專題3.4 目標(biāo)范圍與最值函數(shù)處理最相宜（原卷版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

【題型綜述】圓錐曲線中的目標(biāo)取值范圍與最值問題關(guān)鍵是選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化函數(shù)的取值范圍與最值問題，其求解策略一般有以下幾種：①幾何法：若目標(biāo)函數(shù)有明顯幾何特征和意義，則考慮幾何圖形的性質(zhì)求解；②代數(shù)法:若目標(biāo)函數(shù)的幾何意義不明顯，利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等方法求函數(shù)的值域或最值，注意變量的范圍，在對(duì)目標(biāo)函數(shù)求最值前，常要對(duì)函數(shù)進(jìn)行變換，注意變形技巧，若一個(gè)函數(shù)式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，則可以通過換元的方法把其轉(zhuǎn)化為分母為二次式、分子為一次式的函數(shù)式，這樣便于求解此函數(shù)式的最值.【典例指引】類型一角的最值問題例1【2017山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.【解析】類型二距離的最值問題例2.【2017浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn)．過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q．（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）求的最大值．【解析】類型三幾何圖形的面積的范圍問題例3【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.學(xué)#科網(wǎng)【解析】類型四面積的最值問題例4.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分14分）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：

的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).

（=1\*ROMANI）求橢圓C的方程；（=2\*ROMANII）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.（=1\*romani）求證：點(diǎn)M在定直線上;（=2\*romanii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】【擴(kuò)展鏈接】1.過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.2.若橢圓(a＞0,b＞0)與直線交于，則（1）（2），，（3），.【新題展示】1．【2019福建莆田質(zhì)檢】已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)為的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為。（1）求的方程；（2）設(shè)斜率存在的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為。若存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍?！舅悸芬龑?dǎo)】（1）結(jié)合橢圓性質(zhì)，計(jì)算a，b的值，得到橢圓方程，即可。（2）設(shè)出直線PQ的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，建立等式，用k表示t，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算范圍，即可。2．【2019山東日照一模】已知左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓過點(diǎn)，且橢圓C關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)．(I)求橢圓C的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程。(II)圓與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，R為線段AB上任一點(diǎn)，直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若AB為圓的直徑，且直線的斜率大于1，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）利用橢圓C過點(diǎn)，∵橢圓C關(guān)于直線x＝c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)，推出a＝2c，然后求解橢圓C的離心率，標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）設(shè)A（），B（），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直線AB的方程，代入橢圓C的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)F1R：y＝k（x+1），聯(lián)立，設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），利用韋達(dá)定理，結(jié)合，，化簡|PF1||QF1|，通過，求解|PF1||QF1|的取值范圍．3．【2019湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)離心率得到，由的面積的最大值為得到，再結(jié)合橢圓中求出參數(shù)的值后可得方程．（2）將直線方程代入橢圓方程消去y得到關(guān)于x的二次方程，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由得，進(jìn)而有，并由此得到，最后根據(jù)基本不等式得到所求范圍．4．【2019廣東韶關(guān)1月調(diào)研】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過作兩條互相垂直的直線，且交橢圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的取值范圍．【思路引導(dǎo)】(1)由題意布列關(guān)于a，b的方程組，解之即可；(2)討論直線的斜率，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理表示弦長，進(jìn)而得到四邊形的面積，借助對(duì)勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得到結(jié)果．5．【2019湖北黃岡元月調(diào)研】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】根據(jù)，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．列出關(guān)于、、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的方程；對(duì)直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標(biāo)軸垂直，可求出兩條弦長度之和；二是當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可計(jì)算出的長度的表達(dá)式，然后利用相應(yīng)的代換可求出的長度表達(dá)式，將兩線段長度表達(dá)式相加，利用函數(shù)思想可求出兩條弦長的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進(jìn)行合并即可得出答案．6．【2019廣西柳州1月模擬】已知點(diǎn)，直線為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與分別交軌跡于四點(diǎn)．求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，由展開計(jì)算得到的關(guān)系式即可；(2)當(dāng)直線的斜率不存在（或者為0）時(shí)，可求出四點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到；當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)為，直線的方程為，與軌跡的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得到+的表達(dá)式，然后利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)可求出的取值范圍。7．【2019江西九江一模】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與相切于點(diǎn)，（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，求點(diǎn)到軸距離的最小值及此時(shí)直線的方程?！舅悸芬龑?dǎo)】（Ⅰ）設(shè)A（x0，y0），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用判別式為0，結(jié)合拋物線的定義，可得拋物線方程；（Ⅱ）由題意可得直線l的斜率不為0，設(shè)l：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和基本不等式可得所求直線方程．8．【2019廣東廣州一?！恳阎獧E圓C：的離心率為，點(diǎn)P在C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求△的內(nèi)切圓的半徑的最大值．【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)離心率為，點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、、的方程組，求出、，即可得結(jié)果；（2）可設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式，利用三角形面積公式可得，換元后利用導(dǎo)數(shù)可得的最大值為，再結(jié)可得結(jié)果．【同步訓(xùn)練】1．已知橢圓（）的離心率，橢圓過點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，已知，求面積的最大值.【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系，再由橢圓過定點(diǎn)P得另一關(guān)系式，聯(lián)立后求得a，b的值，則橢圓方程可求；

（2）設(shè)出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式求得弦長，由點(diǎn)到直線的距離公式求出AB邊上的高，代入面積公式后利用基本不等式求最值．【詳細(xì)解析】2.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，為橢圓的離心率，且點(diǎn)為橢圓短半軸的上頂點(diǎn)，為等腰直角三角形.學(xué)@科網(wǎng)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，求的面積的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于兩個(gè)獨(dú)立條件：，，解方程組可得，（2）設(shè)直線的方程為，，將條件用坐標(biāo)表示，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理化簡條件得．因?yàn)?，所以利用韋達(dá)定理計(jì)算．最后根據(jù)自變量范圍，利用對(duì)勾函數(shù)求函數(shù)值域.【詳細(xì)解析】3.已知橢圓的離心率為，短軸長為2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】（1）由已知求得，再由橢圓離心率及隱含條件求得，則橢圓方程可求；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求得，再由，可得，從而求得的范圍，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，則取值范圍可求．【詳細(xì)解析】4.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，的周長為8.(1)求橢圓C的方程；(2)求面積的最大值．【思路點(diǎn)撥】（1）由△F1AB的周長可得的值，再由離心率的值可得，由的關(guān)系可得的值，由此可得橢圓的方程；（2）可設(shè)的坐標(biāo)及直線的方程,則的面積可轉(zhuǎn)化為求，聯(lián)立橢圓與直線的方程可得，由基本不等式即可得的面積的最大值.【詳細(xì)解析】5.已知橢圓過點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，且，直線與直線分別交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程及線段的長度的最小值；（2）是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)線段的長度取得最小值時(shí)，求的面積的最大值．【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓和拋物線y2＝4x有共同的焦點(diǎn)，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)a2=b2+c2，即可求得橢圓C的方程；

（2）根據(jù)（1）寫出點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P和直線AP，BP的方程，并且與直線y=3分聯(lián)立，求出G，H兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)求函數(shù)的最值方法可求,當(dāng)平行于的直線與橢圓下方相切時(shí)，的面積取最大值,求此時(shí)三角形面積即可.【詳細(xì)解析】6.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線：被圓：所截得的弦長為，若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．【思路點(diǎn)撥】（1）利用離心率可以得出的關(guān)系，化為的關(guān)系，再利用的面積列出的方程，借助解出，寫出橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，化為關(guān)于的一元二次方程，利用設(shè)而不求思想，借助根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長公式表示出弦長，寫出面積，利用換元法和配方法求出最值.【詳細(xì)解析】7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，點(diǎn)（），以為圓心，為半徑作圓，交圓于點(diǎn)，且的平分線交線段于點(diǎn).學(xué)&科網(wǎng)（1）當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)始終在某圓錐曲線上運(yùn)動(dòng)，求曲線的方程；（2）已知直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，記面積為，面積為，求的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】（1）推導(dǎo)出△QAB≌△QPB，從而QC+QA=4，由橢圓的定義可知，Q點(diǎn)的軌跡是以C，A為焦點(diǎn)，的橢圓，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡方程．

（2）設(shè)直線l：x=my-1，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），推導(dǎo)出，由得，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件求出的取值范圍.【詳細(xì)解析】8.已知拋物線過點(diǎn)（2,1）且關(guān)于軸對(duì)稱.（1）求拋物線的方程；（2）已知圓過定點(diǎn)，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，且圓與軸交于兩點(diǎn)，設(shè)，求的最大值.【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（2）設(shè)M（a，b），則a2=4b．半徑R=，可得M的方程為（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2，令y=0，解得x，可得A，B．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得：l1，l2，代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳細(xì)解析】9.已知點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為非零常數(shù)）（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，斜率為1的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)條件用Q點(diǎn)坐標(biāo)表示A點(diǎn)坐標(biāo)，再代入化簡可得的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得三角形的高，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式可得三角形底邊邊長，再根據(jù)三角形面積公式可得，最后根據(jù)基本不等式求最大值【詳細(xì)解析】10.已知拋物線：（），焦點(diǎn)為，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）若，求的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)拋物線的定義知，，∵，從而可求出，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長公式將用表示，換元后利用基本不等式可得結(jié)果.【詳細(xì)解析】11.已知橢圓經(jīng)過，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.學(xué)%科網(wǎng)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于、、的方程組，結(jié)合性質(zhì)，求出、、，即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得：，根據(jù)韋達(dá)定理及三角形面積公式可得，利用基本不等式可得結(jié)果.【詳細(xì)解析】12.已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在