用空間向量研究直線、平面的位置關系課件+(第2課時) 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）+選擇性必修第一冊

1.4.1

用空間向量研究直線、平面的位置關系第2課時

空間中直線、平面的平行【情境導入】牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝.在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設于要道口.牌樓中有一種有柱門形構筑物,一般較高大.如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行.這是為什么呢?【知識回顧】問題1：兩直線平行的基本事實是什么？

提示：平行于同一條直線的兩條直線平行問題2：直線與平面平行的判定定理是什么？

提示：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.問題3：平面與平面平行的判定定理是什么？

提示：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.

思考1：設u1,u2

分別是直線l1,l2

的方向向量.那么能否用直線的方向向量來刻畫空間直線的平行？

【探究新知】結論1.線線平行向量表示設u1,u2

分別是直線

l1,l2

的方向向量.l1∥l2

?u1∥u2

??λ∈R，使得u1=λu2.

思考2：設u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，l?n,那么能否用直線的方向向量和平面的法向量來刻畫空間直線和平面的平行？

結論2.線面平行的向量表示設u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，l?α則l∥α?u⊥n?u·n=0思考3：設n1,n2是平面α,β的法向量，那么能否用平面的法向量來刻畫兩平面的平行？

結論3.面面平行的向量表示設n1

,n2是平面α,β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1=λn2

1.空間平行關系的本質是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.溫馨提示小試身手11.若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,－5),b=(－6,x,y),且兩條直線平行,則x=

,y=

.

2.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(－1,2,－3),平面β的法向量為n=(4,－1,－2),則l與β的位置關系是

.

－12

15

解析:因為u·n=(－1,2,－3)·(4,－1,－2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.平行

3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(－3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(－2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(－2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(－2,－2,－2)D

解析:因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應該平行,只有D項符合.例1.在長方體ABCD－A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.證明:

以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.【舉例應用】點撥：要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.例2.如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖.設正方體的棱長為1,則可求得點撥：利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內的某一向量共線,再結合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.例3.證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.αβabP已知：如圖，a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α.求證：α∥β.例4.如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設正方體的棱長為1,故當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.點撥:利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明;(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.【課堂小結】

位置關系

向量表示線線平行設u1,u2

分別是直線

l1,l2

的方向向量.則l1∥l2

?u1∥u2

??λ∈R，使得u1=λu2

線面平行設u是直線l