2023年湖南省五市十校教研教改共同體高一年級下冊學期期末數(shù)學試題（含解析答案）

絕密★啟用前

五市十校教研教改共同體?2022年上學期高一期末考試

數(shù)學

命題：天壹名校聯(lián)盟命題組審題：南縣一中郭勁松

本卷子共4頁.全卷總分值150分，考試時間120分鐘.

考前須知：

1.答題前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在本卷子和答題卡上.

2.答復選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；答復非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本卷子上無

效.

3.考試結束后，將本卷子和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：此題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的四個選項中，只有一

項為哪一項符合題目要求的.

1.設集合A/={x|x=2〃,"eZ},N=1x|x=2?+1,MeZ1,P={x|x=4〃,〃eZ},則（）

A.MUPB.P^MC.NcP#0D.MPlNw。

（答案）B

（解析）

（分析）利用交集的定義和相等集合的定義即可直接得出結果.

（詳解）因為朋■={x|x=2”，MeZ|,

N={x|x=2〃+1,neZ1,

P={x|x=4〃，〃eZ},

所以"HP,P（JM,NCP=0,MHN=0.

應選：B

2.已知某射擊運發(fā)動每次擊中目標的概率都是0.8.現(xiàn)采納隨機模擬的方法估量該運發(fā)動射擊3次，至少擊

中2次的概率，先由計算器輸出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0.1表示沒有擊中目標，2,3,4,

5,6,7,8,9表示擊中目標.因為射擊3次，故以每3個隨機數(shù)為一組，代表射擊3次的結果，經(jīng)隨機模

擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：

572029714985034437863964141469

037623261804601366959742671428

據(jù)此估量，該射擊運發(fā)動射擊3次至少擊中2次的概率約為（）

A.0.8B.0.85C.0.9D.0.95

（答案）C

（解析）

（分析）應用列舉法寫出全部含0,1至多1個的隨機數(shù)，利用古典概型的概率求法求概率即可.

（詳解）20組隨機數(shù)中含0,1至多1個的隨機數(shù)為：572,029,714,985,034,437,863,964,469,

037,623,261,804,366,959,742,671,428共18組.

1o

所以該射擊運發(fā)動射擊3次至少擊中2次的概率約為一=0.9

20

應選：C

冗

3.設0<。<,，a=cos20-6=2.‘，c=log2cos則a,h,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<h

（答案）D

（解析）

（分析）依據(jù)題意和三角函數(shù)的性質可得0<cos9<l,結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性求出陰c的范

圍，即可得出結果.

JT

（詳解）因為0<。<一,所以0<cos6<l,

2

則0<Q=COS2。<1，

6=2。-2°=1，

c=log2cos0<log21=0,

所以c<a<b,

應選：D

4.已知函數(shù)/（x）=bg.（x—b）且awl,a,b為常數(shù)）的圖象如圖，則以下結論正確的選項是

A.a>0>b<-\B.a>0,-\<b<0

C.0<a<l,<-1D.0<a<l,-\<b<0

（答案）D

（解析）

（分析）依據(jù)函數(shù)圖象及對數(shù)函數(shù)的性質可求解.

（詳解）因為函數(shù)/（x）=log“（x—b）為減函數(shù)，所以0<“<1

又因為函數(shù)圖象與x軸的交點在正半軸，所以x=l+6>0,即6〉一1

又因為函數(shù)圖象與V軸有交點，所以Z><0,所以一1<6<0,

應選：D

5.假設sin（鄉(xiāng)-a]=，，則cosf[-2a]=（）

I1

A.2B.--T

（答案）A

（解析）

（分析）利用二倍角公式計算可得；

（詳解）解：因為sin（二—a]=二,

應選：A.

6.已知|q,b,ceR,在以下條件中，使得a<6成立的一個充分而不必要條件是（

A.a3<yB.ac1<hc2C.—>7D,a2<b2

ab

（答案）B

（解析）

（分析）由充分而不必要條件的定義，再結合不等的性質依次推斷即可.

（詳解）對于選項A,/<〃是。成立的一個充要條件，即選項A不符合題意;

對于選項B,由可知cwO,則a<b,反之不成立，即選項B是a<b成立的一個充分而不

必要條件，即選項B成立；

對于選項C,假設。>0,b<0,滿足但是。<6不成立，即選項C不符合題意；

ab

對于選項D,由/</,不能推斷的大小關系，即選項D不符合題意.

應選：B.

（點睛）此題考查了不等式的性質、充分而不必要條件的推斷，屬于根底題.

7.函數(shù)/（x）=sin仁x）-logo,2x（x〉0）的零點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

（答案）C

（解析）

（分析）由/（x）=0得5m0嗨.2%,再在同一坐標系下畫出函數(shù)y=$出（e］，y=嗨々x的圖像，

觀察函數(shù)的圖像即得解.

（詳解）解：令/（幻=0得sin（/x）=logo.2X,

在同一直角坐標系內畫出函數(shù)歹=sin—x和y=loga2X（x>0）的圖象，由圖象知，兩函數(shù)的圖象恰有

\2J

3個交點，即函數(shù)/（x）有3個零點，

應選：C.

8.設A,B,C,。是平面內四個不同的點，且（方+而）（181方+|/邳而）=0,則向量還與

CD（）

A.同向平行B.反向平行

C.相互垂直D.既不平行也不垂直

（答案）B

（解析）

（分析）設卜q=x,|。。卜y（x>0）>0）,則對原式化簡可得（x+y）（茄?麗+9）=0,從而有

~ABCD+xy=｛），進而可推斷出在與而的關系

（詳解）設以q=x,|CZ）卜?。▁>0,y>0）,

則原式可化為（在+函存+x而）=0

即y（方『+》（而丫+@+田方.而=o，即（x+y）（刀.而+動=0

所以在.而=-|萬口而’

所以萬與而反向平行，

應選：B

二、多項選擇題：此題共4小題，每題5分，共20分.在每題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，局部選對的得2分，有選錯的得0分.

9.對于任意兩個向量以下命題正確的選項是（）

A.R+忖|+WB.|1,眼第

C.卜刑業(yè)口qD.假設H>W，則

（答案）AC

（解析）

（分析）由向量的概念、加法、減法和數(shù)量積運算依次推斷4個選項即可.

（詳解）對于A,卜+3日同+同顯然正確；對于B,當為非零向量，且工」，時，顯然

,一可=2.卜.|一呵=0'B錯誤;

對于C,向*問卡際小同明爾切眼網(wǎng)C正確；對于D,向量無法比擬大小，D錯誤.

應選：AC.

10.以下命題中正確的選項是（）

A.假設復數(shù)z滿足彳eR，則zeRB.假設復數(shù)z滿足eR,則zeR

C.假設復數(shù)z滿足Z230,則zeRD.假設復數(shù)z滿足,則zeR

z

（答案）ACD

（解析）

（分析）利用復數(shù)分類可推斷AB；利用z2=42+b2+2qbiN0,分。=0、6=0商量可推斷C；

ab

i利用復數(shù)的分類可推斷D.

za1+b2a2+b2

(詳解)設復數(shù)z=a+bi(a,beR),i是虛單位.

對于A,由TeR得力=0,則zeR，所以A正確；

對于B,取2=i,可得23=1，所以B不正確；

對于C,由z?=/+〃+2abi20，故。6=0,

假設。=0則2=6，z2=-62<0.所以

假設b=0,則z=aeR,所以C正確；

1a-biabi

對于D'因為片(a+bi)("bi)=/7*77L，由二R得,b=。，所以D正確.

應選：ACD.

11.已知直線*=工是函數(shù)/卜)=5叫2》+夕)(0<夕<乃)的一條對稱軸，則(〕

6

A.點信0)是函數(shù)/(x)的一個對稱中心

B.函數(shù)/(x)在上單調遞減

|_63

C.函數(shù)y=/(X)的圖像可由歹=sin2x的圖像向左平移1個單位長度得到

D.函數(shù)丁=/(x)與g(x)=sin(2x-小的圖像關于直線x=~對稱

(答案)BD

(解析)

7T

(分析)依據(jù)題意和三角函數(shù)對稱軸的定義求得。=:，進而求得函數(shù)/(X)的解析式，利用整體代換法、

6

代入檢驗法和正弦函數(shù)的單調性依次推斷選項即可.

(詳解)因為直線x=5是函數(shù)/(x)=sin(2x+e)(0<°<7T)的一條對稱軸，

6

所以2x—(p—kjrH—，keZ,(p——，

626

故函數(shù)/(x)=sin(2x+7),因為/仁)=$1吟=1wO,所以A錯誤；

,「424],7T7T3乃

當xe時，2x+—€—,

163」622

所以函數(shù)/.（x）在f,2f上單調遞減，故B正確；

1_63

函數(shù)y=sin2x的圖像向左平移2個單位長度

得到函數(shù)少=5足12》+1^的圖像，所以C錯誤；

因為—=sin[2（]—》）+‘=sin=-sin2x-=sin2x-^=g（x）,所以D

正確，

應選BD.

12.在正三棱柱/8C—4AG中，AB=AAi=1,點尸滿足萬=而+4環(huán)+〃瓦瓦，其中

則以下說法正確的選項是（）

A.當4+〃=1時，則存在點P,使得。尸〃84

B.當4+〃=1時，則存在點尸，使得8,P,G三點共線

C.當彳=；時，則存在點尸，使得4，B[,C,P四點共面

D.當〃=1?時，則存在點P,使得&814P

（答案）BCD

（解析）

（分析）直接利用異面直線的定義和線面垂直及面面垂直的充要條件和平面向量的共線的應用推斷各項的

結論.

（詳解）由題知麗=/脛+〃西，/le[O,l],//e[0,1],

對于選項A和B,當X+〃=l時，點P在線段與。上，故直線CP與84異面，所以A錯誤；

當尸為線段用。的中點時，B,P,G三點共線，所以B正確；

對于選項C,當4時，取線段BC、4G的中點分別為“，,連接

因為8P=Q8C+〃8A，即麗=〃84，所以MP〃BB],則點P在線段上.

當尸位于腦弘與耳。的交點處時，4，5,,C,尸四點共面，所以C正確；

1…一■-1'…

對于選項D：當〃=5時，取CG的中點4，的中點。，因為BP=2BC+—BBrDP=XBC，所

22

以而〃前，則點尸在線段0。上，當點尸在點2處時，取NC的中點E，連接4E，BE,因為

8￡1平面ZCG4,又平面ZCG4,所以

在正方形/C￡4中，4Di±AE,又BEcA]E=E,BE,Zgu平面/田后.

故平面48E,又Nfu平面4BE,所以48_LZA，所以D正確，

應選：BCD.

三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.

13.設z=」一+i（i為虛數(shù)單位），則團=.

1+z

（答案）—

2

（解析）

（分析）

依據(jù)復數(shù)除法運算法則，結合復數(shù)模公式進行求解即可.

故答案為：也

2

（點睛）此題考查了復數(shù)除法的運算法則和復數(shù)模的計算，考查了數(shù)學運算能力.

14.假設|5卜1,|礪|=4,抄.沆=2,則以。4，08為鄰邊的平行四邊形的面積是.

（答案）2百

（解析）

（分析）依據(jù)數(shù)量積定義可得NZ03,然后由三角形面積公式可得.

UUULU

（詳解）由。4.O8=4cos44。8=2得COS4O8=5，

7t

因為0WN4O￡W;r,所以24。8二一，

3

于是該平行四邊形的面積S=2Sp°謖=2x,xlx4xsinM=2G.

故答案為：2也

15.已知圓錐的底面半徑為行，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的內切球（球與圓錐的底面和側面均

相切）的外表積為

（答案）4萬

（解析）

（分析）依據(jù)已知先求母線長，再結合軸截面可得半徑，然后可得.

（詳解）有題意可知，PA?兀=2U兀，所以P4=2百

所以，圓錐的軸截面是邊長為2G的正三角形，圓錐的內切球的半徑等于該正三角形的內切圓的半徑，

所以R=OZ）=NQtan/O/D=百xtan300=l，

所以該圓錐的內切球的外表積為4萬.

故答案為：4萬

16.拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個幾何定理："以任意三角形的三條邊為

邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形

稱為拿破侖三角形）的頂點”.在口Z8C中，己知N4C8=30。，且AB=>5—1，現(xiàn)以5C,AC,AB

為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為4,B',C,則V/'B'C'的面積最大值為

（答案）立L也

33

（解析）

（分析）設口/6C的三個內角A,B,C的對邊分別為4,b,C,連接Z'CB'C,則NHC8'=90°,

由等邊三角形的性質可求出HC,8'C,從而可求出在口N8C中，利用余弦定理結合根本不等式可

得/+此,4,從而可求出V/8'C'的面積最大值

（詳解）設口/8C的三個內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.

連接則由題設得，ZA'CB'=9Q°,

因為以8C,AC,為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為H,B',C,

grpr,_^3,2_V3,_V3

所以/ACr=—hx-=—b‘BC=—a,

2333

所以A'B'二叵曲不

3

在口中,由余弦定理可得/+〃一2abcos30°=c2

即/+/）2一屈b=4-2百

22122

7a+b.a+b--（4-273）a+b

乂CID.,-------,?-----------.......-------

2右”2

即/+尻,4（等號當a=b=正時成立），

由題意可得為等邊三角形,

故s；（小今（=與

故答案為：B

3

四、解答題：此題共6小題，共70分.解容許寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

71341

17.已知函數(shù)/(x)=sin|x+—|cos|x++-

42

(1)商量函數(shù)y=/'(x)的周期性和奇偶性;

(2)假設/(a)=；,ae(0,7)，求。的值.

(答案)⑴函數(shù)/(x)是周期為〃，為奇函數(shù)

,、7兀-1\7l

(2)a=一或。=---

1212

(解析)

(分析)(1)依據(jù)兩角和的正、余弦公式和同角三角函數(shù)的根本關系以及二倍角的正弦公式可得

/(x)=-1sin2x,結合〃x+%)=〃x)、/(-x)=-T(x)即可得出函數(shù)的周期與奇偶性;

(2)由(1)可得sin2a=-；,結合角的取值范圍即可求出結果.

(小問1詳解)

7C341

/(x)=sin|x+—|cos|x++—

42

=#(sinx+cosx)

cosx+sinx)+-

'2

=--(sinx+cosx)2+—=sin2x,

2V722

因為/(x+萬)=一；sin2(x+萬)=一；sin2x=f(x)

/(-x)=_；sin(_2x)=|sin2x=-f(x)

所以函數(shù)/(X)是周期為〃，為奇函數(shù);

(小問2詳解)

由/(a)=」，得一」sin2a='，B|Jsin2a=--

4242

因為ae(0,7),所以2a€(0,2%),

于是2a=2L或2==小

66

,,7?！?\n

故夕=—或1=---

1212

18.如圖，在長方體/88-48CQ中，E,尸分別是線段44，8c的中點.

（1）證明：EE〃平面44CC；

（2）假設Z8=8C=2,直線E尸與84所成角的余弦值是立，求四面體8￡尸司的體積.

3

（答案）（D證明見解析

⑵-

6

（解析）

（分析）（1）設G為48的中點，連接EG、FG,則EG〃力4、FG//AC,利用面面平行的判定定理

即可證明：

（2）由（1）知/GEP是異面直線瓦'與8瓦所成角，解三角形得EG=1,結合三棱錐的體積公式計算即

可.

（小問1詳解）

設G為的中點，連接EG,FG,

則EG〃/4，F(xiàn)G//AC,

又￡G<Z平面44CC，/G<Z平面44CC，/Cu平面441G。，

所以EG〃平面/4G。，EG〃平面44CC，

又EGCFG=G,EG、尸Gu平面ERG,

所以平面ERG〃平面Z4。。，又EFu平面EFG,

所以防〃平面44CC；

（小問2詳解）

正,

由（1）知，NGEE是異面直線EF與所成角，所以cos/GEE=T，

在RtAEFG中，因為FG=6，COSZGEF=-

3

所以EG=1,

因此"對=#E-FBB、=；SAFBB、X￡4=+gxl=J

19.讀書可以增長知識，開拓視野，修身怡情.樹人中學為了解本校學生課外閱讀情況，按性別進行分層,

用分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名.經(jīng)調查統(tǒng)

計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間

（單位：小時）的頻率分布直方圖.

男生一周閱讀時間頻數(shù)分布表

小時頻數(shù)

[0,2)9

[2,4)25

[4,6)3

3

1

4

-

-

8

JLI2

1

24

［1］由以上頻率分布直方圖估量該校女生一周閱讀時間的眾數(shù)和75%分位數(shù)；

［2］由以上頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖估量總樣本的平均數(shù)［；

網(wǎng)從一周課外閱讀時間為［4,6）的樣本學生中按比例分配抽取6人，再從這6人中任意抽取2人，求恰好

抽到一男一女的概率.

（注：以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值）

（答案）（1）分位數(shù)是3，眾數(shù)是3

3

1

z)

—23.f-

x3)3

析

zA華

f

\

（分析）（1）依據(jù)頻率分布直方圖，結合眾數(shù)、百分位數(shù)的求法計算即可;

（2）依據(jù)頻數(shù)分布表直接求出男生一周課外閱讀時間平均數(shù)x，依據(jù)頻率分布直方圖，結合平均數(shù)的求法求

出女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)y,即可求出總樣本的平均數(shù);

（3）依據(jù)頻數(shù)分布表與頻率分布直方圖求出一周課外閱讀時間為［4,6）的男生與女生人數(shù)，結合古典概型的

概率公式計算即可.

（小問1詳解）

由女生一周閱讀時間的頻率分布直方圖知，閱讀時間的眾數(shù)是3,

1113

設女生一周閱讀時間的75%分位數(shù)為。，一x2+-x2+—（a—4）=一,

244874

解得a——：

3

【小問2詳解）

―1x9+3x25+5x3+7x3

由頻數(shù)分布表估量男生一周課外閱讀時間平均數(shù)x=------------------------=3

40

-1111

由頻率分布直方圖估量女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)3；=^^2乂1+^乂2'3+W乂2'5+而'2乂7=4

總卜”十a(chǎn)M理+陰也加將一JX-U+4X0U

所以估里總樣本的平均數(shù)z=------------=3.6

100

（小問3詳解）

由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，一周課外閱讀時間為[4,6）的學生中男生有3人，

女生有』x2x60=15（人）

8

假設從中按比例分配抽取6人，則男生有1人，記為。，

女生有5人，記為4，b2,by,b4,b5,

則樣本空間Q={ab1,ab2,ab3,ab4,abs力也,岫,地力也也打也“，%b$也”也々,b4b5},

共有15個樣本點.

記事件/="恰好一男一女“，則/={abI,ab2，ab3，a”,aa}

故所求概率尸（4）=《=：.

20.如圖，在三棱錐4—8C。中，AB,BC,CQ兩兩相互垂直，M,N分別是Z。，8C的中點.

[1〕證明：MN1BC；

⑵設BC=2,40=2石，和平面BCD所成角的大小為求二面角4一8—8的大小.

6

（答案）（1〕證明見解析；

（解析）

（分析）（1）取8。的中點尸，連接兒O,NP,由三角形的中位線與已知條件可知，BCVMP,

BC1NP,證得SCJ■平面AW,從而得到仞V_L8C；

（2）依據(jù)幾何關系得到CO1平面48C、平面88、平面88,從而得出N/C8為二

面角4-CO-8的平面角，NMNP是腦V和平面88所成的角，再依據(jù)解三角形知識求出/8、BC

的長，進而得到乙4c3的大小.

（小問1詳解）

取的中點P,連接上。，NP.

因為M,N分別是6C的中點.

所以MP〃AB,NP//CD

又因為BC1CD

所以8CLA/P,BC1NP,

又,/MPcNP=P,

BC上平面MNP.

又MNu平面MNP,所以MN_L8C.

（小問2詳解）

因為ZBLCQ,BC1CD,ABcBC=B,所以CQ_L平面/8C,

所以NACB為二面角A-CD-B的平面角，

又因為ABLCD,所以平面8c。，ABA.BD.

連接8Af,則8〃='/。=右

2

在RtAMNB中MN=^BM2-BN2=JT斤=2，

因為MPHAB,所以兒。_L平面8co.

故4MNP是MN和平面BCD所成的角，

兀

即NMNP=—,且例尸=1,

6

在Rt^/SC中，AB=2MP=2,BC=2,

兀

所以乙4。3=一，

4

71

故所求二面角A-CD-B的大小為一.

4

21.目前，新冠還在散發(fā)，防疫任重道遠，經(jīng)濟下行，就業(yè)壓力大，為此，國家大力提倡大學生自主創(chuàng)業(yè).

小李大學畢業(yè)后在同一城市開了A,8兩家小店，每家店各有2名員工.五一期間，假設每名員工請假的概

率都是3,且是否請假互不影響.假設某店的員工全部請假，而另一家店沒有人請假，則調劑1人到該店以

維持正常運轉，否則該店就關門停業(yè).

[1]求有員工被調劑的概率；

[2]求至少有一家店停業(yè)的概率.

(答案)⑴-

8

⑵—

16

(解析)

(分析)(1)設事件4="A家小店有i名員工請假”，用="8家小店有i名員工請假”，其中，=0,1,2,

依據(jù)事件的根本關系和獨立事件的概率公式即可求出有員工被調劑的概率；

(2)記事件D=“至少有1家店停業(yè)“，則。=4耳+4層+4層，依據(jù)事件的根本關系和獨立事件的概

率公式計算即可.

(小問1詳解)

記事件4=“A家小店有i名員工請假”，

用=”8家小店有i名員工請假"，其中"0,1,2,

由題設知，事件4，耳相互獨立，且尸(4)=尸(為)=[3)=；,

P(4)=P(q)=p(4)=P(&)=(￡|2=；

記事件C=“有員工被調劑“，則。=《與+外紇，

且4打，4為互斥，所以P(C)=P(4A+48°)