2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識(shí)點(diǎn)分類）三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心42．（2023?聊城）如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA．若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°【答案】C【分析】連接IC，IB，OC，根據(jù)點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，得到AI平分∠BAC，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OC，∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴AI平分∠BAC，∵∠CAI＝35°，∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，∵點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC=∠OCB=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心16．（2023?湖北）如圖，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC分別相切于點(diǎn)D，E，連接DE，AO的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)F，則∠AFD＝35°．【答案】35°．【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的定義和切線長(zhǎng)定理，可以計(jì)算出∠AOB的度數(shù)和∠OGF的度數(shù)，然后即可計(jì)算出∠AFD的度數(shù)．【解答】解：連接OD，OE，OB，OB交ED于點(diǎn)G，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝110°，∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，∴∠OAB+∠OBA＝55°，∴∠AOB＝125°，∵OE＝OD，BD＝BE，∴OB垂直平分DE，∴∠OGE＝90°，∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，故答案為：35°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)切圓、切線長(zhǎng)定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三角形的外接圓與外心45．（2023?廣安）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，圓的半徑為7，∠BAC＝60°，則弦BC的長(zhǎng)度為73．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理；垂徑定理．【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系，可以求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到BD的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理即可得到BC的長(zhǎng)．【解答】解：作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，OC，如圖所示，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，OB＝7，BD＝CD，∴BD＝BO?sin∠BOD＝7×sin60°＝7×3∴BC＝2BD＝73，故答案為：73．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓、垂徑定理、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三角形的外接圓與外心47．（2023?巴中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠C＝25°，則∠BAO＝（）A．25° B．50° C．60° D．65°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】由圓周角定理求得∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等和三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論．【解答】解：連接OB，∵∠C＝25°，∴∠AOB＝2∠C＝50°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO=180°?50°故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半．解題時(shí)，借用了等腰三角形的兩個(gè)底角相等和三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外接圓與外心43．（2023?武威）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠CDB＝55°，則∠ABC＝35°．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，故答案為：35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：熟練掌握三角形的外心的定義與性質(zhì)．也考查了圓周角定理．三角形的外接圓與外心43．（2023?十堰）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，AE＝DE，BC＝CE，過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FO交BE于點(diǎn)G，若DE＝3，EG＝2，則AB的長(zhǎng)為（）A．43 B．7 C．8 D．4【答案】B【分析】首先得出△AEB≌△DEC，進(jìn)而得出△EBC為等邊三角形，由已知得出EF，BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CM，BM的長(zhǎng)，再求出AM的長(zhǎng)，再由勾股定理求出AB的長(zhǎng)．【解答】解：在△AEB和△DEC中，∠A=∠DAE=ED∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB＝EC，∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴△EBC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，如圖，作BM⊥AC于點(diǎn)M，∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC為等邊三角形，∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM=52，BM=3∴AM＝AC﹣CM=11∴AB=A故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形，垂徑定理等知識(shí)，得出CM，BM的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．三角形的外接圓與外心32．（2023?陜西）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，過點(diǎn)B作BC的垂線，交⊙O于點(diǎn)D，并與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，作BF⊥AC，垂足為M，交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝BC；（2）若⊙O的半徑r＝3，BE＝6，求線段BF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）23+【分析】（1）如圖，連接DC，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝45°，求得∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，根據(jù)圓周角定理得到CD為⊙O的直徑，求得CD＝2r＝6．根據(jù)勾股定理得到EC=BE2【解答】（1）證明：如圖，連接DC，則∠BDC＝∠BAC＝45°，∵BD⊥BC，∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，∴∠BCD＝∠BDC．∴BD＝BC；（2）解：如圖，∵∠DBC＝90°，∴CD為⊙O的直徑，∴CD＝2r＝6．∴BC＝CD?sin∠BDC=6×22=∴EC=BE2∵BF⊥AC，∴∠BMC＝∠EBC＝90°，∠BCM＝∠BCM，∴△BCM∽△ECB．∴BCEC∴BM=BC?EBEC=32×6連接CF，則∠F＝∠BDC＝45°，∠MCF＝45°，∴MF＝MC=6∴BF＝BM+MF＝23+【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三角形的外接圓與外心14．（2023?湖北）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（）A．52π?74 B．52π?72 C．54【答案】D【分析】作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△AOC是直角三角形，從而可得∠AOC＝90°，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，由題意得：OA2＝12+22＝5，OC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC=5∴圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積=90π×(5)2360?=5π=5π=5π故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．三角形的外接圓與外心38．（2023?自貢）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，連接BD，∠DCA＝41°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．41° B．45° C．49° D．59°【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理．【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBA＝∠DCA，進(jìn)而可計(jì)算∠ABC．【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC＝90°，∵∠DBA＝∠DCA＝41°，∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弧所對(duì)的圓周角相等，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，難度不大．三角形的外接圓與外心42．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分別為D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，F(xiàn)D．若DE＋DF＝6.5，△ABC的周長(zhǎng)為21，則EF的長(zhǎng)為（）A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理得到AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，根據(jù)三角形的中位