2024九年級數(shù)學(xué)下冊第7章銳角函數(shù)綜合素質(zhì)評價【含答案】

第7章綜合素質(zhì)評價一、選擇題(每題3分，共24分)1．sin30°的值等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),3)2．【母題：教材P102例3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，則sinA的值為()A．eq\f(3,5)B．eq\f(5,3)C．eq\f(4,5)D．eq\f(3,4)3．【2023·益陽一中月考】已知α為銳角，且sinα＝eq\f(\r(3),2)，則α的度數(shù)為()A．30°B．60°C．45°D．75°4．【2023·蘇州中學(xué)月考】化簡eq\r((sin28°－cos28°)2)等于()A．sin28°－cos28°B．0C．cos28°－sin28°D．以上都不對5．【2023·長春】學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示，已知彩旗繩與地面形成25°角(即∠BAC＝25°)，彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32m(即AC＝32m)，則彩旗繩AB的長度為()A．32sin25°mB．32cos25°mC．eq\f(32,sin25°)mD．eq\f(32,cos25°)m6．【2022·貴港】如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若AB＝16m，則這棵樹CD的高度是()A．8(3－eq\r(3))mB．8(3＋eq\r(3))mC．6(3－eq\r(3))mD．6(3＋eq\r(3))m7．【2023·連云港新區(qū)新海實驗中學(xué)月考】如圖，E是菱形ABCD的邊BC上的點(diǎn)，連接AE.將菱形ABCD沿AE翻折，點(diǎn)B恰好落在CD的中點(diǎn)F處，則tan∠ABE的值是()A．4B．5C．eq\r(13)D．eq\r(15)8．【2023·揚(yáng)州儀征一模】如圖，△ABC中，∠B＝90°，tanA＝eq\f(1,2)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(不與點(diǎn)A，C重合)，若eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)，則eq\f(AE,AC)的值為()A．eq\f(1,2)或eq\f(3,10)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)或eq\f(1,4)D．eq\f(1,2)或eq\f(5,8)二、填空題(每題3分，共30分)9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，則cosA的值是________．10．如圖，點(diǎn)A(3，t)在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，tanα＝eq\f(3,2)，則t的值是________．11．【2022·柳州】如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝eq\f(3,5)，堤壩高BC＝30m，則迎水坡坡面AB的長度為________m.12．【2023·永州四中月考】如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，如果將線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在CB延長線上的D′處，那么tan∠BAD′＝________.13．【2023·常州實驗中學(xué)一?！咳鐖D，在矩形ABCD中，E為AD上的點(diǎn)，AE＝AB，BE＝DE，則tan∠BDE＝________.14．【母題：教材P112習(xí)題T4】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝8，tan∠ABD＝eq\f(3,4)，則線段AB的長為________．15．如圖，由小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，點(diǎn)D不在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，則∠BDC的正切值是________．16．【2023·廣西】如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約________m(結(jié)果取整數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)17．【2023·棗莊】如圖所示，桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶，當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時∠AOM＝45°，此時點(diǎn)B到水平地面EF的距離為________米．(結(jié)果保留根號)18.如圖，將Rt△ABC沿斜邊AB翻折得到△ABD，O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接DO并延長DO使DO＝OE，連接AE，已知AC＝9，BC＝3，則cos∠CAE＝________.三、解答題(19～22題每題6分，23題8分，24題10分，25～26題每題12分，共66分)19．【母題：教材P106習(xí)題T1】計算：(1)2cos30°－tan60°＋sin45°cos45°；(2)eq\r(3)－(π－3)0－10sin30°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2).20．【母題：教材P119復(fù)習(xí)題T5】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c.(1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝eq\r(2)，∠A＝45°，求∠B，b，c.21．【2023·邵陽五中月考】如圖，△ABC中，∠A＝30°，AC＝2eq\r(3)，tanB＝eq\f(\r(3),2)，求AB的長．22．【2023·無錫錫山高級中學(xué)月考】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上，且滿足∠PEC＝∠DAP.(1)請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在所給的圖中作出符合條件的點(diǎn)P；(不要求寫作法，但保留作圖痕跡)(2)若CE＝1，試確定tan∠EPC的值．23．【2023·內(nèi)蒙古】為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個檢查點(diǎn)，分別為B點(diǎn)和C點(diǎn)，行進(jìn)路線為A→B→C→A，B點(diǎn)在A點(diǎn)的南偏東25°方向3eq\r(2)km處，C點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東80°方向，行進(jìn)路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為45°.(1)求行進(jìn)路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)；(2)求檢查點(diǎn)B和C之間的距離(結(jié)果保留根號)．24．【2023·揚(yáng)州】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且∠BCD＝eq\f(1,2)∠A，點(diǎn)O在BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過C，D兩點(diǎn)．(1)試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若sinB＝eq\f(3,5)，⊙O的半徑為3，求AC的長．25.多邊形面積的求解有多種方法，通過不同方法的應(yīng)用，可以求解某些邊和角．【基礎(chǔ)掌握】(1)在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6.求?ABCD的面積；【靈活運(yùn)用】(2)在△ABC中，AB＝20，AC＝15，sinB＝eq\f(3,5)，求△ABC的面積．【遷移提升】(3)如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形的頂點(diǎn)上，請直接寫出sinB的值．26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－eq\f(4,3)x＋4與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，連接AC，且cos∠CAB＝eq\f(\r(17),17).(1)求拋物線表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，過點(diǎn)P作PD∥y軸交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，連接EP，當(dāng)△PDE和△BOC相似時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案一、1．A2．C【點(diǎn)撥】由題意可知，∠C＝90°，因為AB＝5，BC＝4，所以sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).3．B4．C5．D【點(diǎn)撥】如圖，由題意得，AC＝32m，∠BAC＝25°，BC⊥AC.在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝eq\f(AC,cos∠BAC)＝eq\f(32,cos25°)m，故選D.6．A【點(diǎn)撥】設(shè)CD＝xm，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD＝xm．∴BD＝(16－x)m.在Rt△BCD中，∠B＝60°，∴tanB＝eq\f(CD,BD)，即eq\f(x,16－x)＝eq\r(3)，解得x＝8(3－eq\r(3))．故選A.7．D【點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作AN⊥DF于點(diǎn)N，如圖．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝AD，∠ABE＝∠D.設(shè)AD＝4.∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF＝FC＝2.根據(jù)翻折的性質(zhì)可知AB＝AF，∴△AFD是等腰三角形．∵AN⊥DF，∴DN＝NF＝1.∴在Rt△AND中，AN＝eq\r(AD2－DN2)＝eq\r(42－12)＝eq\r(15).∴tanD＝eq\f(AN,ND)＝eq\f(\r(15),1)＝eq\r(15).∴tan∠ABE＝eq\r(15).故選D.8．A【點(diǎn)撥】∵D為AB的中點(diǎn)，eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)，∴DE＝eq\f(1,2)BC.如圖，取AC的中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時DE1∥BC，DE1＝eq\f(1,2)BC，∴eq\f(AE1,AC)＝eq\f(1,2).如圖，在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則△DE1E2是等腰三角形，過點(diǎn)D作DM⊥AC，則ME1＝ME2，∠MDE1＋∠ME1D＝90°.∵∠B＝90°，DE1∥BC，∴∠ADE1＝90°.∴∠A＋∠AE1D＝90°.∴∠A＝∠MDE1.∵tanA＝eq\f(1,2)，∴tan∠MDE1＝eq\f(1,2).設(shè)ME1＝ME2＝x，則DM＝2x，∴DE1＝DE2＝eq\r(5)x，E1E2＝2x.∵DE1＝eq\f(1,2)BC，∴BC＝2eq\r(5)x.∵tanA＝eq\f(1,2)，∴AB＝4eq\r(5)x.∴AC＝10x.∵eq\f(AE1,AC)＝eq\f(1,2)，∴AE1＝5x.∴AE2＝AE1－E1E2＝5x－2x＝3x.∴eq\f(AE2,AC)＝eq\f(3x,10x)＝eq\f(3,10).綜上，eq\f(AE,AC)的值為eq\f(1,2)或eq\f(3,10).故選A.二、9．eq\f(5,13)10．eq\f(9,2)【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B.∵點(diǎn)A(3，t)在第一象限，∴AB＝t，OB＝3.∴tanα＝eq\f(AB,OB)＝eq\f(t,3)＝eq\f(3,2).∴t＝eq\f(9,2).11．50【點(diǎn)撥】根據(jù)題意得∠ACB＝90°，sinα＝eq\f(3,5)，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5).∵BC＝30m，∴eq\f(30,AB)＝eq\f(3,5)，解得AB＝50m，即迎水坡坡面AB的長度為50m.12．eq\r(2)13．eq\r(2)－1【點(diǎn)撥】設(shè)AB＝1，∵在矩形ABCD中，E為AD上的點(diǎn)，AE＝AB，BE＝DE，∴ED＝BE＝eq\r(AE2＋AB2)＝eq\r(2).∴AD＝AE＋ED＝1＋eq\r(2).∴tan∠BDE＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1.故答案為eq\r(2)－1.14．5【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD.∴∠AOB＝90°.∵BD＝8，∴OB＝4.∵tan∠ABD＝eq\f(3,4)＝eq\f(AO,OB)，∴AO＝3.在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝eq\r(AO2＋OB2)＝eq\r(32＋42)＝5.15．eq\f(2,3)【點(diǎn)撥】∵AB為圓的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠BDC＝∠BAC，∴tan∠BDC＝tan∠BAC.∵在Rt△ACB中，tan∠BAC＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(2,3)，∴tan∠BDC＝eq\f(2,3).16．21【點(diǎn)撥】∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝eq\f(1,2)AB.在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝eq\f(CD,sin37°)≈eq\f(3,0.6)＝5(m)，AD＝eq\f(CD,tan37°)≈eq\f(3,0.75)＝4(m)，∴CA＝CB≈5m，AB＝2AD≈8(m)，∴AC＋CB＋AB＋CD≈5＋5＋8＋3＝21(m)．∴共需鋼材約21m.17．(3＋eq\r(2))【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)O作OC⊥BT，垂足為C.由題意得BC∥OM，∴∠AOM＝∠OBC＝45°.∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，∴AO＝4米，OB＝2米，在Rt△OBC中，BC＝OB·cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)(米)．∵OM＝3米，∴此時點(diǎn)B到水平地面EF的距離為BC＋OM＝(3＋eq\r(2))米．18．eq\f(3,5)【點(diǎn)撥】如圖，連接BE交AC于點(diǎn)F，在四邊形ADBE中，∵O為AB的中點(diǎn)，DO＝OE，∴四邊形ADBE是平行四邊形．又∵Rt△ABC沿斜邊AB翻折得到△ABD，∴∠ADB＝∠C＝90°.∴四邊形ADBE是矩形．∴∠AEF＝90°，AE＝BD.又∵Rt△ABC沿斜邊AB翻折得到△ABD，∴AE＝BD＝BC＝3.∵∠AEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠BFC，AE＝BC，∴△AEF≌△BCF(AAS)，∴AF＝BF.設(shè)AF＝BF＝x，則CF＝9－x，在Rt△FBC中，F(xiàn)B2＝CF2＋BC2，∴x2＝(9－x)2＋32，解得x＝5.∴AF＝5.∴cos∠CAE＝eq\f(AE,AF)＝eq\f(3,5).故答案為eq\f(3,5).三、19．【解】(1)原式＝2×eq\f(\r(3),2)－eq\r(3)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(3)－eq\r(3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)原式＝eq\r(3)－1－10×eq\f(1,2)＋4＝eq\r(3)－1－5＋4＝eq\r(3)－2.20．【解】(1)∠B＝90°－∠A＝30°.∵sinB＝eq\f(b,c)，∴b＝c·sinB＝2·sin30°＝1.∵cosB＝eq\f(a,c)，∴a＝c·cosB＝2·cos30°＝eq\r(3).(2)∠B＝90°－∠A＝45°.∵tanA＝eq\f(a,b)，∴b＝eq\f(a,tanA)＝eq\f(\r(2),tan45°)＝eq\r(2).∵sinA＝eq\f(a,c)，∴c＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)＝eq\f(\r(2),\f(\r(2),2))＝2.21．【解】過C點(diǎn)作CD⊥AB于D，如圖．在Rt△ACD中，∵sinA＝eq\f(CD,AC)，cosA＝eq\f(AD,AC)，∴sin30°＝eq\f(CD,2\r(3))，cos30°＝eq\f(AD,2\r(3)).∴CD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)＝eq\r(3)，AD＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝3.在Rt△BCD中，∵tanB＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(CD,tanB)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2.∴AB＝AD＋BD＝3＋2＝5.22．【解】(1)如圖，連接AE，作AE的垂直平分線，以AE為直徑畫圓，交BC于點(diǎn)P′和P″，則∠AP′E＝∠AP″E＝90°.∵∠P′EC＋∠P′ED＝180°，∠P′AD＋∠P′ED＝360°－90°－90°＝180°，∴∠P′EC＝∠DAP′.同理可得∠P″EC＝∠DAP″.則點(diǎn)P′和P″即為所求．(2)∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAP＝∠APB.∵∠PEC＝∠DAP，∴∠APB＝∠PEC.∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE.∴eq\f(BP,CE)＝eq\f(AB,PC).設(shè)PC＝x，∵BC＝5，∴BP＝5－x.∴eq\f(5－x,1)＝eq\f(4,x)，解得x1＝1，x2＝4，∴PC的長為1或4.當(dāng)PC＝1時，tan∠EPC＝eq\f(CE,CP)＝eq\f(1,1)＝1，當(dāng)PC＝4時，tan∠EPC＝eq\f(CE,CP)＝eq\f(1,4).23．【解】(1)由題意得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°.∵∠ABC＝45°，∴∠BCA＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°，∴行進(jìn)路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)為60°.(2)如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，AB＝3eq\r(2)km，∠ABC＝45°，∴AD＝AB·sin45°＝3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝3(km)，BD＝AB·cos45°＝3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝3(km)，在Rt△ADC中，∠BCA＝60°，∴CD＝eq\f(AD,tan60°)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)(km)，∴BC＝BD＋CD＝(3＋eq\r(3))km，∴檢查點(diǎn)B和C之間的距離為(3＋eq\r(3))km.24．【解】(1)直線AB與⊙O相切．理由：如圖，連接OD.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DOB＝∠OCD＋∠ODC＝2∠BCD，∴∠BCD＝eq\f(1,2)∠BOD.∵∠BCD＝eq\f(1,2)∠A，∴∠BOD＝∠A.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠BOD＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB.又∵OD是⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相切．(2)∵sinB＝eq\f(OD,OB)＝eq\f(3,5)，OD＝3，∴OB＝5，∴BC＝OB＋OC＝8.在Rt△ACB中，∵sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，∴設(shè)AC＝3x，則AB＝5x，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝4x＝8，∴x＝2，∴AC＝3x＝6.25．【解】(1)如圖①.過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，∵∠A＝60°，AB＝8，∴BE＝AB·sinA＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).∵AD＝6，∴?ABCD的面積＝AD·BE＝6×4eq\r(3)＝24eq\r(3).(2)如圖②，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD＝AB·sinB＝20×eq\f(3,5)＝12.∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(202－122)＝16，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(152－122)＝9.∴BC＝BD＋CD＝16＋9＝25.∴△ABC的面積＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×25×12＝150.(3)sinB＝eq\f(7\r(85),85).【點(diǎn)撥】設(shè)△ABC底邊BC上的高為h，則h＝AB·sinB，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·h·BC＝eq\f(1,2)·AB·BC·sinB.由題意知，AB＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17).∵S△ABC＝4×4－eq\f(1,2)×2×4－eq\f(1,2)×2×3－eq\f(1,2)×1×4＝7.∴sinB＝eq\f(2×7,2\r(5)×\r(17))＝eq\f(7\r(85),85).26．【解】(1)∵直線y＝－eq\f(4,3)x＋4與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，當(dāng)x＝0時，y＝－eq\f(4,3)×0＋4＝4，當(dāng)y＝0時，－eq\f(4,3)x＋4＝0，解得x＝3，∴C(0，4)，OC＝4，B(3，0)，OB＝3.在Rt△AOC中，cos∠CAB＝eq\f(OA,AC)＝eq\f(\r(17),17)，設(shè)OA＝eq\r(17)k，則AC＝17k.∵AC2＝OA2＋OC2，∴(17k)2＝(eq\r(17)k)2＋42，解得k1＝eq\f(\r(17),17)，k2＝－eq\f(\r(17),17)(舍去)，∴OA＝eq\r(17)k＝1，∴A(－1，0)．∵拋物線y＝ax2