重慶市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期定時(shí)練習(xí)（三）數(shù)學(xué)試題

2024年重慶第一中學(xué)高2025屆高二下期數(shù)學(xué)定時(shí)練習(xí)試題（三）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本卷或者草稿紙上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則或，所以，或.故選：B.2.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為2，則（）A.0 B.2 C.2.5 D.1【答案】A【解析】【分析】能夠識(shí)別求和符號(hào)，利用平均數(shù)的知識(shí)即可求解.【詳解】.故選：A.3.某校為了了解同學(xué)們參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，決定利用分層抽樣的方法從高一、高二、高三學(xué)生中選取200人進(jìn)行調(diào)查，已知該校高一年級(jí)學(xué)生有1300人，高二年級(jí)學(xué)生有1200人，高三年級(jí)學(xué)生有1500人，則抽取的學(xué)生中，高三年級(jí)有（）A.50人 B.60人 C.65人 D.75人【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求解即可.【詳解】由題可知，三個(gè)年級(jí)共有人，抽樣比例為，則抽取的學(xué)生中，高三年級(jí)有人.故選：D.4.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的前120項(xiàng)和為（）A.4950 B.10 C.9 D.【答案】B【解析】【分析】先利用題給條件求得，進(jìn)而求得，再利用裂項(xiàng)相消法即可求得數(shù)列的前120項(xiàng)和.【詳解】由，可得數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，則，又，則，則則數(shù)列的前120項(xiàng)和為故選：B5.在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.165 B.165 C.55 D.55【答案】B【解析】【分析】分別將各多項(xiàng)式含項(xiàng)的系數(shù)加起來(lái)，即可組合的性質(zhì)計(jì)算即可【詳解】在展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為．故選：B6.某班級(jí)周三上午共有5節(jié)課，只能安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、體育和物理.數(shù)學(xué)必須安排，且連續(xù)上兩節(jié)，但不能同時(shí)安排在第二三節(jié)，除數(shù)學(xué)外的其他學(xué)科最多只能安排一節(jié)，體育不能安排在第一節(jié)，則不同的排課方式共有（）A.48種 B.60種 C.72種 D.96種【答案】B【解析】【分析】先安排數(shù)學(xué)，當(dāng)數(shù)學(xué)排在第一二節(jié)時(shí)，第三四五節(jié)可任意安排；當(dāng)數(shù)學(xué)排在第三四節(jié)或第四五節(jié)時(shí)，先給第一節(jié)排課，再給余下的節(jié)次排課即可解決.【詳解】分三類討論：（1）當(dāng)數(shù)學(xué)排在第一二節(jié)，則語(yǔ)文、英語(yǔ)、體育和物理任選三科排在第三四五節(jié)即可，共有種方法；（2）當(dāng)數(shù)學(xué)排在第三四節(jié)，則在語(yǔ)文、英語(yǔ)和物理中任選一科排在第一節(jié)，再在包含體育余下的三科中任選二科排在第二五節(jié)即可.共有種方法；（3）當(dāng)數(shù)學(xué)排在第四五節(jié)，則在語(yǔ)文、英語(yǔ)和物理中任選一科排在第一節(jié)，再在包含體育余下的三科中任選二科排在第二三節(jié)即可.共有種方法；則符合要求的方法總數(shù)為故選：B7.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得單調(diào)性，利用單調(diào)性求解不等式的解集．【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，的解集等價(jià)于的解集，即，所以，即不等式的解集為.故選：C.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上位于軸上方的點(diǎn)，為右焦點(diǎn).延長(zhǎng)、交橢圓于、兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接、、，推導(dǎo)出四邊形為矩形，設(shè)，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得橢圓的離心率的值.【詳解】解：如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接、、，由題意可知，、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且為的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)椋运倪呅螢榫匦?因?yàn)?，設(shè)，，則，，所以，，在中，，即，解得，所以，，，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，解得.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（）A.單調(diào)遞減區(qū)間為B.在處取得極大值C.只有一個(gè)零點(diǎn)D.【答案】BC【解析】【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷A；根據(jù)極值的定義即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，故A錯(cuò)誤；在處取得極大值，故B正確；因?yàn)?，所以函?shù)在上有唯一零點(diǎn)，又因當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上不存在零點(diǎn)，綜上只有一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間為，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，則下列描述不正確的是（）A. B.除以5所得的余數(shù)是1C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法即可判斷AC、求導(dǎo)數(shù)后結(jié)合賦值法可判斷D，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)即可求解B.【詳解】，令，可得，再令，可得，,故A錯(cuò)誤．由于，即展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和系數(shù)和，故，，故C錯(cuò)誤．由題意，，顯然，除了最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均能被5整除，除以5所得的余數(shù)是1，故B正確．把函數(shù)兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，可得，再令，可得，，可得，故,故D錯(cuò)誤．故選：ACD．11.“”表示不大于x的最大整數(shù)，例如：，，．下列關(guān)于的性質(zhì)的敘述中，正確的是（）A.B.若，則C.若數(shù)列中，，，則D.被3除余數(shù)為0【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由題意得到，變形得到；B選項(xiàng)，舉出反例即可；C選項(xiàng)，求出，利用等差數(shù)列求和公式求出答案；D選項(xiàng)，分析得到，被3除余數(shù)為1，分組求和后得到其被3除余數(shù)為1011，而，故D正確.【詳解】對(duì)于A，由定義“”表示不大于x的最大整數(shù)可知，，故，用代換x，即得，故A正確．對(duì)于B，不妨設(shè)，，滿足，但此時(shí)，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，由，可得，故，則，故C正確．對(duì)于D，對(duì)任意自然數(shù)k，與均不是整數(shù)，且，則．當(dāng)時(shí)，，即被3除余數(shù)為1．當(dāng)時(shí)，，，則被3除余數(shù)為1，，由上述分析知其被3除余數(shù)為1011，而，即M能被3整除，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義問(wèn)題的方法和技巧：（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在展開(kāi)式中，第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____.【答案】10【解析】【分析】先求得二項(xiàng)式冪次n的值，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求得展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】在的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則的展開(kāi)式共6項(xiàng)，則則令，則，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：1013.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足（是常數(shù)，），且，則___________.【答案】【解析】【分析】由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)可求得的值.【詳解】對(duì)任意的，（是常數(shù)，），當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，.故答案為：.14.函數(shù).若函數(shù)的最小值為0.則實(shí)數(shù)k的范圍______.【答案】．【解析】【分析】函數(shù)的值域?yàn)?，，等價(jià)于的最小值小于等于0，利用導(dǎo)數(shù)求出對(duì)恒成立時(shí)的范圍，再由補(bǔ)集思想得結(jié)論．【詳解】函數(shù)的最小值為0，等價(jià)于的最小值小于等于0．下面考慮對(duì)恒成立時(shí)的范圍．，即，也就是，即對(duì)恒成立．令，，，再設(shè)，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，故存在，使得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng),1），，單調(diào)遞增，，由于函數(shù)，故函數(shù)在單調(diào)遞增，，，由于所以,結(jié)合函數(shù)在單調(diào)遞增，故，，，，則．滿足原題意的的取值范圍為,．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.隨機(jī)抽取100名男學(xué)生，測(cè)得他們的身高（單位：cm），按照區(qū)間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示（1）求這100名男學(xué)生身高在170cm及以上的學(xué)生人數(shù)；（2）估計(jì)該校100名學(xué)生身高的75%分位數(shù).【答案】（1）60人（2）176.25【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1列出方程，可得，進(jìn)而結(jié)合頻率公式進(jìn)行求解即可；（2）先求出,和,人數(shù)占比，可得該校100名生學(xué)身高的分位數(shù)落在,，進(jìn)而列出方程即可求解；【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可知，解得，身高在及以上的學(xué)生人數(shù)（人；【小問(wèn)2詳解】,的人數(shù)占比為，,的人數(shù)占比為，所以該校100名生學(xué)身高的分位數(shù)落在,，設(shè)該校100名生學(xué)身高的分位數(shù)為，則，解得，故該校100名生學(xué)身高的分位數(shù)為176.25；16.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次為M，P，N，且滿足.（1）若直線l：的系數(shù)a，b，c（）為展開(kāi)式中所有無(wú)理項(xiàng)系數(shù)，求不同直線l的條數(shù)；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）10；（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出n值并求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，再利用組合求解作答.（2）由（1）中通項(xiàng)公式，列出不等式組，求出系數(shù)最大的項(xiàng)作答.【小問(wèn)1詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，，依題意，，即，顯然，解得，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)不是整數(shù)，即時(shí)，是無(wú)理項(xiàng)，當(dāng)r分別取1，2，3，5，6，7時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)分別為，從的5個(gè)數(shù)中取3個(gè)不同數(shù)分別為使，有種取法，每種取法確定一條直線，所以不同直線l的條數(shù)是10.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令第項(xiàng)的系數(shù)最大，則有，即，整理得，解得，而，因此或，所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是，.17.已知數(shù)列滿足，數(shù)列首項(xiàng)為2，且滿足.（1）求和的通項(xiàng)公式（2）記集合，若集合的元素個(gè)數(shù)為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，求得，再由，結(jié)合等差數(shù)列的定義，求得，得到的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，記，化簡(jiǎn)，得出數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合題意，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由，當(dāng)時(shí)，，相減可得，故，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以，又由，可得，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，所以，則.【小問(wèn)2詳解】解：由和，可得，記，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，而，由于集合的元素個(gè)數(shù)為，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知C：的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，直線m的方程為：，過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線m交直線m于點(diǎn)E.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）①若線段EN必過(guò)定點(diǎn)P，求定點(diǎn)P的坐標(biāo)；②點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）（2）①；②.【解析】【分析】(1)橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為,離心率為,列出方程,求解,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)①設(shè)直線方程:,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理求解直線方程,然后得到定點(diǎn)坐標(biāo).

②由（1）中,利用弦長(zhǎng)公式,求解三角形的面積表達(dá)式,然后求解最大值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得:

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】證明:

①由題意知,,

設(shè)直線方程:,

聯(lián)立方程,得,所以,所以,又,所以直線方程為:,令,則.所以直線過(guò)定點(diǎn).

②由①中,所以,

又，

所以,

令,則,

令,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,

則在上單調(diào)遞減,

即在上單調(diào)遞減,

所以時(shí),.19.已知雙曲線，直線為其中一條漸近線，為雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，交于點(diǎn)，再過(guò)作軸的垂線交雙曲線右支于點(diǎn)，重復(fù)剛才的操作得到，記．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）過(guò)作雙曲線的切線分別交雙曲線兩條漸近線于，記，求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上，又，得是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，可求得.（2）由切線方程代入漸近線，得，，由放縮法證明右邊，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明不等式，再利用放縮法證明左邊.【小問(wèn)1詳解】雙曲線，漸近線方程為，由已知可得：，又點(diǎn)在雙