高中數(shù)學(xué) 指數(shù) 知識點精講及重點題型訓(xùn)練（解析版）

4.1指數(shù)

?知識導(dǎo)圖

?知識點精講

考點一根式

(1)概念：式子標(biāo)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

件,<7>0,

(2)性質(zhì)：(m)"=a(a使G有意義);當(dāng)〃為奇數(shù)時，標(biāo)=a,當(dāng)〃為偶數(shù)時，取)=同=

—。，a<0.

考點二分?jǐn)?shù)指數(shù)暴

m__

(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是。-=板需(。>0,m,〃￡N*,且心1)；

n

m1

(2)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義是L-(?>0,m,〃￡N*,且〃>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0；0的負(fù)

n

分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒有意義.

考點三指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

(2)有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：/廢=?！?；3)￡=即(ab)r=arbr,其中Q>0,b>0,r,s《Q.

@遜題翌

（一）根式化簡

例1、（1）、（2023春?江西撫州?高一江西省樂安縣第二中學(xué)?？计谀┫铝懈魇接嬎阏_的是（）

,、n12211

A.（-1）=1B.a2，a2=aC.43=8D.a3^.a3=a3

【答案】A

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】對于A,（-A對；

對于B，B錯；

2

對于C,正=2蚯，C錯；

T2121小

對1于D,加+”=產(chǎn)=〃，D錮.

故選：A

（2）、（2021?全國?高一課前預(yù)習(xí)）計算汨了的結(jié)果是（）

A.5B.-5

C.±5D.不確定

【答案】A

【分析】根據(jù)根式運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)"為偶數(shù)時，即可解決.

【詳解】#（-5）4=卜5|=5.

故選：A.

（3）、（2021?四川.成都市鄲都區(qū)川科外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）計算：血-4=.

【答案】—.

2

【分析】將近=2收，、［=交代入計算即可.

\22

【詳解】原式=2血一包=迪.

22

故答案為:逑.

2

（4）、（2022秋?高一單元測試）下列各式正確的是（）

A..（-3）2=后B.療

C.行=啦D.a°=1

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則，驗證選項的結(jié)論.

【詳解】后『二行=將，A選項錯誤；

而'=同，B選項錯誤；

_21

M尹=2，=23=\[2'C選項正確；

/=1,條件為awO,D選項錯誤。

故選：C.

【變式訓(xùn)練1-1】、（2022?北京房山?高一期末）化簡汴的結(jié)果是（）

231,

6

A.B..C.x6D.x

【答案】A

【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化可得結(jié)果.

2

【詳解】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化可得正…

故選：A.

【變式訓(xùn)練1-2】、（2023?全國?高一課堂例題）（多選題）下列說法中正確的是（）

A.V萬=3B.16的4次方根是土2

C.V§I=±3D.J（x+y）2=|x+y|

【答案】BD

【分析】利用根式的定義即可求解.

【詳解】負(fù)數(shù)的3次方根是一個負(fù)數(shù)，m=JR=_3,故A錯誤；

16的4次方根有兩個，為±2,故B正確；

病=療=|3|=3,故C錯誤；

J（x+y）2是非負(fù)數(shù),所以J（x+y）2=|x+y],故D正確.

故選：BD.

_L_1

【變式訓(xùn)練1-3】、（2021?黑龍江?齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一期中）計算=

【答案】1

【分析】將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的運(yùn)算法則計算可得;

11

【詳解】解:X

故答案為：1

【變式訓(xùn)練1-4】、（2023?全國?高一假期作業(yè)）下列各式中成立的是（）

B.=g

__________3

C..尤3+.3=（x+y）4D.廊=%

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AC選項；根據(jù)根式與指數(shù)幕的互化可判斷BD選項.

【詳解】對于A選項,A選項錯誤;

4]__

對于B選項，回（_3）4=行=英=*=5手表與，B選項錯誤;

對于C選項，（%+.尸=y（x+y）3w+93,c選項錯誤;

對于D選項,

故選：D.

（-）根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞互化

例2、（1）、（2023秋?高一課時練習(xí)）用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示的結(jié)果是（

57.3

A.B.a2C.aD-“5

【答案】B

【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的互化原則直接化簡即可.

117

【詳解】03.衣==后.

..Cl\Ll-ClCI-C7t5-Cl

故選；B.

（2）、（2021?全國?高一專題練習(xí)）計算:

【答案】1

【分析】由題意結(jié)合指數(shù)幕的運(yùn)算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】因為獷有意義，所以所以原式13

-6Z3=Q+a—1

故答案為1.

【點睛】本題主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)累及其運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

（3）、（2022?全國?高一課時練習(xí)）（多選題）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的互化正確的是（）

A.-s/x=(-x)2B-V/=(^<0)

________3J

D.鼻(-x)2"=X?(尤>0)

【答案】CD

【分析】根據(jù)分式與指數(shù)累的互化逐項判斷可得答案.

11,____

【詳解】=-x2（x>0）?而（-%尸=<^（工工0）,故A錯誤；

=一/（'<0）,故B錯誤；

一二+（x>0）,故C正確；,（_工）24二,3〉二￡（%〉0）,故D正確.

故選：CD.

【變式訓(xùn)練2-1】.（2023春?江西宜春?高一灰埠中學(xué)?？计谀┗啔v（加<0）的結(jié)果為（）

A.my[mB.my[—m

C.—myTmD.

【答案】D

【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案.

-my[-m.

故選：D

【變式訓(xùn)練2-2】、（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知加>0,則J-J陶赤化為（）

55

A.w4B.加5C.rnD.1

【答案】C

【分析】把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕進(jìn)行運(yùn)算.

故選：C.

【變式訓(xùn)練2-3】.（2022秋?浙江臺州?高一臺州一中?？奸_學(xué)考試）下列計算正確的是（）

5

A.x3y3=x6B.（〃/）3=加

C.（-tz）6=-a3D.2x-2=

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)幕運(yùn)算法則進(jìn)行計算.

3336

【詳解】A選項，xy=（xy）^x,A錯誤；

B選項，（僅2）3=僅6,B錯誤；

C選項，（-a『=（-a）3=-/,c正確；

D選項，2》-2==，D錯誤.

x

故選：C

（三）多重根式化簡

例3、（1）、（2023?全國,高一課堂例題）［多選題］下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的互化正確的是（）

A.護(hù)=）（…）B.（x>0）

________3

C./一五（"0）D.=x（x>0）

【答案】BD

【分析】利用根式與指數(shù)事的關(guān)系求解.

【詳解】當(dāng)"0時，獷>0，，<0,故A錯誤.

_3

(x>0),故B正確.

,1

3=-n=(xwO),故C錯誤.

故選：BD

（2）、（2021?全國高一課時練習(xí)）將亞石化為分?jǐn)?shù)指數(shù)累為（）

33

A.22B.?4

77

C.2aD.

【答案】D

【分析】

根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的互化以及指數(shù)的運(yùn)算公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

故選：D

（3）、（2022?全國?高一專題練習(xí)）化簡，11+6/+山-6啦=■

【答案】6

【分析】根據(jù)根式的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果.

【詳解】V11+6V2+711-672=7（3+V2）2+7（3-V2）2

=3+V2+3-V2

=6.

故答案為：6.

【變式訓(xùn)練3-1】、（2021?全國高一專題練習(xí)）/否（。＞0）可以化簡成（

132

A，a&B-a4C.aiD.q

【答案】B

【分析】

根據(jù)指數(shù)幕和根式的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化即可.

【詳解】

解:yjay/a='/a^=a，'

故選：B.

【變式訓(xùn)練3-2】.（2023秋?高一課前預(yù)習(xí)）J（%一5）2_y（2—萬甘=

【答案】3.

【詳解】而行了一苑二^7=|無一5|-（2—兀）=5-無一2+無=5-2=3.

【變式訓(xùn)練3-3】、（2021?全國?高一專題練習(xí)）將（晨.正工）t化成分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉為（

【答案】B

【分析】直接化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉，再利用指數(shù)塞的運(yùn)算法則即得.

_8_8_88

【詳解】小戶,-x3-=j]-=x*-=》i5.

、JIJIJ<>

故選：B.

（四）利用整體代換思想求值

例4、（1）、（2021.全國?高一單元測試）已知五+二=3,貝的值是（）

7a

A.47B.45C.50D.35

【答案】A

【分析】利用指數(shù)幕的運(yùn)算法則即求.

【詳解】?:夜占=3,

???(Q+Q1)="+4?+2=49,

Q?+Q2=47-

故選：A.

(2)、(2022秋,廣西玉林?高一?？计谥?已知1+貝IJV—r2=_______________

AIA-J

【答案】±21亞

【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，根據(jù)平方關(guān)系即可求得結(jié)果.

【詳解】由1可得=x+2+/=9,

AiA-J

I7

即％+=7,

又因為(X+]T)2=^X-X-1)2+4,

BP72=(X-X-')2+4,可得(x-ky=45

BPx-x-1=±375,

所以x?_x<=(x+xT)(x-x7)=7x卜3石)=±21>/5.

故答案為：±21石

【變式訓(xùn)練4-1】、(2022?新疆昌吉?高一期末)已知。+：=4,則/一等于()

A.2B.V2C.-V2D.+V2

【答案】D

<11V1]?

【分析】由a2-a2=a+--2,即可求出足一屋5的值.

\7a

【詳解】解：???。+,=4,

''—a5=±V2'

故選：D.

3_3

【變式訓(xùn)練4-2】、(2023?全國?高一假期作業(yè))已知加；+加彳_4,則“1一洸；的值是(

m2-m2

A.15B.12C.16D.25

【答案】A

【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】因為m5+相一5一4,

所以加+加一i=(加5+加5)2—2=16—2=14,

3_3i__j_

22_(m22)(m+m22+m-1)

m—m-m-m1

又由立方差公式,\_=m+l+m~=15，

m2—m2m2—m2

故選：A.

（五）指數(shù)基的綜合應(yīng)用

例5、（2023秋?高一課時練習(xí)）（1）計算:O.OOOM+275-^^2+(小

J.J.11

(2)化簡："'：一"：+〃：+〃：(加且

~2———

m+n2m2-n2

__._、314,、2(m+n]

【答案】(z1)—(2)△----

7m-n

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算可得答案;

（2）通分化簡計算可得答案.

【詳解】（1）0,000看+27、（若「+用

=（0.14戶+（3下一弓

川…一-

§+27=叁

=10+9—

77

/-、加2-n2m2+n2

⑵~~

m+n2m2—n2

2(加+〃)

m-n

21(11W]1lA

例6、(2023秋?高一課時練習(xí))(1)化簡：a3-b1-2a-b3+-a6b6(a>0,/)>0)；

IJ15)

（2）計算：（也2+/

23

【答案】（1）10。；（2）—

4

【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞運(yùn)算法則，底數(shù)相同的指數(shù)累分別運(yùn)算即可求得結(jié)果:

（2）將底數(shù)改寫成指數(shù)幕的形式再進(jìn)行運(yùn)算即可得結(jié)果.

【詳解】（1）涼.廬?2足加+―疝楨=lx2-r—\a^26,^2