最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)

最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)摘要線性二次型最優(yōu)控制是一種普遍采用的最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計方法。使用MATLAB軟件設(shè)計的GUI控制界面實現(xiàn)最優(yōu)控制，有較好的人機交互界面，便于使用。線性二次型最優(yōu)控制又叫做LQ最優(yōu)控制或者稱為無限長時間定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)控制器。本文分別從連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，離散系統(tǒng)相形二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)，線性二次性Guass最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)四個研究方案。本論文就是從這四個方面分別以不同的性能指標(biāo)設(shè)計不同的GUI界面以及不同的程序?qū)崿F(xiàn)其功能并說明其各自的應(yīng)用范圍。關(guān)鍵詞：線性二次型，最優(yōu)控制,GUI控制界面，最優(yōu)觀測器，Guass最優(yōu)控制TheLinearQuadraticOptimalControlofMATLABAbstractLinearquadraticoptimalcontrolisawidelyusedtooptimalcontrolsystemdesignmethod.UseofMATLABsoftwaredesignGUIinterfacecontroltorealizetheoptimalcontrol,Havegoodman-machineinterface,easytouse.ThelinearquadraticoptimalcontrolandcalledLQoptimalcontroloraninfinitelongtimeofthesystemstateregulationandconstantcontroller.ThispaperrespectivelyfromthecontinuoussystemlinearquadraticoptimalcontrolMATLAB,DiscretesysteminquadraticoptimalcontrolMATLAB,TheoptimalobserverMATLAB,sexualGuasslinearquadraticoptimalcontrolMATLABfourresearchplan.ThispaperisfromthefouraspectsoftheperformanceindexrespectivelyindifferentdesigndifferentGUIinterfaceandDifferentprogramsthatrealizeitsfunctionandtheirapplicationscope.Keywords：Linearquadratic,Theoptimalcontrol,GUIcontrolinterface,ThebestGuassobserver,theoptimalcontrol目錄1引言11.1概述11.2課題研究的背景、意義及研究概況11.3本文研究的主要內(nèi)容22最優(yōu)控制的根本概念32.1最優(yōu)控制根本思想32.2最優(yōu)控制的性能指標(biāo)32.2.1積分型性能指標(biāo)32.2.2末值型性能指標(biāo)52.3最優(yōu)控制問題的求解方法53最連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)73.1連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制73.2連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)83.3連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)例如84離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)174.1離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)線性二次型最優(yōu)控制174.2離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)與例如185最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)235.1連續(xù)時不變系統(tǒng)的Kalman濾波235.2Kalman濾波的MATLAB實現(xiàn)245.3Kalman濾波的MATLAB實現(xiàn)例如256線性二次型Guass最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)316.1LQG最優(yōu)控制的求解316.2LQG最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)與例如327結(jié)論37參考文獻：38致謝391引言1.1概述隨著計算機技術(shù)的飛速開展，控制系統(tǒng)的計算機輔助設(shè)計與分析得到了廣泛的應(yīng)用，目前已到達了相當(dāng)高的水平。MATLAB是國際控制界應(yīng)用最廣泛的計算機輔助設(shè)計與分析工具，它集矩陣運算、數(shù)值分析、信號處理和圖形顯示于一體，構(gòu)成了一個方便的、良好的用戶環(huán)境，其強大的科學(xué)計算與可視化功能，簡單易用的開放式可編程環(huán)境，使得MATLAB在控制領(lǐng)域的各個方面都得到了廣泛應(yīng)用。線性二次型最優(yōu)控制可以使系統(tǒng)的某些性能到達最優(yōu)，在工程上用得較為廣泛，也是現(xiàn)代控制理論課程學(xué)習(xí)的重點和難點。所謂最優(yōu)控制，就是根據(jù)建立在系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，選擇一個容許的控制規(guī)律，在一定的條件下，使得控制系統(tǒng)在完成所要求的控制任務(wù)時使給定的某一性能指標(biāo)到達最優(yōu)值、極小值或極大值。圖形用戶界面GUI(GraphicalUserInterface)作為用戶與軟件交互的一種主要手段,已經(jīng)成為現(xiàn)代軟件的重要組成局部。目前大局部軟件的功能主要是通過圖形用戶界面調(diào)用,在軟件產(chǎn)品的測試過程中,尤其是功能測試過程中,GUI功能測試占有非常大的比例,GUI測試是現(xiàn)代軟件測試的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。GUI系統(tǒng)質(zhì)量是整個軟件產(chǎn)品質(zhì)量提升和本錢降低的關(guān)鍵。由于GUI軟件的獨特性,使得原有傳統(tǒng)軟件的測試方法不大適用于GUI軟件的測試,現(xiàn)有關(guān)于GUI測試的研究相對較少,資源也相對貧乏,并且GUI手工測試已經(jīng)無法滿足測試要求,因而對GUI測試自動化進行研究具有重要的現(xiàn)實意義。1.2課題研究的背景、意義及研究概況最優(yōu)控制理論是50年代中期在空間技術(shù)的推動下開始形成和開展起來的。美國學(xué)者R.貝爾曼1957年提出的動態(tài)規(guī)劃和前蘇聯(lián)學(xué)者L.S.龐特里亞金1958年提出的極大值原理，兩者的創(chuàng)立僅相差一年左右。對最優(yōu)控制理論的形成和開展起了重要的作用。線性系統(tǒng)在二次型性能指標(biāo)下的最優(yōu)控制問題那么是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。對于線性系統(tǒng)，假設(shè)性能指標(biāo)是二次型函數(shù)，這樣實現(xiàn)的控制叫做線性二次型最優(yōu)控制，線性二次型最優(yōu)控制方法是20世紀(jì)60年代開展起來的一種普遍采用的最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計方法。這種方法的對象是以狀態(tài)空間表達式給出的線性系統(tǒng)，而性能指標(biāo)〔或目標(biāo)函數(shù)〕為對象狀態(tài)與控制輸入的二次型函數(shù)。二次型問題就是在線性系統(tǒng)的約束條件下，選擇控制輸入使得二次型目標(biāo)函數(shù)到達最小。到目前為止，這種二次型最優(yōu)控制在理論上比擬成熟，為解決這類控制問題而開發(fā)的MATLAB函數(shù)也比擬多，而且這種控制應(yīng)用非常廣泛。目前GUI自動化測試工具普遍采用的是捕獲/回放(C/P,Capture/Playback)機制,并沒有對GUI測試的自動化提供很好的支持。只能被動捕獲被測試系統(tǒng)的執(zhí)行信息,而不能和被測試系統(tǒng)進行交互,有選擇地捕獲被測系統(tǒng)的執(zhí)行信息,且相對于國內(nèi)軟件測試市場,價格較高,國內(nèi)沒有充分得到應(yīng)用。因而,研究與設(shè)計圖形用戶界面的自動化測試工具,對促進國內(nèi)GUI應(yīng)用系統(tǒng)測試自動化具有較深遠的意義。1.3本文研究的主要內(nèi)容本論文將以線性二次型為性能指標(biāo)，分別從連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，離散系統(tǒng)相形二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)，線性二次性Guass最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)這四個研究方案入手加以深入，力求在做到實現(xiàn)最優(yōu)控制的前提下，控制界面的靈敏性能夠有進一步的提高。同時江不同最優(yōu)控制的設(shè)計進行比擬，探討各種方法的優(yōu)缺點。針對上述研究內(nèi)容，本論文內(nèi)容具體安排如下：第1章：引言。介紹了線性二次型最優(yōu)控制以及MATLAB以下圖形界面GUI的研究背景、意義和開展概況，并介紹了本文的主要研究內(nèi)容。第2章：闡述最優(yōu)控制的根本概念，性能指標(biāo)以及求解方法。第3章：闡述連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)過程。第4章：闡述離散系統(tǒng)相形二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)過程。第5章：闡述最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)過程。第6章：闡述線性二次型Guass最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)過程。2最優(yōu)控制的根本概念2.1最優(yōu)控制根本思想設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為〔2-1〕式中，是n維狀態(tài)向量；是p維控制向量；n維向量函數(shù)是與t的連續(xù)函數(shù)，且對與t連續(xù)可微；在[]上分段連續(xù)。所謂最優(yōu)控制問題，就是要求尋找最優(yōu)控制函數(shù)，使得系統(tǒng)狀態(tài)從以知初態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的終端狀態(tài)，在滿足如下約束條件下：〔1〕控制與狀態(tài)的不等式約束〔2-2〕〔2〕終端狀態(tài)的等式約束〔2-3〕使性能指標(biāo)〔2-4〕到達極值。式中是m維連續(xù)可微的向量函數(shù)，的連續(xù)可微純量函數(shù)。2.2最優(yōu)控制的性能指標(biāo)自動控制的性能指標(biāo)是衡量系統(tǒng)性能好壞的尺度，其內(nèi)容與形式取決于最優(yōu)控制問題所要完成的任務(wù)，不同的控制問題應(yīng)取不同的性能指標(biāo)，其根本類型如下。積分型性能指標(biāo)〔2-5〕表示整個控制過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)與施加給系統(tǒng)的控制作用應(yīng)當(dāng)?shù)竭_某些要求。例如：〔1〕最小時間控制中選取那么〔2-6〕這種控制要求設(shè)計一個快速控制規(guī)律，使系統(tǒng)在最短時間內(nèi)從以知的初態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的末態(tài)。例如，導(dǎo)彈攔截器的軌道轉(zhuǎn)移就是屬于此類問題?！?〕最小燃料消耗控制中選取那么〔2-7〕是航天工程中常遇到的重要問題之一。例如，宇宙飛船這種航天器具所攜帶的燃料有限，希望在軌道轉(zhuǎn)移時，所消耗的燃料盡可能的少，就是屬于此類問題?！?〕最小能量控制中選取那么〔2-8〕對于一個能量有限的物理系統(tǒng)，例如，通信衛(wèi)星的太陽能電池，為了使系統(tǒng)在有限的能源條件下載盡可能長的時間內(nèi)保證正常工作，需要對控制過程中的能量消耗進行約束，就是屬于此類問題?！?〕無線時間線性調(diào)節(jié)器取，且其中，均為加權(quán)矩陣，那么〔2-9〕〔5〕無限時間線性跟蹤器取，且〔2-10〕其中，為系統(tǒng)輸出向量，為系統(tǒng)希望輸出向量。在性能指標(biāo)式〔2-8〕、式〔2-9〕、式〔2-10〕中，被積函數(shù)都是由的平方項所組成，這種形式的性能指標(biāo)叫做二次型性能指標(biāo)。末值型性能指標(biāo)〔2-11〕表示系統(tǒng)在控制過程結(jié)束后，要求系統(tǒng)的終端狀態(tài)應(yīng)到達某些要求，在實際工程中，例如要求導(dǎo)彈的脫靶量最小、機床工作臺移動準(zhǔn)確停止等。終端時刻可以固定，也可以自由，視最優(yōu)控制問題的性質(zhì)而定。復(fù)合型性能指標(biāo)〔2-12〕表示對整個控制過程及控制過程結(jié)束后的終端狀態(tài)均有要求，是最一般的性能指標(biāo)形式。2.3最優(yōu)控制問題的求解方法1.解析法當(dāng)性能指標(biāo)與約束條件為顯示解析表達式時，適合用解析法。通常是用求導(dǎo)方法或變分方法解出最優(yōu)控制的必要條件，從而得到一組方程式或不等式，然后求解這組方程或不等式，最后得到最優(yōu)控制的解析解。2.數(shù)值計算法當(dāng)性能指標(biāo)比擬復(fù)雜或不能用變量的顯函數(shù)表示時，可以采用試探法，即直接搜索逐步逼近，經(jīng)過假設(shè)干次迭代，逐步逼近到最優(yōu)點。3．梯度型法這是一種解析與數(shù)值計算相結(jié)合的方法。3最連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)3.1連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制設(shè)線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：〔3-1〕式中，維狀態(tài)向量；維控制向量，且不受約束；維常數(shù)矩陣，維常數(shù)矩陣。系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：〔3-2〕式中，終端時間無限；維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣〔常取維常數(shù)矩陣〕；為維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣，。假設(shè)以下條件之一滿足：〔1〕完全可控；〔2〕為任意矩陣。那么有最優(yōu)反應(yīng)矩陣：(3-3)與唯一的最優(yōu)控制：〔3-4〕以及最優(yōu)性能指標(biāo)：〔3-5〕式中，P為常值正定矩陣，它是以下黎卡提代數(shù)方程的唯一解：(3-6)閉環(huán)系統(tǒng)：〔3-7〕是漸近穩(wěn)定的，其解為最優(yōu)軌線。3.2連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)在MATLAB系統(tǒng)里，有特別提供的函數(shù)來求解連續(xù)系統(tǒng)線性二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。其函數(shù)有l(wèi)qr()、lqr2()與lqry()。函數(shù)的調(diào)用格式為：[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N)[K,S]=lqr2(A,B,Q,R,N)[K,S,E]=lqry(sys,Q,R,N)其中，輸入?yún)⒘縮ys為系統(tǒng)的模型；A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸入矩陣；Q為給定的半正定實對稱矩陣；R為給定的正定實對稱矩陣；N代表更一般化性能指標(biāo)中交叉乘積項的加權(quán)矩陣；輸出參量K為最優(yōu)反應(yīng)增益矩陣；S為對應(yīng)Riccati方程的唯一正定解P〔假設(shè)矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，那么總有P的正定解存在〕；E為A-BK的特征值。函數(shù)lqry()用來求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特例，是用輸出反應(yīng)替代狀態(tài)反應(yīng)，即有：〔3-8〕其性能指標(biāo)那么為：〔3-9〕這種二次型輸出反應(yīng)控制稱為次優(yōu)〔或準(zhǔn)最優(yōu)〕控制。3.3連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)例如【例18-1】連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程與初始條件為性能指標(biāo)：設(shè)計要求:設(shè)計一GUI界面，界面有五個按鈕，分別實現(xiàn)的功能是：最優(yōu)反應(yīng)增益矩陣K、最優(yōu)控制u*(t)、最優(yōu)性能指標(biāo)J*、特征方程的特征值和Riccati方程的正定解P。解：由系統(tǒng)狀態(tài)方程直接寫出狀態(tài)矩陣、輸入矩陣與初始條件：選擇矩陣由題目要求，第一步：翻開MATLAB,輸入guide回車后將彈出GUIDE快速啟動對話框，如圖3.1所示。圖3.1GUIDE快速啟動對話框從上面的對話框可以看到，MATLAB提供了4種GUIDE模板，其中本次設(shè)計需要用到的是第一個，空白GUI模板。單擊OK按鈕，翻開GUI編輯界面，如圖3.2所示。圖3.2新建的GUI界面如下圖，上面的第一行為菜單欄，第二欄為工具欄，左邊的兩列為常用控件，關(guān)于各個控件的名稱與功能見附錄1第二步：針對例子的設(shè)計要求，為GUI添加必要的控件。〔1〕添加“靜態(tài)文本”控件。選擇StaticText圖標(biāo)，用鼠標(biāo)將其拖到GUI模板的適宜位置，并根據(jù)設(shè)計，調(diào)整其大小?！?〕添加“文本框”控件。用鼠標(biāo)單擊EditText圖標(biāo)，然后在界面上建立文本框?！?〕添加“列表框”控件。用鼠標(biāo)單擊Listbox圖標(biāo)，然后在界面上適宜的位置建立大小適中的列表框。〔4〕添加“按鈕組”控件。單擊ButtonGroup圖標(biāo)，建立適宜的按鈕組控件?！?〕在按鈕組上添加“按鈕”。單擊PushButton圖標(biāo)，將按鈕建立在按鈕組里，需要多少即建立多少。完成以上操作后得到草圖，如圖3.3所示。圖3.3GUI草圖上述界面包含兩個靜態(tài)文本框控件、一個可編輯文本框、一個按鈕組控件、五個按鈕控件、一個列表框控件。第三步：修改屬性。創(chuàng)立控件以后，要對控件的各種屬性進行設(shè)置，具體步驟如下：雙擊各控件，那么會彈出左邊的屬性對話框，按要求分別修改各按鈕的屬性，如圖3.4所示。圖3.4修改屬性窗口如下圖，右邊窗口為修改屬性窗口，常用屬性有:string屬性，用于顯示在控件上的字符串，起說明或提示作用；Callback屬性，回調(diào)函數(shù)，與菜單的一樣；Tag屬性，控件的標(biāo)記，用于標(biāo)識控件。更多屬性功能見附錄11〕在圖形左邊上方的靜態(tài)文本的屬性編輯框中，設(shè)置如下屬性值：Fontsize10%字體大小FontUnitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持字體比例String系統(tǒng)輸入%顯示在界面上的字符HorizontalAlignmentCenter%文字中心對齊Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該區(qū)比例2〕在圖形左邊中間的靜態(tài)文本的屬性編輯框中，設(shè)置如下屬性值：Fontsize10%字體大小FontUnitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持字體比例String系統(tǒng)輸出%顯示在界面上的字符HorizontalAlignmentCenter%文字中心對齊Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該區(qū)比例3)在可編輯文本的屬性編輯框中，設(shè)置如下屬性值：FontUnitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持字體比例String%去除在界面上的字符HorizontalAlignmentCenter%文字中心對齊Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該區(qū)比例4)在按鈕組的屬性編輯框中，設(shè)置如下屬性值：Fontsize12%字體大小FontUnitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持字體比例HorizontalAlignmentCenter%文字中心對齊String連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制%在按鈕組頂頭顯示Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該鍵比例5)在按鈕組的按鍵上屬性編輯框中，設(shè)置如下屬性值：Fontsize10%字體大小FontUnitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持字體比例HorizontalAlignmentCenter%文字中心對齊Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該鍵比例五個按鈕的String屬性從上到下分別設(shè)置為：最優(yōu)反應(yīng)增益矩陣K、Riccati方程的正定解P、最優(yōu)控制u*(t)、最優(yōu)性能指標(biāo)J*、特征方程的特征值。對控件的屬性設(shè)置結(jié)束后，得到如下界面：圖3.5屬性設(shè)置完的根本圖第四步：設(shè)計GUI回調(diào)函數(shù)。點擊工具欄最右邊的綠色三角按鈕運行點擊工作臺上的”運行界面“的工具圖標(biāo)，會出現(xiàn)一個詢問對話框，當(dāng)按提示對以上的設(shè)計進行存儲以后，就會引出2個界面：名為Lqr的圖形用戶界面〔如圖3.6所示〕；展示名為Lqr的〔待填寫回調(diào)指令的〕M函數(shù)文件的文件編輯器界面。在Lqr.m文件中，填寫回調(diào)指令(見附錄)第五步：運行。按例題要求設(shè)計回調(diào)函數(shù)，然后運行。在系統(tǒng)輸入框中輸入狀態(tài)矩陣、輸入矩陣、初始狀態(tài)與給定矩陣，輸入完成后分別點擊各按鈕。(1)按下按鈕“最優(yōu)反應(yīng)增益矩陣K”，得到如圖3.7的結(jié)果：圖3.6圖形用戶界面圖3.7(2)按下按鈕“Riccati方程的正定解P”，得到如圖3.8結(jié)果：圖3.8Riccati方程的正定解P按下按鈕“最優(yōu)控制u*(t)”，得到3.9圖結(jié)果：圖3.9最優(yōu)控制u*(t)按下按鈕“最優(yōu)性能指標(biāo)J*”,得到圖3.10結(jié)果：圖3.10最優(yōu)性能指標(biāo)J*按下按鈕“特征方程的特征值”,得到圖3.11結(jié)果：圖3.11特征方程的特征值自此連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB設(shè)計結(jié)束。4離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)4.1離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)線性二次型最優(yōu)控制設(shè)完全可控線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：〔4-1〕式中，維狀態(tài)向量；控制向量，且不受約束；A為維非奇異矩陣，。系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：〔4-2〕式中，維正定或半正定實對稱矩陣；正定實對稱矩陣；維正定或半正定實對稱矩陣。最優(yōu)控制作用與最優(yōu)反應(yīng)矩陣可以有幾種不同的表達式。其中最有反應(yīng)矩陣之一為：(4-3)與之對應(yīng)的最優(yōu)控制序列：〔4-4〕以及性能指標(biāo)：〔4-5〕以上幾式中，P〔k〕為正定矩陣，它是以下黎卡提差分方程的正定解：(4-6)假設(shè)控制步數(shù)N為無限值，即令,系統(tǒng)最優(yōu)控制的解成為穩(wěn)態(tài)解。系統(tǒng)的性能指標(biāo)那么改為：(4-7)：(4-8)：(4-9)對應(yīng)的最優(yōu)控制序列為：(4-10)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：以及最優(yōu)性能指標(biāo)仍為：〔4-11〕4.2離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)與例如在MATLAB的工具箱里，有特別提供的函數(shù)來求解離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)線性二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。其函數(shù)有dlqr()與dlqry()。函數(shù)的調(diào)用格式為：其中，輸入?yún)⒘緼為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸入矩陣；Q為給定的正定或半正定實對稱矩陣；R為給定的正定實對稱矩陣；N代表更一般化性能指標(biāo)中交叉乘積項的加權(quán)矩陣。輸出參量K為離散最優(yōu)反應(yīng)增益矩陣；S為Riccati方程的唯一正定解P；E為A-BK的特征解。函數(shù)dlqry()用來求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特例，這個特例就是用輸出反應(yīng)替代狀態(tài)反應(yīng)，即有：(4-12)其性能指標(biāo)為：(4-13)【例4-1】以知伺服系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程為式中a=0.5,b=1,c=1,d=0利用GUI工具箱設(shè)計一界面使其滿足在點擊【反應(yīng)矩陣Kx】鍵時在輸出框中輸出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反應(yīng)增益矩陣，在點擊【Stepresponse】鍵時在軸上畫出相應(yīng)的系統(tǒng)閉環(huán)后的單位階躍給定響應(yīng)曲線。【解】由v(k)有：由寫出矩陣，對于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)，，以上矩陣就成為：令采樣信號將以上兩式相減，可得：由再令以上矩陣可寫成：式中當(dāng)系統(tǒng)有單位階躍給定輸入時，可得：根據(jù)矩陣乘法運算規(guī)那么，整理以上矩陣有：還有：設(shè)定性能指標(biāo)為：式中參量Q、R選擇為：根據(jù)以上分析開始設(shè)計GUI界面。第一步：啟動GUI工具箱以后，布置如4.1圖所示的界面：圖4.1離散系統(tǒng)最優(yōu)控制GUI界面上述界面包含一個坐標(biāo)軸控件、兩個靜態(tài)文本框控件、一個可編輯文本框、一個按鈕組控件、兩個按鈕控件、一個列表框控件。第二步：對各控件進行屬性設(shè)置，設(shè)置完成后得到如4.2界面。圖4.2離散系統(tǒng)圖形用戶界面圖4.3離散系統(tǒng)反應(yīng)矩陣Kx第三步:界面的激活與回調(diào)函數(shù)的設(shè)計〔見附錄〕。第四步:運行。點擊界面按鈕“反應(yīng)矩陣Kx”后顯示如4.3界面點擊界面按鈕“Stepresponse”后顯示如4.4界面圖4.4離散系統(tǒng)單位階躍給定響應(yīng)設(shè)計結(jié)束。5最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)系統(tǒng)的Kalman濾波器就是最優(yōu)觀測器。對于帶有系統(tǒng)噪聲與量測噪聲的實際系統(tǒng)，抑制或濾掉噪聲對系統(tǒng)的干擾及影響，對系統(tǒng)的狀態(tài)做出充分精確的估計。利用Kalman濾波器對系統(tǒng)進行最優(yōu)控制是非常有效的。5.1連續(xù)時不變系統(tǒng)的Kalman濾波給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程與量測方程分別為：〔5-1〕〔5-2〕式中，維狀態(tài)向量；控制向量，維量測向量；A為維非奇異矩陣，，維常數(shù)矩陣；為隨機噪聲干擾輸入，它是零均值的p維白噪聲過程；假定為隨機量測噪聲，是零均值的q維白噪聲過程。兩噪聲過程均平穩(wěn)且互不相關(guān)。即有：此式中的為常數(shù)矩陣〔叫做模型噪聲的協(xié)方差矩陣〕。。此式中的為常數(shù)矩陣〔叫做量測噪聲的協(xié)方差矩陣〕。令為狀態(tài)向量估計值與狀態(tài)向量的估計誤差值，為狀態(tài)向量的理論值，那么有：〔5-3〕除上述假設(shè)外，還假定{C,A}是完全可觀測的。在這些假定均成立的條件下，使估計誤差平方和的期望值最小〔最小方差跡準(zhǔn)那么濾波估計〕既有：〔5-4〕其最優(yōu)估計器為：〔5-5〕式中〔5-6〕其中為以下方程的解：〔5-7〕可以證明：方程的解就是估計誤差的協(xié)方差，而此協(xié)方差的跡〔〕即為誤差方差。如是有：〔5-8〕5.2Kalman濾波的MATLAB實現(xiàn)在MATLAB的工具箱里提供了函數(shù)來求解系統(tǒng)的kalman濾波器，函數(shù)的調(diào)用格式為：其中，輸入?yún)⒘繛檫B續(xù)或離散系統(tǒng)帶擾動的狀態(tài)空間模型,當(dāng)模型有兩個時，，；為模型噪聲的協(xié)方差矩陣；為量測噪聲的協(xié)方差矩陣；為可選項，它對應(yīng)模型噪聲與量測噪聲的相關(guān)項。輸出參量為濾波器的狀態(tài)估計器，其狀態(tài)方程如下：〔5-9〕〔5-10〕為濾波器的增益矩陣：為對應(yīng)的方程的解，即估計誤差的協(xié)方差。在MATLAB老版本的工具箱里，還提供了兩個配合使用的函數(shù)與來求解系統(tǒng)的濾波器。函數(shù)的調(diào)用格式為:其中，輸入?yún)⒘?,為系統(tǒng)式〔18-46〕與〔18-47〕中的對應(yīng)參量；為模型噪聲的協(xié)方差矩陣；為量測噪聲的協(xié)方差矩陣；為可選項，它對應(yīng)模型噪聲與量測噪聲的相關(guān)項；輸出參量為濾波器的增益矩陣；為對應(yīng)的方程的解，即估計誤差的協(xié)方差；為估計器的閉環(huán)特征值。函數(shù)的調(diào)用格式為：這個函數(shù)用來生成連續(xù)系統(tǒng)的濾波器，即系統(tǒng)的狀態(tài)估計器。輸入?yún)⒘繛檫B續(xù)系統(tǒng)帶擾動的狀態(tài)空間模型，輸入?yún)⒘繛楹瘮?shù)求出的濾波器的增益矩陣。對于連續(xù)系統(tǒng)，用函數(shù)計算的濾波器的狀態(tài)估計器與用函數(shù)求出的濾波器，兩者應(yīng)相等。請看以下例如。5.3Kalman濾波的MATLAB實現(xiàn)例如例【5-1】：單位負反應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的受控對象與校正裝置的傳遞函數(shù)分別為：，試設(shè)計一個GUI界面，實現(xiàn)如下要求：點擊按鈕“增益矩陣”時，在列表框中顯示系統(tǒng)濾波器的增益矩陣；點擊“系統(tǒng)估計誤差的協(xié)方差”按鈕時，列表框中顯示系統(tǒng)估計誤差的協(xié)方差；點擊“最優(yōu)濾波器”按鈕時，列表框中顯示系統(tǒng)〔最優(yōu)〕濾波器〔a,b,c,d〕。解：第一步：啟動GUI工具箱以后，布置如圖5.1所示的界面：下述界面包含一個靜態(tài)文本框控件、一個可編輯文本框、一個按鈕組控件、三個按鈕控件、一個列表框控件。圖5.1最優(yōu)濾波器GUI根本界面第二步：對各控件進行屬性設(shè)置，屬性設(shè)置與例3.1類同，設(shè)置完成后得到圖5.2界面。圖5.2最優(yōu)濾波器控制界面第三步:界面的激活與回調(diào)函數(shù)的設(shè)計〔見附錄2〕。其中激活界面如圖5.3圖5.3最優(yōu)控制的激活界面第四步:運行。輸入以知矩陣，點擊界面按鈕“增益矩陣L”后顯示如5.4界面圖5.4濾波器的增益矩陣L點擊界面按鈕“系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差P”按鈕，那么顯示出系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差，如圖5.5圖5.5系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差點擊界面按鈕“Kanman最優(yōu)濾波器”按鈕，列表框中顯示出最優(yōu)濾波器的矩陣，由上到下分別是a,b,c,d。分別如圖5.6，5.7,5.8,5.9所示。圖5.6Kanman最優(yōu)濾波器之矩陣a圖5.7Kanman最優(yōu)濾波器之矩陣b圖5.8Kanman最優(yōu)濾波器之矩陣c圖5.9Kanman最優(yōu)濾波器之矩陣d系統(tǒng)的〔最優(yōu)〕濾波器〔a，b，c，d〕。計算說明，用函數(shù)計算的濾波器的狀態(tài)估計器與用函數(shù)求出的濾波器，兩者是相等的。6線性二次型Guass最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)考慮系統(tǒng)隨機輸入噪聲與隨機量測噪聲的線性二次型最優(yōu)控制稱為線性二次型高斯〔Guass〕最優(yōu)控制，即LQG控制。線性二次型高斯最優(yōu)控制是輸出反應(yīng)控制。這種即及系統(tǒng)受到隨機因素的作用而采取的控制策略，對解決線性二次型最優(yōu)控制問題，顯然更具有實用性。6.1LQG最優(yōu)控制的求解給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程與量測方程分別為：〔6-1〕〔6-2〕式中，參量、、、、、、、含義同前，假定為隨機噪聲干擾輸入，它是零均值的p維白噪聲過程；假定為隨機量測噪聲，是零均值的q維白噪聲過程。與兩個噪聲過程均平穩(wěn)且互不相關(guān)。系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：〔6-3〕根據(jù)LQG問題的別離原理，LQG最優(yōu)控制是兩個方面問題的綜合：一是二次型調(diào)節(jié)器問題。二是最優(yōu)估計器問題。LQ最優(yōu)控制就是二次型調(diào)節(jié)器問題。最優(yōu)狀態(tài)反應(yīng)控制有最優(yōu)反應(yīng)矩陣式〔6-4〕：〔6-4〕最優(yōu)控制為式〔6-5〕：〔6-5〕以及滿足的方程式〔6-6〕：〔6-6〕利用濾波理論，從狀態(tài)中得到最優(yōu)估計，使估計誤差平方和的期望值最小〔最小方差跡準(zhǔn)那么濾波估計〕，即有式〔6-7〕：〔6-7〕這種最優(yōu)估計器為式〔6-8〕：〔6-8〕上式中，為濾波器增益，即式〔6-9〕：〔6-9〕其中為以下方程式〔6-10〕的解：〔6-10〕分別計算LQ最優(yōu)控制與最優(yōu)估計，再將這兩問題的解合在一起，就得到LQG控制的最優(yōu)解。6.2LQG最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)與例如在MATLAB工具箱里，有特別提供的函數(shù)來求解LQG最優(yōu)控制。函數(shù)的調(diào)用格式為：其中，輸入?yún)⒘繛橄到y(tǒng)的狀態(tài)空間模型；為由函數(shù)求得的最優(yōu)狀態(tài)反應(yīng)增益矩陣；為函數(shù)求得的濾波器狀態(tài)估計增益矩陣。例【6-1】：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：〔6-11〕二次型調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)為〔6-12〕式中,〔6-13〕輸入噪聲與量測噪聲的有關(guān)參數(shù)分別為，。要求：利用GUI工具箱設(shè)計一個界面實現(xiàn)如下功能：〔1〕試由系統(tǒng)狀態(tài)方程求其傳遞函數(shù)；〔2〕對原系統(tǒng)階躍給定輸入的仿真；〔3〕試設(shè)計LQG控制器，對LQG最優(yōu)控制的系統(tǒng)進行階躍給定輸入的仿真。解：第一步：啟動GUI工具箱以后，布置如6.1圖所示的界面：圖6.1線性二次型Guass最優(yōu)控制GUI界面上述界面包含一個坐標(biāo)軸控件、一個靜態(tài)文本框控件、一個可編輯文本框、一個按鈕組控件、三個按鈕控件、一個列表框控件。第二步：對各控件進行屬性設(shè)置，設(shè)置完成后得到如6.2圖界面。圖6.2Guass最優(yōu)控制根本界面第三步:界面的激活與回調(diào)函數(shù)的設(shè)計〔見附錄〕。其中激活界面如6.3圖圖6.3Guass最優(yōu)控制激活GUI界面第四步:運行。〔1〕在輸入框中輸入以知矩陣，點擊界面按鈕“傳遞函數(shù)”后顯示如6.4圖界面：圖6.4Guass最優(yōu)控制運行界面由于GUI運行結(jié)果只能以數(shù)據(jù)形式輸出，在列表框中顯示的兩行數(shù)據(jù)分別是傳遞函數(shù)的分子分母，因此該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為〔2〕利用上一小題求得的傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，在編輯框中輸入傳遞函數(shù)參數(shù)，點擊“原階躍響應(yīng)”按鈕，程序運行后在坐標(biāo)軸上繪出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線?！?〕由系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖6.5可以看到原系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為發(fā)散振蕩，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因此用以下MATLAB程序設(shè)計LQG控制器并對其系統(tǒng)進行階躍給定輸入的仿真：clear;A=[-0.040-0.01;100;-1.49.8-0.02];B=[6.3;0;9.8];C=[001];D=[0];s1=ss(A,B,C,D);G=[1;0;0];Q=[100;010;001];R=1;Q0=1;R0=1;K=lqr(A,B,Q,R);L=lqe(A,G,C,Q0,R0);[af,bf,cf,df]=reg(A,B,C,D,K,L);sf=ss(af,bf,cf,df);sys=feedback(s1,sf);t=0:0.01:10;step(sys,t)圖6.5系統(tǒng)原階躍響應(yīng)設(shè)計相應(yīng)的GUI回調(diào)函數(shù)，在編輯框中輸入?yún)?shù)運行后得到LQG最優(yōu)控制的系統(tǒng)給定輸入階躍響應(yīng)仿真曲線，如圖6.6所示。圖6.6LQG最優(yōu)控制的階躍響應(yīng)曲線7結(jié)論通過以上各線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB分析，我們可以得到如下結(jié)論：最優(yōu)控制是以現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間理論為的最優(yōu)控制算法，是當(dāng)前振動控制中采用最為普遍的控制器設(shè)計方法。它所能解決的主要對象是結(jié)構(gòu)參數(shù)模型比擬準(zhǔn)確、鼓勵和測量信號。使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實現(xiàn)最優(yōu)化的根本條件和綜合方法。相對于經(jīng)典控制而言，最優(yōu)控制有它顯著的優(yōu)勢，應(yīng)用最優(yōu)理論設(shè)計的多輸入—多輸出與高階系統(tǒng)，往往能得到比經(jīng)典控制設(shè)計的結(jié)果要滿意得多，另外，現(xiàn)代的諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)設(shè)計都需要在狀態(tài)空間模型下建立最優(yōu)控制策略。本文中的四個不同的最優(yōu)控制分別證明了各自的優(yōu)缺點，說明了在不同領(lǐng)域的應(yīng)用情況。GUI控制界面的實現(xiàn)，他極大地方便了最優(yōu)控制理論使人們在實際應(yīng)用中從此不再需要死記硬背大量的命令，取而代之的是可以通過窗口、菜單、按鍵等方式來方便地進行操作。證明了GUI工具的幾大優(yōu)點：輕型、占用資源少、高性能、高可靠性、便于移植、可配置等。而以上結(jié)論恰和的理論相符合，到達了實現(xiàn)最優(yōu)控制的目的。參考文獻：[1]張洪