln（l+X3）,xeP

4.設(shè)尸是Cantor集，/⑴32??

X,XG[0,1]-^

5.設(shè)函數(shù)/（%）在Cantor集玲中點(diǎn)%上取值為X③，而在外的余集中

11

長(zhǎng)為了的構(gòu)成區(qū)間上取值為6，（z〃=1，2-），求

工于（x）dx.

6.求極限：㈣國(guó)）工出丁而辦但

實(shí)變函數(shù)試題解答

一填空題

1.[0,2].

(x,y)y=cos—,x^0ju{(O,y)||y|<l}

2.1x;0.

3.閉集.

4.力一a.

5.幾乎處處收斂于/(%)或a.e.收斂于/(%).

6.對(duì)V5>0,U°(%oM有(石-優(yōu)})=0.

7.力(%)-/(%)a.e.于瓦

二判斷題

1.F.例如，A=(0,1),B=[0,l],那么Au6且但

mA=mB=1.

2.F.例如,0任(0,1),但0不是(0,1)的外點(diǎn).

3.F.由于￡={0}a石.

,二111

4.F.例如，在“中，F(xiàn)n=,〃=3,4…是一系列的閉集,

，I，I

00

但是U￡=(°』)不是閉集.

n=3

5.T.因?yàn)榧僭O(shè)后為有界集合，那么存在有限區(qū)間/,|/|<也，使

得Eu/,那么/石=<+CQ,于M石=+oo.

三，計(jì)算證明題.

1.證明如下：

2.M中任何一個(gè)元素可以由球心(X,y,z),半徑為廠唯一確定，

z跑遍所有的正有理數(shù)，尸跑遍所有的有理數(shù).因?yàn)橛欣頂?shù)集于正有

理數(shù)集為可數(shù)集都是可數(shù)集，故M為可數(shù)集.

00

3,令5=.耳，那么石uBug且5為可測(cè)集，于是對(duì)于V"都有

1=1

B-EuB’-E,故

-E）,

令if鞏得到加仍-石）=0,故5-石可測(cè).從而

石=6—（6—七）可測(cè).

4.mP=0,令6=［0,1］-尸，那么

(L)Jj(xW=(L)￡ln(1+X3yix+(L)JG%2公

=O+(L)L/(%岫

=(L)￡x2tZx+(L)￡x2dx

=(R)[f"

1

x31

o=3

5.將積分區(qū)間［0,1］分為兩兩不相交的集合：P。,G,G?…,其中痣

1

為Cantor集，G,是痣的余集中一切長(zhǎng)為了的構(gòu)成區(qū)間（共有個(gè)）

之并.由L積分的可數(shù)可加性，并且注意到題中的根《=0,可得

nx.3....pinx.3,

6?因?yàn)镕Asmg在［0』上連續(xù)，（R）J。77ksm加加存在且

JL?fbJiXiflJi

.f1nx.,

與（ZTL）J0G*sm3小小的值相等?易知

JLIrL

由于會(huì)在（。,1）上非負(fù)可測(cè)，且廣義積分工會(huì)公收斂，那么

11.依.3八

聲在（。,1）上（L）可積，由于㈣加=0，于

是根據(jù)勒貝格控制收斂定理，得到

lim(R)f—nX^sin3nxdx=lim(L)f—sin3nxdx

Joi+nzxJo1+nx

].nx.Y

=lim------sin3nxax

R001+nx)

小心=0

一、判定以下命題正確與否，簡(jiǎn)明理由(對(duì)正確者予以證明，對(duì)錯(cuò)誤

者舉處反例)〔15分，每題3分〕

1.非可數(shù)的無限集為c勢(shì)集

2.開集的余集為閉集。

3.假設(shè)m?E=0,那么E為可數(shù)集

4.假設(shè)f(x)在E上可測(cè),那么f(x)在E上可測(cè)

5.假設(shè)f(x)在E上有界可測(cè)，那么f(x)在E上可積

二、將正確答案填在空格內(nèi)〔共8分，每題2分〕

1.可數(shù)集之并是可數(shù)集。

A.任意多個(gè)B.c勢(shì)個(gè)？C.無窮多個(gè)D至多可數(shù)個(gè)

2.閉集之并交是閉集。

A.任意多個(gè)B.有限個(gè)C.無窮多個(gè)D至多可數(shù)個(gè)

3.可數(shù)個(gè)開集之交是

A開集B閉集CF。型集DGf型集

4.假設(shè)|f|在E上可積，那么

A.f在E上可積B.f在E上可測(cè)C.f在E上有界D.f在

E上幾乎處處有限

三二表達(dá)有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理

〔共9分，每題3分〕。

四、證明以下集合等式〔共6分，每題3分〕：

1.(s_s,：)

ni

2.E[f>a]='.!E[f〉aT]

五、證明：有限個(gè)開集之交是開集。舉例說明無限個(gè)開集之交不一

定是開集?！?分〕

六、證明：設(shè)f(x),f，(x)為可積函數(shù)列，f?(x)—g-f(x)a.e于

E,且

L|31小一6-1|f|d、，那么對(duì)任意可測(cè)子集e_E有？

1八|\一>1f|d>〔7分〕

七、計(jì)算以下各題：〔每題5分，共15分〕

1.身kW「sin(nx)d*二？

''耶/有理效伍.)

2.設(shè)f(x)二,"‘金:口在匕理數(shù)求(0』j,=?

方(力-1)壯J111/(*)

3.設(shè)f(x)=?，…iJ?n=2,3,?求「d，二？

一、判定以下命題正確與否，簡(jiǎn)明理由(對(duì)正確者予以證明，對(duì)錯(cuò)誤

者舉處反例)

1.非可數(shù)的無限集為c勢(shì)集，〔不正確！如：直線上的所有子集

全體不可數(shù)，但其勢(shì)大于c〕。

2.開集的余集為閉集?！舱_！教材已證的定理〕。

3.假設(shè)m，E=O,那么E為可數(shù)集〔不正確！如contorP。集外測(cè)度

為0,但是C勢(shì)集〕。

4.假設(shè)f(x)在E上可測(cè)，那么f(x)在E上可測(cè)〔不正確！

",其中方為尼申不可測(cè)集

如〔-IxwR'-E。)

5.假設(shè)f(x)在E上有界可測(cè)，那么f(x)在E上可積〔不正確!

如八在川有界可測(cè)，但不可積〕

二、將正確答案填在空格內(nèi)

1.至多可數(shù)個(gè)可數(shù)集之并是可數(shù)集。

A.任意多個(gè)B.c勢(shì)個(gè)C.無窮多個(gè)D至多可數(shù)個(gè)

2.有限個(gè)閉集之并交是閉集。

A.任意多個(gè)B.有限個(gè)C.無窮多個(gè)D至多可數(shù)個(gè)

3.可數(shù)個(gè)開集之交是G3型集

A開集B閉集C?F。型集D?G$型集

4.假設(shè)|在E上可積，那么f在E上幾乎處處有限

A.f在E上可積B.f在E上可測(cè)C.f在E上有界D.f在E上

幾乎處處有限

三、表達(dá)有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理

〔見教材，不贅述！〕。

四、證明以下集合等式

1.（s-s,：）

解：

=sn（。力$：）

川力（sns：）Jni

9

C]i

2oE[fsa]=UE[f>aT]

證明：

xw左端=xwE[fNa]=x

nxw&且對(duì)任苣想/（x）>4」

?in

nxwp|&[/>a-—]

L；同

=XW右端

所以左端u右端，同理左端n右端，???故左端二右端

五、證明：有限個(gè)開集之交是開集。舉例說明無限個(gè)開集之交不一

定是開集。

?證明：(分析法證明)設(shè)..N)為開集

要證(b為開集，只須證明小如父

事實(shí)上相>。*。口.4"0,，取六徽司時(shí)，自然有

xe0(x,<5)<=02

1?1o

X

??故!］二為開集。

無限個(gè)開集之交不一定是開集。反例：設(shè)&=電"7,那么Q°=(OJ既

不是開集，又不是閉集。

六、證明：設(shè)f(x),f*(x)為可積函數(shù)列,

f?(x)(x)a.e于E,

且L|f|d*,

那么對(duì)任意可測(cè)子集ecE有

I|f|d*

證明：因?yàn)閒*(x)-J--af(x)a.e于E,對(duì)任意T-：由Fatou引理知

JA粵I3d，W笑JAIf?|d?

而L|f?d.-2^LIf|d',那么對(duì)任意由Fatou弓|理矢口:

hm

一方面1|f|d*Jf"d、W蹙11f"d>

另一方面,1f|d?=LeM

If*|典|f?Id?粵吧I|f"d、

故蚓I|f,|dz<l|f|d,W粵I|f，|d.

即1|f|d『四IIf.1d?

七、計(jì)算以下各題：

1.四1岫/Jsin(nx)d*二？

nx

解：因?yàn)??7?sin(nx)—9―0于[0,1]

第3頁？共4頁

nx

??且|工W1

那么由Lebesgue控制收斂定理知:

nx

前「sin(nx)d=i,l+Jx2sin(nx)d，=0

,晚.腹效

2.設(shè)f(x)=l他求(oj|d*二?

解:

xx為(0J中有理數(shù)

因?yàn)?(*)=，

sin*xx為［0,1沖無理數(shù)

=$innxaeT[OJ]

r..1.2

ISin/TXdxS.--COS7T|Q=—

所以【叫””

忒”-1)J1,)f/(x)

3.設(shè)f(x)=1???”‘；m”n=2,3,…，？求乙’d=?

“(“T)l_L，

解：因?yàn)閒(x)=2'??A'」€(r二i」？n=2,3,…，在口H上非負(fù)可測(cè)，所

以由Lebesgue逐塊積分定理知:

1dg嚶、總T屯？6。

一'選擇題(共10題，每題3分，共30分)

1.設(shè)。是R中有理數(shù)的全體，那么在R中。的導(dǎo)集O是

【1

(A)Q(B)0(0R(D)R-Q

2.設(shè)｛工｝是一列閉集，F(xiàn)=QF?,那么E一定是

n=\

【]

(A)開集(B)閉集(C)G,型集(D)4型集

3.設(shè)E是R中有理數(shù)全體，那么mE=

【1

(A)0(B)l(C)+8⑻-8

4.下面哪些集合的并組成整個(gè)集合的點(diǎn)

[1

(A)內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)，聚點(diǎn)(B)內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)，孤立點(diǎn)

(C)孤立點(diǎn)，界點(diǎn)，外點(diǎn)(D)孤立點(diǎn)，聚點(diǎn)，外點(diǎn)

5.設(shè)p是Cantor集，那么

[1

(A)尸與汗對(duì)等，且尸的測(cè)度為0(B)尸與代對(duì)等，且尸的測(cè)度

為1

(C)尸與R"不對(duì)等，尸的測(cè)度為。⑻P與R"不對(duì)等，P的測(cè)度

為1

6.設(shè)/(%)與g(x)在E上可測(cè)，那么E[/2g]是

【1

(A)可測(cè)集(B)不可測(cè)集(C)空集(D)無法

判定

7.設(shè)/(x)在可測(cè)集E上有定義，/?(%)=min(/(%),?),那么力(x)是

(A)單調(diào)遞增函數(shù)列(B)單調(diào)遞減函數(shù)列

(0可積函數(shù)列(D)連續(xù)函數(shù)列

8.設(shè)E是任一可測(cè)集，那么

(A)E是開集(B)E是閉集(0E是完備集

(D)對(duì)任意￡>0,存在開集GnE,使鞏G-E)<￡

sin2Mx￡[0,1]D。

9設(shè)/(%)=9那么

1+2X,XG[O,l]-Q

(A)1(B)2(C)3(D)4

10.設(shè)｛儲(chǔ)是E上一列幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，假設(shè)對(duì)任意0>0,

有下面條件成立，那么伉⑴｝依測(cè)度收斂于

/(X)?【)

(A)JimmE^fn(x)-/(x)|>cr]>0(B)limm^fn(x)-/(x)|>cr]<0

(C)吧7詞力(x)-/(x)|=b]=O(D)limmE[fn(x)-/(x)|>cr]=0

二'定理表達(dá)題(共2題，每題5分，共10分)

1.魯津定理

2.Fatou引理

三'判斷改正題(正確的打?qū)μ?hào)，錯(cuò)誤的打錯(cuò)號(hào)并改正，共5題，每

題4分，共20分)

1.假設(shè)E與它的真子集對(duì)等，那么E一定是有限

集.【】

2.凡非負(fù)可測(cè)函數(shù)都是L可積

的.【】

3.設(shè)A為“空間中一非空集，假設(shè)"a那么建a

[1

4.設(shè)E為可測(cè)集，那么存在內(nèi)型集尸，使得FuE,且

m(E-F)=0.【]

5."x)在[a,b]上L可積,那么/(x)在[a,“R可積且(乃"/(%)公=(時(shí)：

]

四'證明題(共4題，每題10分，共40分)

1.開集減閉集后的差集為開集，閉集減開集后的差集為閉集.

2.上全體有理數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度為零.

3.設(shè)函數(shù)列｛/“｝在E上依測(cè)度收斂/,且力W/zae于E,那么/K/zae于E.

4.設(shè)f(x)在［a-￡,>+￡■］上可積，那么limJ\f(x+t)-f(x)\dx-0.

判斷題〔每題2分，共20分〕

1.必有比a大的基數(shù)。()

2.無限個(gè)閉集的并必是閉集。

1)

3.假設(shè)mE=O,那么E是至多可列集。

()

4.無限集的測(cè)度一定不為零?！?

5.兩集合的外測(cè)度相等，那么它們的基數(shù)相等。

6.假設(shè)/(x)在E的任意子集上可測(cè),那么/(x)在可測(cè)集E上可測(cè)?！病?/p>

7.E上可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)在E上不一定可測(cè)?！?

8.是E上的可測(cè)函數(shù)，那么/'(X)可積。

9.假設(shè)f(x)>0_@Lf(x)dx=0，那么f(x)=Oae.于E。

10.假設(shè)I/(x)I在E上可積，那么/(x)在E上也可積。

二、填空題〔每題2分，共20分)

1.設(shè)4=(0,n),n=1,2,,那么uA.=,nA=o

?=1n=l

2.設(shè)A—{1,2,3,…,"，…}uR,那么A。=,A=o

3.設(shè)8是開區(qū)間(0,2)中有理點(diǎn)的全體，那么m3=。

4.單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)集的基數(shù)是。

5.設(shè)E是［0,1］上的Cm3集,那么豆=。

6.閉區(qū)間［a,句上的有界函數(shù)/(x)R力wawz可積的充要條件是。

7.狄利克雷函數(shù)函數(shù)。(x)是可積的，［D(x)dx=。

三、計(jì)算題〔每題10分，共20分〕.

27

1.計(jì)算iim(/?)［'nx—dxo〔提示：使用Lebesgue控制收斂定理〕

2.設(shè)，其中B是Cantor集，試計(jì)算］/⑴小

［X2,XG［0,1］\^J［。』

四、證明題〔每題8分，共40分〕

.001

1.證明：{%|x>0}=H{x|x>—)

n=in

2.設(shè)M是平面上一類圓組成的集合，中任意兩個(gè)圓不相交，證明M是

是至多可列集。

3.如果加E=0,那么E的任何子集也可測(cè)且測(cè)度為零。

4.設(shè)/(%)在E上可積，且/(x)=g(x)ae.于E,證明：g(x)也在E上可積。

5.可測(cè)集E上的函數(shù)/'(%)為可測(cè)函數(shù)充分必要條件是對(duì)任何有理數(shù)

r，集合E"(x)<廠］是可測(cè)集。

一、單項(xiàng)選擇題〔3分X5=15分〕

1、1、以下各式正確的選項(xiàng)是〔)

〔A〕limA,(=onA,；〔B〕limAn=noA,；

n—>oon=lk=nnsn=lk=n

,、RR/、ROU

ICJlimA=noA；IDJlimA=nnA；

8n=lk=nn—>oon=lk=n

2、設(shè)P為Cantor集，那么以下各式不成立的是〔)

［A)A=c(B)mP=o(C)p=p(D)p=p

3、以下說法不正確的選項(xiàng)是〔〕

(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測(cè)〔B〕可測(cè)集的任何子集都可測(cè)

(0開集和閉集都是波雷耳集⑴〕波雷耳集都可測(cè)

4、設(shè)｛力(必是E上的ae有限的可測(cè)函數(shù)列,那么下面不成立的

是()

lA)假設(shè)力(x)n/(x),那么力(x)f/(x)(B)sup｛力(x)｝是可測(cè)函

n

數(shù)

(C).｛力⑼是可測(cè)函數(shù)；⑴)假設(shè)力(x)n/(x),那么/(X)可測(cè)

5、設(shè)f(x)是小勿上有界變差函數(shù)，那么下面不成立的是

〔)

(A)/(x)在小句上有界(B)在小勿上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)

?/'(X)在小句上L可積(D)\bf\x)dx=f(b)-f｛d｝

Ja

二.填空題(3分X5=15分)

1、(GAuC/)c(A-(A-3))=

2、設(shè)E是［0,1］上有理點(diǎn)全體，那么

E=,E=,E=.

3、設(shè)E是代中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集T都有

_____________________________________，那么稱E是L可測(cè)的

4、/⑴可測(cè)的條件是它可以表成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限

函數(shù).

〔填“充分〃，”必要〃，”充要〃)

5、設(shè)/(x)為［a,可上的有限函數(shù)，如果對(duì)于［a,可的一切分劃，使

,那么稱/(%)為［a,句上的有界變

差函數(shù)。

三、以下命題是否成立?假設(shè)成立,那么證明之;假設(shè)不成立,那么舉

反例說明.

1、設(shè)EuR,假設(shè)石是稠密集，那么CE是無處稠密集。

2、假設(shè)加E=0,那么E一定是可數(shù)集.

3、假設(shè)|/(刈是可測(cè)函數(shù)，那么/'(x)必是可測(cè)函數(shù)。

4.設(shè)/(x)在可測(cè)集E上可積分，假設(shè)VxeE,/(x)>0,那么

四、解答題［8分X2=16分).

1、〔8分〕設(shè)/'00=『'未譬，那么/(x)在［。』上是否可積，

l,x為有理數(shù)

是否L-可積，假設(shè)可積，求出積分值。

2、［8分)求lim「ln(x+“)e-xCQS時(shí)

“Jon

五、證明題〔6分X4+10=34分).

1、〔6分〕證明［0』上的全體無理數(shù)作成的集其勢(shì)為c.

2、〔6分〕設(shè)/⑶是(F+8)上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)于任意常

數(shù)a,E={x"(x)之a(chǎn)}是閉集。

3、〔6分〕在［a,可上的任一有界變差函數(shù)/⑺都可以表示為兩個(gè)

增函數(shù)之差。

4、［6分)設(shè)機(jī)E<oo,/(x)在E上可積，en=E(\f\>n))那么lim”w=0.

5、〔10分〕設(shè)是E上ae有限的函數(shù)，假設(shè)對(duì)任意5>0,存

在閉子集工uE,使/(x)在工上連續(xù)，且皿石-工)<5,證明：/⑴是

E上的可測(cè)函數(shù)。(魯津定理的逆定理)

一、判定以下命題正確與否，簡(jiǎn)明理由(對(duì)正確者予以證明，對(duì)錯(cuò)誤

者舉處反例)〔15分，每題3分〕

8.非可數(shù)的無限集為C勢(shì)集

9.開集的余集為閉集。

10.假設(shè)WE=0,那么E為可數(shù)集

H.假設(shè)f(x)在E上可測(cè)，那么f(x)在E上可測(cè)

12.假設(shè)f(x)在E上有界可測(cè)，那么f(x)在E上可積

二、將正確答案填在空格內(nèi)〔共8分，每題2分〕

13.可數(shù)集之并是可數(shù)集。

A.任意多個(gè)B.c勢(shì)個(gè)？C.無窮多個(gè)D至多可數(shù)個(gè)

14.閉集之并交是閉集。

A.任意多個(gè)B.有限個(gè)C.無窮多個(gè)D至多可數(shù)個(gè)

15.可數(shù)個(gè)開集之交是A開集B閉集CFJ型集DG』型集

16.假設(shè)f在E上可積，那么A.f在E上可積B.f在

E上可測(cè)C.f在E上有界D.f在E上幾乎處處有限

三、表達(dá)有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理

(共9分,每題3分)。

四、證明以下集合等式〔共6分，每題3分〕：

17.S-出3“二親(S-S”)

Pl1

18.E[fia]=UE[f>a-i]

五、證明：有限個(gè)開集之交是開集。舉例說明無限個(gè)開集之交不一

定是開集。(8分)

六、證明：設(shè)f(x),A(x)為可積函數(shù)列，f,(x)=Af(x)a.e于

E,且

1f|d.,那么對(duì)任意可測(cè)子集e「E有？

IdI」|fd〔7分〕

七、計(jì)算以下各題：〔每題5分，共15分〕

19.sin(nx)d.i=?

?’那肝有理數(shù)伍X)

20.設(shè)f(x)二聲」竹理數(shù)求(皿山!二？

帥T)xeJ11

21.設(shè)f(x)=二>'>':?n=2,3,?求觸d.i=?

一、判定以下命題正確與否，簡(jiǎn)明理由(對(duì)正確者予以證明，對(duì)錯(cuò)誤

者舉處反例)

6.非可數(shù)的無限集為c勢(shì)集，〔不正確！如：直線上的所有子集

全體不可數(shù)，但其勢(shì)大于c〕。

7.開集的余集為閉集?！舱_！教材已證的定理〕。

8.假設(shè)nfE=0,那么E為可數(shù)集〔不正確！如contorP。集外測(cè)度

為0,但是C勢(shì)集〕。

9.假設(shè)f(x)在E上可測(cè)，那么f(x)在E上可測(cè)〔不正確！

/(x)=P其中國(guó)為足中不可榭集

如(-1xS〕

10.假設(shè)f(x)在E上有界可測(cè)，那么f(x)在E上可積〔不正確!

如=1"/有界可測(cè)，但不可積〕

二、將正確答案填在空格內(nèi)

1.至多可數(shù)個(gè)可數(shù)集之并是可數(shù)集。

A.任意多個(gè)B.c勢(shì)個(gè)C.無窮多個(gè)D至多可數(shù)個(gè)

2.有限個(gè)閉集之并交是閉集。

A.任意多個(gè)B.有限個(gè)C.無窮多個(gè)D至多可數(shù)個(gè)

3.可數(shù)個(gè)開集之交是GJ型集

A開集B閉集C?F。型D?GS型集

4.假設(shè)在E上可積，那么f在E上幾乎處處有限

A.f在E上可積B.f在E上可測(cè)C.f在E上有界D.f在E上

幾乎處處有限

三、表達(dá)有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理

〔見教材〕0

四、證明以下集合等式

1.S-三S“二法(S-S”)

解：

=^n(U

Af-l

戈?duì)杝ns：)碧(ss)

2oE[f?a]=UE[f>a-b

證明：

xw左端nxwE\JNa]=xwE^f(x)之。

nxw后且對(duì)任苣冏J(x)

n

?i

nxw0|頊/

7n

=xe右端

所以左端U右端，同理左端3右端，???故左端石端

五、證明：有限個(gè)開集之交是開集。舉例說明無限個(gè)開集之交不一

定是開集。

?證明：〔分析法證明〕設(shè)。.(皿=1.2M為開集

NNN

要證Q，為開集，只須證明”電—0?MQQ

事實(shí)上???xeQ.,招＞0,x€O(x.4)uq,取3=嬲4時(shí)，自然有

?2

N5XMUQ。,。??故Qq為開集。

1A

無限個(gè)開集之交不一定是開集。反例：設(shè)°尸(°」+7),那么Qq=(?！筣既

不是開集，又不是閉集。

六、證明：設(shè)f(x),f"(x)為可積函數(shù)列,

f?(x)"y1f(x)a.e于E,

且Lif.?di>1ifid.,

那么對(duì)任意可測(cè)子集e，.E有

I3d—/—>1?f?

證明：因?yàn)閒*(x)-上欄—f(x)a.e于E,對(duì)任意ZuE由Fatou引理知

JA粵|f*|d』W察LIf*|dj

而L|f?If|dj,那么對(duì)任意？:少由Fatou弓|理矢口:

一方面I|f|d"I蹙IfJdjW粵11f?1d-i

另一方面,k|f|da=<L粵IfMIdJ<蹙LIf?I(IY1IfIdjr=l粵

Rd，笑f?Idj-Le察If.

故螞IIf/djwl|f|dY整11f?|d』

即I|f|d』」鬼1|f?|dj

七、計(jì)算以下各題:

身〔局「二？

1sin(nx)d4

nxnx

解：因?yàn)镚V?sin(nx)…，。于[0,1]且

那么由Lebesgue控制收斂定理知:

..nx

i+sVsin(nx)心二九」*■*?1+//sin(nx)d40

卜?加腫育理0JA*)

2.設(shè)f(x)=b?g求陽心二？

解:

xx為［0.1并有理數(shù)

因?yàn)?(*)=，

sin/rxx為(0,1沖無理數(shù)

=sm/rxae^[0,l]

r..1Q2

Isin/rxax----cos”,=一

所以占"”

帥-Dxe(l-1JfM

3.設(shè)f(x)=2,???「"l」?n=2,3,…，？求d產(chǎn)?

解:

原("DAJ_

因?yàn)閒(x)二下一??：,二七」?n=2,3,…,在(。川上非負(fù)可測(cè),所以由

Lebesgue逐塊積分定理知：

金第'生TO?。

一、填空：〔共10分〕

1.如果那么稱E是自密集，如果那么稱E是開集，如果Fu￡那么稱E

是，方=EUE'稱為E的.

2.設(shè)集合G可表示為一列開集{G,}之交集：G=「G,,那么G稱為.

1=1

假設(shè)集合E可表示為一列閉集{￡}之并集：F=\JFi,那么E稱為.

Z=1

3.(Fatou引理)設(shè){/}是可測(cè)集Euk上一列非負(fù)可測(cè)函數(shù),那么.

4.設(shè)/(%)為［a,b］上的有限函數(shù)，如果對(duì)于［a,b］的一切分劃

T:a=x0<x1<---<xn=b,使<￡"(現(xiàn))-/(%)|，成一■有界數(shù)集，那么稱/(x)

J=1,

為［a,勿上的，并稱這個(gè)數(shù)集的上確界為;'(X)在a勿上的，記為.

二'選擇填空：〔每題4分，共20分〕

1.以下命題或表達(dá)式正確的選項(xiàng)是

A.b^［b}B.{2}=2

C.對(duì)于任意集合A,B，有AuB或5uAD.0u0

2.以下命題不正確的選項(xiàng)是

A.假設(shè)點(diǎn)集A是無界集，那么加A=+8B.假設(shè)點(diǎn)集E是有

界集,那么根*E<+Q0

C.可數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度為零D.康托集尸的測(cè)度為零

3.以下表達(dá)式正確的選項(xiàng)是

/+(x)=max{-/(%),0}B./(x)=/+(x)+/-(x)

|/(x)|=/+(x)-/"(%)D.［/(%)］?=min{/(%),?}

4.以下命題不正確的選項(xiàng)是

A.開集、閉集都是可測(cè)集B.可測(cè)集都是Borel集

C.外測(cè)度為零的集是可測(cè)集D.4型集，G,型集都是可測(cè)集

5.以下集合基數(shù)為a〔可數(shù)集〕的是

A.康托集尸B.(0,1)

C.設(shè)AuR",A={x=(X],X2,…,5)1七是整數(shù)，，=1,2,…㈤D.區(qū)

間(0,1)中的無理數(shù)全體

三'〔20分〕表達(dá)并證明魯津〔Lusin〕定理的逆定理

四'〔20分〕設(shè)EuR,y(x)是E上ae有限的可測(cè)函數(shù)，

證明：存在定義在R上的一列連續(xù)函數(shù){g“},使得limg“(x)=/(x)ae.于E

n—^co

五'〔10分〕證明lim(R)「型二竺"疝"=0

“fcoJ01+nX

六'〔10分〕設(shè)/(X)是滿足Lipschitz條件的函數(shù)，且

f'(x)>Oa.e.于&句，那么f(x)為增函數(shù)

七'〔10分〕設(shè)/是口勿上的有界變差函數(shù)，證明尸也是[a,功上的有

界變差函數(shù)

一、填空題：〔共10分〕

1、EuE,E」〔或E=Q閉集，閉包

2、Gj型集，4型集3、1limlimffn(x)dx

4、有界變差函數(shù)，全變差，v(/)

a

二、選擇填空：〔每題4分，共20分〕

1、D2、A3、D4、B5、C

三、〔20分〕

定理：設(shè)/(x)ae.有限于E,假設(shè)對(duì)于任意的3>0,總有閉集工uE,

使皿E-吊