用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系課件+(第2課時(shí)) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）+選擇性必修第一冊(cè)

1.4.1

用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第2課時(shí)

空間中直線、平面的平行【情境導(dǎo)入】牌樓與牌坊類(lèi)似,是中國(guó)傳統(tǒng)建筑之一,最早見(jiàn)于周朝.在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時(shí)牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口.牌樓中有一種有柱門(mén)形構(gòu)筑物,一般較高大.如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行.這是為什么呢?【知識(shí)回顧】問(wèn)題1：兩直線平行的基本事實(shí)是什么？

提示：平行于同一條直線的兩條直線平行問(wèn)題2：直線與平面平行的判定定理是什么？

提示：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.問(wèn)題3：平面與平面平行的判定定理是什么？

提示：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.

思考1：設(shè)u1,u2

分別是直線l1,l2

的方向向量.那么能否用直線的方向向量來(lái)刻畫(huà)空間直線的平行？

【探究新知】結(jié)論1.線線平行向量表示設(shè)u1,u2

分別是直線

l1,l2

的方向向量.l1∥l2

?u1∥u2

??λ∈R，使得u1=λu2.

思考2：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，l?n,那么能否用直線的方向向量和平面的法向量來(lái)刻畫(huà)空間直線和平面的平行？

結(jié)論2.線面平行的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，l?α則l∥α?u⊥n?u·n=0思考3：設(shè)n1,n2是平面α,β的法向量，那么能否用平面的法向量來(lái)刻畫(huà)兩平面的平行？

結(jié)論3.面面平行的向量表示設(shè)n1

,n2是平面α,β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1=λn2

1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時(shí),要注意向量所在的直線與所證直線或平面無(wú)公共點(diǎn),證明平面與平面平行時(shí)也要注意兩平面沒(méi)有公共點(diǎn).溫馨提示小試身手11.若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,－5),b=(－6,x,y),且兩條直線平行,則x=

,y=

.

2.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(－1,2,－3),平面β的法向量為n=(4,－1,－2),則l與β的位置關(guān)系是

.

－12

15

解析:因?yàn)閡·n=(－1,2,－3)·(4,－1,－2)=0,所以u(píng)⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.平行

3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個(gè)平面法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(－3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(－2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(－2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(－2,－2,－2)D

解析:因?yàn)槠矫姒痢桅?所以?xún)蓚€(gè)平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項(xiàng)符合.例1.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點(diǎn)P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點(diǎn).求證:PQ∥RS.證明:

以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.【舉例應(yīng)用】點(diǎn)撥：要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.例2.如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.(方法3)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則可求得點(diǎn)撥：利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a,b是共面向量,即滿(mǎn)足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.例3.證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.αβabP已知：如圖，a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α.求證：α∥β.例4.如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問(wèn):當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面PAO?解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點(diǎn)Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.點(diǎn)撥:利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;(2)通過(guò)證明兩個(gè)平面的法向量平行證明.【課堂小結(jié)】

位置關(guān)系

向量表示線線平行設(shè)u1,u2

分別是直線

l1,l2

的方向向量.則l1∥l2

?u1∥u2

??λ∈R，使得u1=λu2

線面平行設(shè)u是直線l