2024屆新高考數(shù)學一輪復習配套練習 直線、平面平行的判定及性質(zhì)

2024屆新高考數(shù)學一輪復習配套練習專題8.4直線、平面平行的判

定及性質(zhì)

練基礎(chǔ)

1.（2021?山西高一期末）對于兩個不同的平面a,夕和三條不同的直線a,b,J有以下幾個命題:

①若a/!b,bile,則?！╟;

②若a//a,blla,則a〃b；

③若ailb,blla,則alia；

④若a//a,allp,則a/0；

⑤若alia,?///?,則all/3.

則其中所有錯誤的命題是（）

A.③④⑤B.②④⑤C.②③④D.②③④⑤

2.（2021?江蘇高一期末）已知“，〃是兩條不重合的直線，a,夕是兩個不重合的平面，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.若"?//〃，mila,則〃//aB.若a丄/7,mVp,則加〃a

C.若加〃a,mll/3,則a//月D.若，〃丄a,〃丄a,貝1］相〃”

3.（2020?湖北開學考試）己知平面a//平面夕，直線加ua,直線〃u/，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.m1//?B.n!laC.milnD.加與"不相交

4.（2021?濟南市歷城第二中學開學考試）如圖，四棱錐P—ABCD中，M.N分別為AC,PC上的點,

且肱V//平面尸AO，則（）

A.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

5.【多選題】（2021?寧波市北侖中學高一期中）下列命題正確的是（）

A.若兩條平行直線中的一條直線與一個平面相交，則另一直線也與這個平面相交.

B.若兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，則另一直線也與這個平面平行.

C.過空間任意一點，可作一個平面與異面直線”力都平行.

D.若在空間內(nèi)存在兩條異面直線同時平行于平面則?！ㄊ?

6.【多選題】（2021?廣東湛江二H^一中高一期中）已知必，“，c為三條不重合的直線，a,4，/為三個

不重合的平面其中正確的命題是（）

A.mlIn,n//c=>mileB.mlly,nlly=>mlnI

C.mile,clla=>mHaD.meta,na,mHnnmHa

7.【多選題】（2020?佛山市第四中學高二月考）下列命題正確的是（）

A.平行于同一直線的兩條直線互相平行

B.垂直于同一平面的兩個平面互相平行

C.若a,"是兩個平面，maa,/?<=/?,m//p,n//a,則a〃4

D.若三棱錐A—BCD中，ABLCD,AC1BD,則點8在平面ACO內(nèi)的射影是AC。的垂心

8.（2021?大連市第一中學高一月考）已知，”，n,。是三條不同的直線，a,卩,/是三個不同的平面，

有下列命題：

_\mlln_

①"{=>mllp-②若mHa,m/屮,則a//￡；

[plIn

③〃?ua,niia,則機//〃；④直線直線”〃tz,那么m〃n；

⑤若m〃a,n〃0,，'購a"。；⑥若a〃[,夕〃y,貝ija〃夕.

其中正確的說法為（填序號）

9.（2020?云南省下關(guān)第一中學高二月考（文））如圖，在正三棱錐P-45c中，底面邊長為6,側(cè)棱長為5,

G、H分別為P8、PC的中點.

（1）求證：GH〃平面4BC：

（2）求正三棱錐P-ABC的表面積.

10.（2020?佛山市第四中學高二月考）如圖在正方體ABCD-AAGR中，M,N,P,Q分別是

AR，41耳，GA，8|C|的中點，求證

（1）MV〃平面PQ3。；

（2）平面4WN〃平面PQ8D.

練提升

1.（2020?全國月考）設(shè)加、〃是兩條不同的直線，a、〃是兩個不同的平面，已知mua,〃ua,則“小〃￡,

n//p”是“alip”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2021.山東高一期末）在正方體4BCD-AqG"中，E,F,G分別為。。，AB的中點，P為

底面A8C。上一動點，且直線〃平面ER7,則QP與平面A8CO所成角的正切值的取值范圍為（）

小丘

A.T萬B.爭

C.[1典

3.（2021?江蘇南京一中高一月考）如圖，正方體ABCD-A8cA的棱長為1,線段用。上有兩個動點E、尸,

且EFj則下列結(jié)論中正確的是（）

A.線段BQ上存在點E、F使得AE//BF

B.EFH^ABCD

C.丄4小的面積與一BE戶的面積相等

D.三棱錐A-BEF的體積不為定值

4.（2021?江西省分宜中學高二月考（理））點M,N分別是棱長為2的正方體ABCO-A4GA中棱BCCG的

中點，動點P在正方形BCG與（包括邊界）內(nèi)運動.若PA〃面AAW,則戶4的長度范圍是（）

5.【多選題】（2021?江蘇省鎮(zhèn)江中學高一月考）下列四個正方體圖形中，A8為正方體的兩個頂點，M,N,P

分別為其所在棱的中點，能得出鈿〃平面MNP的圖形是（）

6.（2021?珠海市第二中學高一期中）已知正方體中的棱長為2,是AG中點.

（1）求證：平面AQA〃平面DBC”

（2）設(shè)B片的中點為M,過A、M、G作一截面，交。A于點N,求截面AMGN的面積.

7.（2021?福建高一期末）如圖，在棱長為2的正方體A8C3-A4CR中，E,F,G,//分別為AQ,4用，

CP

BBl，4G的中點，點尸為線段CG上的動點，=/1（0<2<1）.

（1）是否存在4使得“P//平面EFG,若存在，求出2的值并給出證明過程；若不存在，請說明理由；

（2）畫出平面EFG截該正方體所得的截面，并求出此截面的面積.

8.（2021?山東高一期末）如圖，點。是正方形ABC￡>兩對角線的交點，￡）E丄平面ABC。，8b丄平面A8CD,

AB=BF=2DE,M是線段EF上一點，且MF=2ME.

（1）證明：三棱錐V-AC「是正三棱錐；

（2）試問在線段。尸（不含端點）上是否存在一點N,使得CN〃平面A8F.若存在，請指岀點N的位置;

若不存在，請說明理由.

9.（2019?河南高三月考（文））如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面丄平面ABC。，PA=PD，

AB=AD,PA丄PD，ADVCD,ZBAD=6Q-M.N分別為A￡>,Q4的中點.

B

（i）證明：平面8Amp平面pc。：

（II）若A￡>=6,求三棱錐尸―BMN的體積.

10.（2021?陜西高二期末（文））如圖，正三棱柱ABC-ABG中，D、E分別為CG、4圈的中點.

（2）若他=2,44=2夜，求點A到平面4。用的距離.

練真題

1.（2021?浙江高考真題）如圖己知正方體ABCD-AqGA,M,N分別是AQ,。刀的中點，貝U（)

A.直線A。與直線RB垂直，直線MN//平面A8C。

B.直線與直線AB平行，直線MN丄平面力蜴

C.直線A。與直線。石相交，直線MN〃平面

D.直線A。與直線RB異面，直線MV丄平面8。。円

2.（2018?浙江高考真題）已知直線粧”和平面&,“ua,貝廣瘋/〃”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（北京高考真題（理））設(shè)a,4是兩個不同的平面，心是直線且”?ua."”：￡”是“B”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2017?全國高考真題（文））如圖，在下列四個正方體中，A,6為正方體的兩個頂點，dN,0為所在

棱的中點，則在這四個正方體中，直線4?不平行與平面拉圖的是（）

5.（2019?全國高考真題（文））如圖，直四棱柱/脳-45G〃，的底面是菱形，AA,=A,AB=2,NBA店60°,

E,M,TV分別是6C,BB?的中點.

(1)證明：跳V〃平面C.DE-,

(2)求點C到平面G龍的距離.

6.(2017?全國高考真題(文))四棱錐P-ABCD中，側(cè)面卩4。為等邊三角形且垂直于底面ABQD,

AB=BC=LAD,NBAD=ZABC=90°.

2

(1)證明：直線3C//平面PAD;

(2)若△戶□)面積為2療，求四棱錐尸―ABC。的體積.

專題8.4直線、平面平行的判定及性質(zhì)

練基礎(chǔ)

1.(2021?山西高一期末)對于兩個不同的平面。，月和三條不同的直線。，b,J有以下幾個命題:

①若a//b,bHc,貝！|a〃c；

②若R/a,blla,則af/b；

③若ailb,blla,則alia；

④若a//a,aHP,則a〃/?；

⑤若a//a,otHp,則a〃4.

則其中所有錯誤的命題是()

A.③④⑤B.②④⑤C.②③④D.②③④⑤

【答案】D

【解析】

根據(jù)空間中直線平行的傳遞性，可判斷①；根據(jù)線線、線面、面面之間的位置關(guān)系即可判斷②③④⑤.

【詳解】

解：因為a/功，b//c,根據(jù)空間中直線平行的傳遞性，得a〃c,故①正確；

因為bHa,所以直線a,人平行，異面，相交均有可能，故②錯誤；

若a//Z>,blla,則a〃a或“ua,故③錯誤；

若a〃a,allp,則平面a/平行或相交，故④錯誤；

若a//a,allp,則a//夕或au￡,故⑤錯誤.

所以錯誤的命題是②③④⑤.

故選：D.

2.（2021?江蘇高一期末）已知山，”是兩條不重合的直線，a,夕是兩個不重合的平面，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.若加7〃，mHa,則〃〃eB.若a丄尸，mX.p,則m〃a

C.若，九〃a,mllp,則a〃/?D.若n?丄a,〃丄a,則zn//〃

【答案】D

【解析】

利用線面平行的性質(zhì)定理可以得到判定A錯誤的例子：利用面面垂直的性質(zhì)定理可舉出B錯誤的例子；利

用線面平行的判定定理可以舉出C錯誤的例子；利用線面垂直的性質(zhì)定理可知D正確.

【詳解】

若〃?//”,mlla,則"可能在a內(nèi)，只要過，〃作平面少與a相交，交線即可作為直線〃，故A錯誤；

若a丄/，，〃丄尸，則根可能在a內(nèi)，只要“在a內(nèi)垂直于兩平面a,￡的交線即有m丄6故B錯誤；

若mHa,ml1/3,則a,“可能相交，只要機不在a,夕內(nèi)，且平行于a,4的交線即可，故C錯誤；

若，"丄a,〃丄a,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，？，故D正確；

故選：D.

3.（2020?湖北開學考試）已知平面。//平面￡,直線mua,直線"u/，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.ml1（3B.n//aC.mllnD.加與〃不相交

【答案】C

【解析】

根據(jù)面面平行的的定義和性質(zhì)知：平面c//平面/，直線mua,直線〃u/，則〃n!/a,加

與〃不相交，

故選:C.

4.（2021?濟南市歷城第二中學開學考試）如圖，四棱錐P—A3C。中，M，N分別為AC，PC上的點,

且腦V//平面B4Z）,貝M）

A.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

【答案】B

【解析】

四棱錐P—ABC。中，M，N分別為AC,PC上的點，且MN//平面PAO，

MVu平面尸AC,平面Q4c平面B4￡>=Q4，

由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：MNHPA.

故選：B.

5.【多選題】（2021.寧波市北侖中學高一期中）下列命題正確的是（）

A.若兩條平行直線中的一條直線與一個平面相交，則另一直線也與這個平面相交.

B.若兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，則另一直線也與這個平面平行.

C.過空間任意一點，可作一個平面與異面直線。涉都平行.

D.若在空間內(nèi)存在兩條異面直線同時平行于平面a,￡,則a〃夕.

【答案】AD

【解析】

對A,利用反證法判斷即可；對B,根據(jù)線面位置關(guān)系判斷即可；對C,若點在其中一條直線上，此時作不

出一個平面；對D,利用線面平行的性質(zhì)定理及面面平行的判定定理判斷即可.

【詳解】

對A,記a//〃，a與a相交.

假設(shè)另一直線，與這個平面不相交，在平面a內(nèi)作直線c//6,則?！╟,但。與a相交，故a與c不平行，

這與a〃c矛盾，故A正確；

對B,若兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，則另一直線也與這個平面平行或在這個平面內(nèi)，故B

錯誤;

對C,當點在兩條異面直線中的一條上時，沒有平面與異面直線“力都平行，故C錯誤;

對D,若a//a,blla,a!1/3,b//p,如圖

過“作平面/分別交a,夕于c,",過b作平面5分別交a,夕于〃5,

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得a//c,alId,b//m,b!In,所以c//d,相〃”，

由面面平行的判定定理可得a///，故D正確.

故選：AD

6.【多選題】（2021.廣東湛江二十一中高一期中）已知“，n,c為三條不重合的直線，a,4，7為三個

不重合的平面其中正確的命題是（）

A.tn!In,n//c=>mileB.mlly,nlly=>mlIn

C.tnllc,d/a=>mHaD.m<Za,na,mlln=>mlla

【答案】AD

【解析】

對于A：直接根據(jù)平行的傳遞性，可以判斷；

對于B：由利〃y,nlly,貝?小”可以平行，相交，也會是異面直線即可判斷；

對于C：由mile,ella,則mHa或％ua即可判斷；

對于D：根據(jù)線面平行的判定定理可以判斷.

【詳解】

對于A：因為m//〃，〃//c由平行的傳遞性，可以得到〃"/c.故A正確；

對于B：mlly,nlly,則，小〃可以平行，相交，也會是異面直線.故B錯誤；

對于C：mile,clla,則，M/a或=a.故C錯誤；

對于D：m（za,na,，”//〃，根據(jù)線面平行的判定定理可以得到加〃a.故D正確.

故選：AD.

7.【多選題】（202。佛山市第四中學高二月考）下列命題正確的是（）

A.平行于同一直線的兩條直線互相平行

B.垂直于同一平面的兩個平面互相平行

C.若a,￡是兩個平面，mua,nu。,m///3,n//a,則a〃夕

D.若三棱錐A-8CD中，ABLCD,ACLBD,則點8在平面AC￡＞內(nèi)的射影是jACD的垂心

【答案】AD

【解析】

由平行公理判斷A；由面面垂直判斷B；舉特例判斷C；由邏輯推理可判斷D.

【詳解】

對于選項A：由平行公理可知A正確；

對于選項B：垂直于同一平面的兩個平面互相平行或相交，故B錯誤；

對于選項C：反例如圖，故C錯誤；

對于選項D：設(shè)點8在平面ACD內(nèi)的射影是。，連接B。，則80丄平面ACD,又COu平面ACD,所以

BOLCD,又AB丄8,且BOAB=B,所以CO丄平面AOB,又AOu平面AOB,所以C￡＞丄A0.同

理可證AC丄OO,所以點。是厶48的垂心.故D正確.

故選：AD.

8.（2021?大連市第一中學高一月考）已知加，?,。是三條不同的直線，a,0,y是三個不同的平面,

有下列命題：

…\mlln…」

①■{=>mlIp-②若mHa,ml/p,則a〃尸；

[pHn

③，“ua,nila,則，〃//〃；④直線機〃a,直線“〃a,那么加〃“；

⑤若，M/a,n//13,mj/n,則a//；⑥若a〃y,pHy,則a%.

其中正確的說法為（填序號）

【答案】①⑥

【解析】

利用線線平行、線面平行、面面平行的判定和性質(zhì)應(yīng)用，逐一判斷選項可得結(jié)論.

【詳解】

_[mlIn?

解：對于①，根據(jù)平行的性質(zhì)有：,,,即〃?〃P，故①正確；

對于②，由，"http://a,機//△得a//4或a,月相交，故②錯誤；

對于③，由加ua,〃//a,得加〃“，或〃?，"異面，故③錯誤；

對于④，由直線，”〃￡,直線〃〃a,可得m〃“，加，"異面，m'"相交，故④錯誤；

對于⑤，由機〃得a〃/或a，尸相交，故⑤錯誤；

對于⑥，若ally,pHy,由面面平行的傳遞性得a//￡,故⑥正確，

故答案為：①⑥.

9.（2020?云南省下關(guān)第一中學高二月考（文））如圖，在正三棱錐P-ABC中，底面邊長為6,側(cè)棱長為5,

G、H分別為尸8、PC的中點.

（1）求證：GH//平面A8C；

（2）求正三棱錐P-ABC的表面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）36+973.

【解析】

（1）由于G、H分別為PB、PC的中點，所以由三角形中位線定理可得G〃〃8C,再由線面平行的判定定

理可證得結(jié)論；

（2）由于正三棱錐的側(cè)面是等腰三角形，所以利用等腰三角形的性質(zhì)可求出側(cè)面面積，底面是正三角形，

利用面積公式可求出面積，從而可求出表面積

【詳解】

解：（1）證明：因為G、H分別為PB、PC的中點，

所以GH//BC,

又平面ABC,5Cu平面43C,

所以GH//平面A8C.

（2）設(shè)BC中點為。，連接尸

因為三棱錐P-ABC是正三棱錐，所以_P3C是等腰三角形，

所以PD丄BC,

在RfABD中

又BD=-BC=3,PB=5,PD=y）52-32=4'

所以正三棱錐側(cè)面積為3X（《X6X4）=36,底面積為丄x6x6xsin￥=9#,

223

所以正三棱錐P-ABC的表面積為36+9百

10.（2020.佛山市第四中學高二月考）如圖在正方體A8CO-A4GA中，M,N,P,Q分別是

AR,4g，aAG的中點，求證

（1）MN〃平面PQBD；

（2）平面AWN〃平面PQ8O.

【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

【解析】

（1）證得MN//PQ,進而由線面平行的判定定理可證得結(jié)果；

（2）由（1）可知，只需證明A用〃平面PQBO,進而由面面平行的判定定理可證得結(jié)果.

【詳解】

（1）連接。4,依題意知MN〃〃4，PQ//￡＞蜴，所以//尸。，又MVz平面PQBD,P。u平面PQBD,

所以初V//平面PQB。.

（2）連接MQ,依題意可知MQ〃AB,且MQ=AB,所以四邊形M4B。是平行四邊形，則AM//BQ,

又平面PQBO,8Qu平面PQ8O,所以A"http://平面PQBO

由（1）知〃平面PQ8。，且AA/cMN=M,故平面AMN//平面PQ8。.

1.（2020?全國月考）設(shè)加、”是兩條不同的直線，a、/3是兩個不同的平面，已知加ua,〃ua,則“血/，,

n//p”是“all/3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

充分性：已知加ua,〃ua,由于“//尸，n//p,若小〃〃，則。與￡不一定平行，充分性不成立；

必要性：已知加ua,“ua,若二〃/7,由面面平行的性質(zhì)可得相〃夕，n//p,必要性成立.

因此，“mlip,n//p”是“all/3"的必要不充分條件.

故選：B.

2.（2021?山東高一期末）在正方體A8CZ）-A￡Ca中，E,F,G分別為。R,A8的中點，尸為

底面A5c。上一動點，且直線2尸〃平面EFG,則QP與平面A5C。所成角的正切值的取值范圍為（）

A匡'

[3，：

C.[1,0]

【答案】B

【解析】

由題意知面￡FG在正方體ABCQ-A4G。上的截面為EFG”且“為。C中點，根據(jù)正方體、線面平行的性

質(zhì)，有P在8c上，即D尸與平面ABCD所成角為〃P。，進而可求其正切值的范圍.

【詳解】

由題意，如上圖示，面EFG在正方體AB8-ASGA上的截面為EF6“且“為DC中點,

,?RPH平面EFG,而面ABCD面EFG,

面ABC。,，又P為底面ABC。上一動點，則尸在8c上，

馬尸與平面A6C￡>所成角為ZDP。，

當尸與8重合時，ZDPR最小，此時tanN￡>BR=2^=Y^,

當尸與C重合時，⑷尸。最大，此時tanZDCA=*=l；

/?tanZDPD,€|—,1].

2

故選：B

3.（2021.江蘇南京一中高一月考）如圖，正方體ABCO-AgGD的棱長為1,線段8a上有兩個動點E、F,

且￡尸=:，則下列結(jié)論中正確的是（）

2

A.線段BQ上存在點E、F使得AE//BF

B.EF〃平面A8CD

C.亠AEF的面積與戶的面積相等

D.三棱錐A-BEF的體積不為定值

【答案】B

【解析】

利用異面直線的定義可判斷A；根據(jù)線面平行判定定理可判斷B；根據(jù)三角形的高不相等可判斷C；直接計

算體積可判斷D.

【詳解】

線段BR上不存在點E、F使得AE//BF,

因為A在平面用平面外，E在平面內(nèi)，

所以AE,8尸是異面直線，所以A不正確；

連接8。，幾何體是正方體，所以EF〃BD,BOu平面ABC。，平面A5C￡>,可知￡7=7/平面ABC。，

所以B正確.

D,

D

8到耳鼻的距離為=1,A到8a的距離大于上下底面中心的連線，

則A到四〃的距離大于1,

_AEF的面積大于亠3砂的面積，故C錯誤；

A到平面3D。耳的距離為立，3所的面積為定值，

2

...三棱錐A-3EF的體積為定值，故D不正確.

故選：B.

4.（2021.江西省分宜中學高二月考（理））點分別是棱長為2的正方體4BCO-A円GR中棱8C,CG的

中點，動點P在正方形BCCg（包括邊界）內(nèi)運動.若尸4〃面AAW,則PA的長度范圍是（）

A.[2,6JB.'，石C.F',3]D.[2,3]

【答案】B

【解析】

如圖，分別取陷的中點EI,連接放，4區(qū)4尸，則可證得平面4EF/面4WN,從而可得點戶在EF

上，從而可求出PA的長度范圍

【詳解】

解：如圖，分別取的中點E,F,連接￡F，AE，AF,FM,BQ,

則EF好G,

因為M,N是BC,CG的中點，所以MN3G，

所以EFMN,

因為EFU平面AMN,MNu平面AAW,

所以￡/乎一面AWN,

因為F是BC的中點，M是BC的中點，

所以府/4，F(xiàn)M=BBi，

因為AA|,AAf=BBl,

所以g,FM=A4),

所以四邊形FMAA為平行四邊形，所以AF/AM,,

因為AFU平面AMN,M4u平面4WN,

所以4尸膵面AMN,

因為AFcEF=尸，所以平面AEF平面4MN,

因為平面AEF平面AMN=EF,

所以點尸在EP上運動，使払〃面AMN,

因為A8CD-ABCQI的棱長為2,

所以AE=AF=^,EF=&

所以當點P與E或F重合時，PA最長，當點P在EF的中點時，PA最短,

払的最小值為］的—快=￥，

所以PA的長度范圍是￥，行，

故選：B

5.【多選題】（2021?江蘇省鎮(zhèn)江中學高一月考）下列四個正方體圖形中，A8為正方體的兩個頂點，M,N,P

分別為其所在棱的中點，能得出4?〃平面MNP的圖形是（）

【答案】AD

【解析】

對于A通過線面平行判定定理即可判斷;對于B找到AB與平面例NP內(nèi)某一直線相交即可;對于C找到A8

平行線與平面MNP內(nèi)某一直線相交即可；對于D通過線面平行判定定理即可判斷.

【詳解】

對于A,如下圖所示，根據(jù)正方體性質(zhì)易證得又因為MNu平面MNP,平面MNP,所以A8〃

平面MNP.故A正確；

對于B,如下圖所示，在平面A3A/N內(nèi)，與MN相交，又因為MNu平面MNP,A3（z平面MNP,所以

A3與平面MN尸相交，故B錯誤；

M

對于C,如下圖所示，易證45//QM,由于QM與平面MNP相交，則AB與面肱VP相交.故C錯誤;

對于D,如下圖所示，由正方體性質(zhì)易證得A8〃CD,由中位線定理知MP〃CD,所以A3〃用P,又因為MPu

平面MNP,A3<z平面MNP，所以AB//平面MNP.故D正確.

故選:AD

6.（2021?珠海市第二中學高一期中）已知正方體48CD-A8cA中的棱長為2,。1是AG中點.

(1)求證：平面AOQJi平面DBC］；

(2)設(shè)的中點為M,過A、M、G作一截面，交。A于點N,求截面AMGN的面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)2栃.

【解析】

(1)連接AC,8。，若AC8。=O,連接0G，由平行四邊形的性質(zhì)及線面平行的判定易得AO}//平面DBR、

〃平面DBC1,根據(jù)面面平行的判定即可證平面AO|R〃平面D3C”

(2)連接A",C,M,設(shè)平面AMG與平面例，。交于AN,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得四邊形AMC”為平

行四邊形，結(jié)合正方體的性質(zhì)易知四邊形4"GN為菱形，再求出對角線MN、AC-即可求截面的面積.

【詳解】

(1)如圖，連接AC,BD,若AC30=0,連接。G，

由A4,//CG，AA=CC，可得四邊形AAGC為平行四邊形,

二AC〃AG，又G?=AO,

，四邊形4OG。為平行四邊形，即4?〃G。，而4。c平面DBC],CQu平面D3C1,

?.AO//平面DBG,

同理，48GR是平行四邊形，即AR//BG，而AR<z平面D3C1,^Gu平面D3C1,

AD,//平面DBC{,而401c4R=A,

二平面AOQ〃平面OB。.

(2)連接AM,CXM,平面AM&與平面伍RD交于AN,

由平面肌。力〃平面88CC，且平面1平面B8CC=GM,平面4WGl平面

：.CtM//AN,同理有4M//GN,即四邊形4"GN為平行四邊形，

在向4砌與心中，易知4M=GM,即四邊形AMCN為菱形，故N為。。的中點.

???正方體48CD-A&G。的棱長為2,

:.MN=26AC,=722+22+22=2^3.

截面面積S=-x2?x2>/3=2限.

2

7.(2021?福建高一期末)如圖，在棱長為2的正方體ABCO-ABCA中，E,F,G,//分別為AR，厶岡，

CP

BB-8G的中點，點P為線段CG上的動點，R—=A(O<A<1).

D,

（1）是否存在4使得HP//平面EFG,若存在，求出4的值并給出證明過程;若不存在，請說明理由:

（2）畫出平面EFG截該正方體所得的截面，并求出此截面的面積.

【答案】（1）存在，證明見解析；（2）畫圖見解析；3耳

【解析】

（1）取GR中點K,由面面平行的判定定理即可證明平面"PK//平面EFG,即可得到HP//平面EFG時

4的值.

（2）畫出截面，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)即可求出截面的面積.

【詳解】

解：（1）當4=丄時，H尸〃平面EFG.

2

取GA中點K，連接HK，PK,B\D,,則"K//BQ,EFUB、D、,

如圖所示:

故HKIIEF,

又〃長工平面瓦6,瓦七平面后林；，

:.HK//平面EFG,

同理，PK"平面EFG,

又HKPK=K,HK,PKu平面HPK,

故平面HPK//平面EFG,

HPu平面HPK,

〃平面EFG；

（2）平面EFG截正方體A8CD-48CQ的截面為正六邊形EFGRSRT,

如圖所示:

又正方體ABCO-AACQI的棱長為2,

故正六邊形EFGRSRT邊長為Q,

二截面面積為：6x^^x（&）=30.

8.（2021?山東高一期末）如圖，點。是正方形ABC。兩對角線的交點，OE丄平面ABC。，BF丄平面ABCO,

AB=BF=2DE,M是線段EF上一點，且MF=2ME.

（1）證明：三棱錐M-4b是正三棱錐；

（2）試問在線段。F（不含端點）上是否存在一點N,使得CN〃平面A8尸.若存在，請指出點N的位置；

若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)正三棱錐的定義即可證明；

（2）利用反證法，由C。〃平面A8尸，假設(shè)存在這樣的點N,使得CN〃平面ABF,推出平面COF〃平面ABF,

與平面CDF和平面A8F是相交平面矛盾，即可求解.

【詳解】

解：（1）證明：設(shè)AB=BF=2DE=2a,

則AF=FC=AC=2>/^

二尸C是正三角形，

如圖所示：連接FO,E0,

OD=OB=y/2a，

0E=拒a,OF=*>a,EF-3a,

在口OEF中，由06+0尸=￡尸知：OELOF.

又,￡應(yīng)丄平面A3CE>,

:.DE丄AC,

VAC±BD,BDcDE=D,

：.AC丄平面。OE,

:.ACLOE.

又.AC,OFu平面ACF,ACr>OF=O,

：.OE丄平面AC尸，

在線段。尸上取點G,使得。G:G尸=1:2,

則點G是△人人7的重心，也就是△AFC的中心,

連接MG,則MG/7OE,

二MG丄平面ACF,

，三棱錐M-ACF是正三棱錐；

(2):平面C￡>尸與平面A8尸有公共點尸，

故平面C。尸與平面A8F是相交平面，

CD//AB,CD<t平面ABF,AB1平面ABF,

8〃平面ABF,

假設(shè)存在這樣的點N，使得CN〃平面ABF,

?點N與點。不重合，

.?.CD與CN是相交直線，

又QCD〃平面ABF,CN〃平面A8F,且COu平面CDF,CNu平面COF,

二平面CDF//平面ABF,

這與平面CDF和平面ABF是相交平面矛盾，

二不存在一點N,使得CN〃平面ABF.

9.(2019?河南高三月考(文))如圖，在四棱錐尸一/WC。中，平面24。丄平面ABC。，PA=PD,

AJ3=AD,PAYPD,AD±CD,/區(qū)4。=60，M.N分別為AZ),Q4的中點.

B

(I)證明：平面BMNP平面PCD；

(II)若AO=6,求三棱錐P-BAW的體積.

【答案】(I)證明見解析；(H)為8

4

【解析】

(I)連接8。，,AB=AD，ABAD=60，為正三角形.

..?A/為AO的中點，ABM1AD.

VADYCD,8,u平面A8CD,二PCO.

又BMa平面PCD,CDu平面PCD,；.BM〃平面PCD.

,：M，N分別為AO,Q4的中點，，MNPP。.

又朋Nu平面PCD,PDu平面PCD,；.MN〃平面PCD.

又BM,MNu平面BMN,BMMN=M,

平面HWNP平面PCD.

PJ

(II)在(I)中已證8W丄A￡>.

?平面2AZ)丄平面ABC。，u平面ABCD,二8W丄平面BID.

又4)=6,NBAD=6。，：?BM=3日

在Aft4D中，：PA=P￡>,PAA.PD,:.PA=PD=JAD=3&.

2

VM.N分別為A。，Q4的中點，

1117r-\29

...\PMN的面積S&PMN=W^APAD=4X2X)=W，

11Qr-9、6

...二棱錐P—BMN的體積Vp_BMN=VB_PMN=zS.MN,BM—--x—x3>/3=----

3344

10.（2021.陜西高二期末（文））如圖，正三棱柱A8C-4BC中，。、E分別為CG、A蜴的中點.

Bi

（1）證明：GE〃平面4。四;

（2）若他=2,懼=2&,求點4到平面A。用的距離.

【答案】(1)證明見解析；(2)3.

3

【解析】

(1)本題可連接兒8與交于點0,連接0。、0E,然后根據(jù)三角形的中位線法則得出OE〃8g,

根據(jù)。是CC中點得出。,DC,即可得出OO//EG，最后通過線面平行的判

定即可得出結(jié)果；

(2)本題可作A”八A4,通過線面垂直以及面面垂直的判定得出平面AOA丄平面A4BA,然后根據(jù)面面

垂直的性質(zhì)得出A4丄平面AOM，則AH長即點A到平面AO用的距離，最后通過等面積法即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)如圖，連接AB與AB1交于點。，連接。。、0E,

Br

因為三棱柱ABC-44G是正三棱柱,

所以四邊形4880是矩形，。是4護中點，

因為E是AN的中點，所以O(shè)E〃陰，0E=；叫，

因為。是CC、中點，所以DCt//BB、,DC\=—BB、,

故OCJ/OE,DCt=OE,四邊形OECQ是平行四邊形，OD//EQ,

因為0/)u平面A。%GEtZ平面所以CE〃平面4。月.

(2)如圖，作A”人AB-

因為三棱柱ABC-A5.C,是正三棱柱，

所以底面三角形是等邊三角形，側(cè)棱垂直于底面，

A

易知AA丄GE，MCXE,

因為AB|CA4,=A，所以C|E丄平面4隹區(qū)4,

因為0￡>〃EG，所以O(shè)￡）丄平面4円氏4,

因為0￡>u平面ADB-所以平面4。耳丄平面A48A,

因為平面4。4?平面4耳區(qū)4=Ag,AHA44，A"u平面4円區(qū)4,

所以A"丄平面ADB,,A"長即點4到平面ADB,的距離，

AB=2,M=272,則為與=2,做=26,

根據(jù)等面積法易知，4”=訣產(chǎn)，解得A，=半，

故點A到平面ADBt的距離為2西.

3

練真題

1.（2021.浙江高考真題）如圖已知正方體ABC。-A4G。，M,N分別是A。，的中點，貝ij（）

A.直線A。與直線RB垂直，直線MN〃平面A8C￡>

B.直線A。與直線RB平行，直線MN丄平面8?！?gt;円

C.直線與直線RB相交，直線MN//平面ABC。

D.直線與直線RB異面，直線MN丄平面耳

【答案】A

【解析】

由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證MN//AB，4。丄平面A8。，即可得出結(jié)論.

【詳解】

連A。，在正方體ABC。-ABC。中,

M是A。的中點，所以M為AQ中點,

又N是。出的中點，所以MN//AB,

MV<2平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

因為A8不垂直80,所以MN不垂直3。

則MN不垂直平面8304,所以選項B,D不正確;

在正方體A8CO-A8CQ中，AR丄A。，

AB丄平面44,2。，所以A8丄AQ,

A"cAB=A,所以4。丄平面A3。，

"Bu平面A8R,所以4。丄。8,

且直線A2R2是異面直線，

所以選項C錯誤，選項A正確.

故選：A.

2.（2018?浙江高考真題）已知直線相，”和平面a,“ua,則“血/"”是“m〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

從充分性和必要性兩方面分別分析判斷得解.

【詳解】

直線加,〃和平面a,〃ua,若m//〃，

當mua時，曲/a顯然不成立，故充分性不成立；

當”?〃a時，如圖所示，顯然相〃”不成立，故必要性也不成立.

所以“m//n”是“m//a”的既不充分又不必要條件.

故選：D

3.（北京高考真題（理））設(shè)a,夕是兩個不同的平面，旭是直線且mua.““：尸”是“a尸”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

試題分析：2口,〃：尸得不到a尸，因為必尸可能相交，只要明和4尸的交線平行即可得到”：8；

a尸，oua,.?.中和萬沒有公共點，"即a尸能得到"：B”是“aB”的

必要不充分條件.故選B.

4.（2017?全國高考真題（文））如圖，在下列四個正方體中，A,6為正方體的兩個頂點，也N,0為所在

棱的中點，則在這四個正方體中，直線不平行與平面也監(jiān)的是（）

【答案】D

【解析】

對于選項4由于AB//NQ,結(jié)合線面平行判定定理可知A不滿足題意;

對于選項8,由于48〃,的,結(jié)合線面平行判定定理可知6不滿足題意;

對于選項C,由于結(jié)合線面平行判定定理可知C不滿足題意;

對于選項〃，由于直線46不平行與平面/Q滿足題意.

故答案為：D

5.（2019?全國高考真題（文））如圖，直四棱柱/閱”4842的底面是菱形，/4=4,/廬2,N血分60°,

E,M,N分別是8GBB?4M的中點.

（1）證明：腸V〃平面3DE；

(2)求點C到平面&〃￡的距離.

【答案】(1)見解析；(2)生叵.

17

【解析】

(1)連接ME，B?

M,E分別為8C中點,ME為兇由C的中位線

/.ME//B。且ME=^B]C

又N為A。中點，且:.ND〃B[C且ND=；BC

■1.ME/JND四邊形MNDE為平行四邊形

：.MNHDE,又肱Vo平面OEu平面

.?.価//平面6。后

(2)在菱形ABCZ)中，七為BC中點，所以DE丄BC,

根據(jù)題意有。E=百，0￡=丿萬，

因為棱柱為直棱柱，所以有OE丄平面

所以O(shè)E丄EG，所以S2EG=g*6xj萬,

設(shè)點C到平面C,DE的距離為d,

根據(jù)題意有%-C￡>E=^C-C,D￡，則有—X—XXJmXd=二X-X1XX4,

3232

解得d=;=生叵

V1717

所以點C到平面CQE的距離為耳2.

6.（2017?全國高考真題（文））四棱錐尸-A8C。中，側(cè)面24。為等邊三角形且垂直于底面AB8,

AB=BC=-AD,/BAD=ZABC=90°.

2

（1）證明：直線3C//平面PAO;

（2）若△PC。面積為24，求四棱錐P