廣東省2021年春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷九（含解析）

2021年廣東春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷（9）

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題（本大題共15小題，每小題6分，滿分90分）

1.己知集合力={。,。2,0},5={1,2},若Nc5={l},則實數(shù)。的值為（）

A.-1B.0C.1D.±1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)Nc8={l},得1?力，根據(jù)元素的互異性可知一1

【詳解】

因為Nc8={l},所以le4,

又。。/，所以且

所以°2=］,所以。=一1（a=l已舍），此時滿足NcB={l}.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.

2.若函數(shù)夕=/+（24-1）》+1在區(qū)間（一8,2］上是減函數(shù)，則實數(shù)4的取值范圍是（）

A.卜（,+8）B.。［ITD.卜唱

【答案】B

【解析】

【分析】

比較拋物線的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系得----->2,即可求得答案.

2

【詳解】

???函數(shù)y=/+(24-1)》+1是開口向上的拋物線，

二對稱軸為x=~—

2

\-2a

保證在區(qū)間(-8,2］上是減函數(shù)，則----->2

2

3(3'

?*.QW----即Q￡-00,----.

2I2」

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間判斷參數(shù)范圍，掌握二次函數(shù)圖像特征是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3.函數(shù)/(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】B

【解析】

【分析】

函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在其定義域上連續(xù)，同時可判斷f⑵<0,f(3)>0；從而可得解.

【詳解】

函數(shù)f(x)=lnx+2x—6在其定義域上連續(xù)，

f(2)=ln2+2?2-6=ln2-2<0,

f(3)=ln3+2?3-6=ln3>0；

故函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)上,

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計算，熟記定理，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題.

._sinacosa

4.已知向量值=(4sina,1—cosa),5=(1,-2)，若晨5=-2,則.--------一二()

2sin-a-cosa

21

A.1B.—1C.----D.----

72

【答案】A

【解析】

【分析】

1cinzyCOW(y

利用的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求出tana=-；,再將“產(chǎn)“"變形,用tana表示出來，代入

22sina-cosa

tana的值即可.

【詳解】

由￡.「=一2,得4sina-2(l-cosa)=-2,

整理得tana=-丄,

2

,sinacosatana7,

所以---------------=----------=—=1,

2sin2a-cos2a2tan2a-1丄_]

2~

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查正余弦齊次式的求解，是基礎(chǔ)題.

sincosR

5.在A48C中，角4民。的對邊分別為a,4c,若——=-----,貝ijcos8=()

4a3b

【答案】B

【解析】

【分析】

由正弦定理可得3sin5sin4=4sin/cosB,化簡后求出tan8,然后求出C0s8即可.

【詳解】

sinAcosB

*.*-:—=-......,3sin8sin/=4sinAcosB,

4。3b

sinA>0,/.3sin5=4cos5,

43

tan5=—,/.cosB=-.

35

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

6.下面結(jié)論正確的是()

A.若四邊形內(nèi)一點(diǎn)O滿足方+1=方+而，則N8C。是平行四邊形

B.若刃是單位向量，a=b

C.1=(3,5),[=(6,10),則[和可以作為一組基底.

D-若a-c="c,則3=5

【答案】A

【解析】

【分析】

對A化簡向量式可得到=而，可確定48c。是平行四邊形;

對B由單位向量的定義進(jìn)行判斷；

對C按基底的性質(zhì)判斷；

對D根據(jù)數(shù)量積的定義判斷；

【詳解】

由戸+雙=礪+而，得0=而，故四邊形43CD是平行四邊形，A正確；

單位向量未規(guī)定方向，故竄B不一定相等，B錯誤；

1=（3,5）,[=（6,10）,則]=2],]和村共線，不能作為一組基底，C錯誤；

若aB-c，則|）|cos<>=|5|cos<>，即2在m方向的投影與B在d方向的投影相

等，不一定有3=5,D錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的概念，向量的共線，數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.如圖，第（1）個圖案由1個點(diǎn)組成，第（2）個圖案由3個點(diǎn)組成，第（3）個圖案由7個點(diǎn)組

成，第（4）個圖案由13個點(diǎn)組成，第（5）個圖案由21個點(diǎn)組成，……，依次類推，根據(jù)圖案中

點(diǎn)的排列規(guī)律，第10個圖形由多少個點(diǎn)組成（）

A.89B.91C.95D.98

【答案】B

【解析】

【分析】

利用累加法求出數(shù)列的通項公式即可求解.

【詳解】

記此圖案的點(diǎn)數(shù)為{。“},%=1

則％=3-1=2=2x1,

%一出=7—3=4=2x2,

a4—a3=13—7=6=2x3,

?！币?。,1=2x（〃一1）,

將上式相加可得

an-%=2（1+2+3+■???-1）=2x-----------------=n~-n,

所以a,-n2-n+\,

所以旬）=1（）2-IO+I=9L

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了累加法求數(shù)列的通項公式，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12

8.已知實數(shù)加，“滿足2加+〃=2,其中〃"7>0,則一+―的最小值為（）

mn

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【解析】

實數(shù)m,〃滿足2m+〃=2,其中

121..12.1,.n4/〃、、1...n4m..上口舊出

加〃〉0A二一+—=—（2加+〃）（一+—）=—（4+—+--■）>—（4+2./一?-——）=4,當(dāng)且僅當(dāng)

mn2mn2mn2Vmn

n12

一=—,2m+〃=2,即〃=2m=2時取等號????一+—A選項是正確的.

mntnn

2加+〃=2化為L即丄（2加+〃）=1,.,.丄+2=丄（2加+〃）（-+-）.

2mn2mn

9.下列說法不疋確旳是（）

A.空間中，一組對邊平行且相等的四邊形是一定是平行四邊形；

B.同一平面的兩條垂線一定共面；

C.過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個平面內(nèi)；

D.過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直.

【答案】D

【解析】

一組對邊平行就決定了共面：同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面；

這些直線都在同一個平面內(nèi)即直線的垂面；把書本的書脊垂直放在桌上就明確了

10.已知點(diǎn)尸是直線3x+4y+5=0上的動點(diǎn)，點(diǎn)。為圓（8一2）2+（%2）2=4的動點(diǎn)，則歸的

最小值為（）.

199八529

A.—B.-C.-D.—

5595

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意可知，|P0|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑的差即為所求

【詳解】

解：圓（8一2）2+（歹一2）2=4的圓心為（2,2）,半徑為2,

則圓心到直線3x+4y+5=0的距離為矽+8+5|=19,

55

1Qo

所以\PQ\的最小值為y-2=|.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

11.用系統(tǒng)抽樣方法從編號為1,2,3,…，700的學(xué)生中抽樣50人，若第2段中編號為20的學(xué)生

被抽中，按照等間隔抽取的方法，則第5段中被抽中的學(xué)生編號為()

A.48B.62C.76D.90

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性，結(jié)合等差數(shù)列求解編號.

【詳解】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣等距性，所以各段中被抽中的學(xué)生編號依次構(gòu)成公差為黑=14的等差數(shù)列，

因此第5段中被抽中的學(xué)生編號為20+(5-2)x14=62,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查系統(tǒng)抽樣，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

12.把一個正四面體的骰子(它的4個面上分別寫有1,2,3,4)隨機(jī)拋兩次，記第一次的底面上

的點(diǎn)數(shù)大于第二次的底面上的點(diǎn)數(shù)為事件4則事件1的概率為()

1333

A.—B.—C.-D.一

161684

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)枚舉法列出所以的基本事件，再分析概率即可.

【詳解】

設(shè)第一次的底面上的點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)，第二次的底面上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)，列出如下的表格，共16個點(diǎn),

事件/對應(yīng)的點(diǎn)有6個，所以事件1的概率為$

168

1234

1(1,1)。，2)(1,3)(L4)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

故選:c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用枚舉法求解古典概型的問題，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知一個正方體和一個圓柱等高，并且側(cè)面積相等，則這個正方體和圓柱的體積之比為()

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)正方體的棱長為根據(jù)側(cè)面積相等，可得圓柱的底面半徑為火=’■,再根據(jù)體積公式可得答案.

71

【詳解】

設(shè)正方體的棱長為。，則圓柱的高為“，設(shè)圓柱的底面半徑為R，

則正方體的側(cè)面積為4a2,圓柱的側(cè)面積為2萬及々，

所以4/=2/rRa，所以火=—，

71

3-

所以正方體和圓柱的體積之比為Y—(2a\=--

7iR--a^-1—I4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方體和圓柱的側(cè)面積與體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，S“為｛q｝的前〃項和.若4，%，如成等比數(shù)列，則$=

()

7

A.-B.42C.49D.7

3

【答案】B

【解析】

【分析】

由％,牝，47成等比數(shù)列，可得%2=旳?％7,再利用等差數(shù)列的通項公式化簡可得6=0,再利

用等差數(shù)列前"項和公式即可得邑.

【詳解】

因為4，%，卬7成等比數(shù)列，

所以的2=4嗎7，

又｛對｝是公差為2的等差數(shù)列,

所以(q+4d>=(q+d)(q+16d)

即(％+8)2=(%+2)(%+32),

即16al=34q,可得：q=0,

7x6

所以5?=7q+;一xd=7x0+42=42,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比中項的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式和前〃項和公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.函數(shù)尸2Nsin2x的圖象可能是

【答案】D

【解析】

7T

分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在（5,兀）上的符號，即可判斷選擇.

詳解：令/(x)=2%in2x,

因為xe凡/(—x)=2卜討sin2(—x)=-2|x|sinlx=-/(x)，所以/(x)=2wsin2x為奇函數(shù)，排除

選項A.B;

因為Xeg,兀）時，/'（X）<O，所以排除選項c,選D.

點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右

位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）

由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

二、填空題

16.若sina<0且tana>0,則a是第象限角.

【答案】第三象限角

【解析】

試題分析：當(dāng)sinaVO,可知a是第三或第四象限角，又tana>0,

可知a是第一或第三象限角，所以當(dāng)sina<0且tana>0,

則a是第三象限角.

考點(diǎn)：三角函數(shù)值的象限符號.

17.已知向量￡、h>滿足忖=2,且￡.石=一1，則-否）=.

【答案】5

【解析】

【分析】

利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.

【詳解】

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得-%—（―1）=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)計算平面向量的數(shù)量積，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

X,3,

18.不等式組■x+y.O,表示的平面區(qū)域的面積等于.

x—y+2..0

【答案】16

【解析】

【分析】

畫出可行域并計算出三條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式計算出平面區(qū)域的面積.

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，經(jīng)計算得2（-1』）,8（3,-3）,。（3,5）,圍成的區(qū)域為三角形48。，故面積

為gx（5+3）x（3+l）=16.

故填：16.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線性約束條件表示區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

19.魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱

所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖所示），劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方

蓋”的體積之比應(yīng)為萬：4.若“牟合方蓋”的體積為3，則正方體的外接球的表面積為一

3

【答案】12萬

【解析】

【分析】

根據(jù)已知求出正方體的內(nèi)切球的體積，得到內(nèi)切球的半徑，根據(jù)正方體內(nèi)切球的直徑為其棱長，外

接球的直徑為其對角線，即可求解.

【詳解】

因為“牟合方蓋”的體積為日，

3

又正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為萬：4,

jr164

所以正方體的內(nèi)切球的體積憶理=一/一=一左，

433

所以內(nèi)切球的半徑r=l,所以正方體的棱長為2,

所以正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線即2R=26，

所以R=百，所以正方體的外接球的表面積為S=4兀R2=4萬(6)2=127.

故答案為：12*

【點(diǎn)睛】

本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查正方體與球的“內(nèi)切”“外接”問題，掌握它們之間的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

20.已知函數(shù)/(x)=6sin2x+cos2x-1(xe7?).

(1)寫出函數(shù)/(x)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；

____3

(2)在厶/臺。中，角48C所對的邊分別為〃，仇c,若f⑻=Q,BA.BC=3,且a+c=4,

求b的值.

【答案】(1)T=ri,kji----,kiH—,k&Z-(2)b=V7

36

【解析】

【分析】

(1)利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性直接求解即可;

uuruirar3

(2)由/(8)=0可以求出8,再由平面向量的數(shù)量積的定義可由848C=］求出改的值，結(jié)合

a+c=4、余弦定理可以求出6的值.

【詳解】

2萬

解：⑴/(x)=2sin2x+^—1,所以/(x)的最小正周期T=TT=乃，

|2|

yz')tyz]L

2k兀<2x+—<2k兀+—(kwZ)=%乃Wx?人》+—,(%wZ),

26236

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k兀一一，加■+—,k&Z.

_36_

(2)/(5)=2sin|25+-|-1=0,ifesinf25+-|=-,所以28+生=2左乃+生或

[6丿16丿266

7T57r

25+一一2k7i+—,k&Z,因為8是三角形內(nèi)角，所以8=—；

663

—-—■3

而歷1-8C=accos8=一，所以，ac=3,又a+c=4,所以巒+02=]0，所以，

2

b2-a2+c2-2acos5=7?所以b=行.

【點(diǎn)睛】

本題考查了輔助角公式，考查了正弦型函數(shù)的最小正周期和單調(diào)性，考查了余弦定理、平面向量數(shù)

量積的定義，考查了特殊角的三角函數(shù)值，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

21.如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2,CD=26,E、R分別是AB、PD的中

點(diǎn).

(1)求證：ZE丄平面PCD.

(2)求三棱錐P-EFC的體積.

【答案】(1)詳見解析；(2)述.

3

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)尸4丄平面NBCD可得CD丄PZ,結(jié)合C。丄ZO可得CD丄平面PZ。，從而

AF1CD,再根據(jù)"AD為等腰直角三角形及F為PD的中點(diǎn)得到AF丄PD，從而可證力口丄平

面尸CD.

(2)取PC的中點(diǎn)為G,連接尸G,EG,可證EG丄平面PFC,從而可計算

【詳解】

VPA=AD=2,F為PD中點(diǎn)、,：.AF1PD.

；P4丄平面488,又COu平面ABCD.

：.PA丄CD.

,:ADLCD,PAcAD=A,；,C￡)丄平面PAD.

AFu平面PAD.二AFA.CD.

：P￡>cC￡>=。，；.4尸丄平面尸CD.

(2)取PC的中點(diǎn)G,連接EG、GF,則GR〃C。，GF=-CD.

2

又EAIICD,EA=-CD,Z.AE//GF,AE=GF..?.四邊形/EGF為平行四邊形.

2

???EG〃/E,由(1)4/丄平面POC,；.GE丄平面尸CD，EG為三棱錐E—PRC的高.

又GF=AF=EG=BPF=；PD=6.

S*CF=；PFCD=2.

得三棱錐P-EFC的體積％=丄SzEG=—.

33

【點(diǎn)睛】

線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，也可由面面垂直得到，注意線在面內(nèi)且線

垂直于兩個平面的交線.