2023-2024學(xué)年山東省金科大聯(lián)考高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省金科大聯(lián)考高三(上)質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷(9

月份)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合4={x|2xN3-x},B={x\y=2^^}，則CR(AUB)=()

A.(—8,1)B.(—8,2)C.(1,+8)D.(2,+8)

2.復(fù)數(shù)2=-彳一《1一。的模為()

A*B.。C.|D.C

3.已知f(%)是R上的奇函數(shù)，則函數(shù)g(%)=/(%+1)-2的圖象恒過點(diǎn)()

A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

4.某校舉辦歌唱比賽，將200名參賽選手的成績(jī)整理后畫出頻率分布直方圖如圖，根據(jù)頻率

分布直方圖，第40百分位數(shù)估計(jì)為()

A.64B.65C.66D.67

5.如圖，在平行四邊形/BCD中，。為對(duì)角線的交點(diǎn)，E為4。的中點(diǎn),

尸為C。的中點(diǎn)，若EF=xOC+yOD,則x—2y=()

A.1B.2C.D.I

32

6.過點(diǎn)4(1,1),B(3,3)且圓心在直線y=3x上的圓與y軸相交于P,Q兩點(diǎn)，則PQ|=()

A.3B.3V_2C.D.4

7.己知函數(shù)/（均=411觸一以3>0）在［0愣］上單調(diào)遞增，在帛+焉上單調(diào)遞減，將函

數(shù)/⑶的圖象向左平移火0<8<今個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）為偶函

數(shù)，則0=（）

A-IB；C.I

8.如圖，A,B分別是橢圓C：各，=l（a>b>0）的左、

右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓。上（點(diǎn)P異于4,B兩點(diǎn)），線

段4P與橢圓C交于另一點(diǎn)Q,若直線BP的斜率是直線BQ的斜率

的4倍，則橢圓C的離心率為（）

A.H

3

B4

c.W

2

D1

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知等差數(shù)列｛5｝的前n項(xiàng)和為工,公差為d,a3=ax-4,S7=154,則（）

A.d=-2B.ar=30

C.一320是數(shù)列9"｝中的項(xiàng)D.Sn取得最大值時(shí)，n=14

10.如圖，已知圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為2,母線長(zhǎng)為無--

2,AB,CD分別為上、下底面的直徑，AC,BD為圓臺(tái)的母線，E為//\

弧AB的中點(diǎn)，則（）AC__/

A.圓臺(tái)的側(cè)面積為67r

B.直線4c與下底面所成的角的大小為W

C.圓臺(tái)的體積為q

D.異面直線4c和DE所成的角的大小為J

11.已知函數(shù)f(%)=%伍%—QX+1,貝|J()

A.當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)八>)的最小值為1

B.當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)/(%)的極大值點(diǎn)為x=1

C.存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)/Xx)在定義域上單調(diào)遞增

D,若“X)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<1

12.已知拋物線C：必=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,過y軸上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的任

意一點(diǎn)P作拋物線C的一條切線，切點(diǎn)為Q,且直線PQ的斜率存在，。為坐標(biāo)原點(diǎn).則()

A.p=2

B.當(dāng)線段PF的中點(diǎn)在拋物線C上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2/2)

C.PF1PQ

D.\PQ\■\0F\=\0P\■\PF\

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.3名男生和3名女生站成一排照相，則男生站在一起，且女生站在一起的概率為.

14.曲線/(%)=x3-2/過原點(diǎn)的切線方程為.

15.已知cosaH0,3sin2a—cos2a=1.貝Item2a=.

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCD為矩形，PC_L平面P

ABCD,AB=4,PC=BC=3,E,F,G分別為ZD,AB,PC的中

點(diǎn)，點(diǎn)H在棱PC上，且BH〃平面EFG,則三棱錐"一ABD的外接球修夕2；/，)。

的表面積為,//

AFB

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在△ABC中,內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(a—c)(a+c)sinC=c(b-c)sinB.

(1)求A；

(2)若△ABC的面積為一百，sinBsinC=；,求a的值.

18.(本小題12.0分)

在前n項(xiàng)和為無的等比數(shù)列｛七｝中，%=2,S3=3a2+2.

(1)求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)記以=2log2an-1,將數(shù)列｛aj和數(shù)列｛%｝的所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新

的數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛0｝的前50項(xiàng)的和.

19.(本小題12.0分)

零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會(huì)越高,某企業(yè)為了提高零件

產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表:

零件直徑(單位：

口.0,1.2)[1.2,1.4)[1.4J.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]

厘米)

零件個(gè)數(shù)1025302510

已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布N(〃R2),〃，02分別為這100個(gè)零件的直徑的平均數(shù)及

方差(同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表).

(1)分別求出M的值；

(2)試估計(jì)這批零件直徑在［1.044,1.728］的概率；

(3)隨機(jī)抽查2000個(gè)零件，估計(jì)在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在［1.044,1.728］的個(gè)數(shù).

參考數(shù)據(jù)：V0.052x0.228;

若隨機(jī)變量E?N(〃R2),貝爐(4-a<^<n+a)0.6827,-2a<^<n+2a)

0.9545,PQi-3<r<f<//+3<r)?0.9973.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCC是直角梯形，BC//AD,AB1BC,平面PAB_1_平面

ABCD,PA=PB,AP1BP,BA=2,BC=1,AD=3,PE=APD(0<A<1).

(1)若CE〃平面P4B,求，的值；

(2)若;l=T，求平面48E與平面PCO的夾角的余弦值.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=—3aex+2a2x.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

如圖，已知點(diǎn)7;(3,—七)和點(diǎn)72(—5,—71)在雙曲線C：與一4=l(a>0,b>0)上，雙曲線

ab

C的左頂點(diǎn)為4，過點(diǎn)〃。2,0)且不與X軸重合的直線,與雙曲線。交于p,Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ

與圓0：/+丫2=@2分別交于M,N兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線4P,4Q的斜率分別為七，k2,求自購(gòu)的值；

(3)證明：直線MN過定點(diǎn).

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：集合4={x|2x23-x}={x|x21},B-[x\y-2Vx_2]={x|x>2}>

則AUB={x\x>1],所以CR(4UB)={x|x<1]=(—oo,1).

故選：A.

分別求出集合4和B,再求出力UB,由此能求出CR(4UB).

本題主要考查不等式的解法，集合的并集和補(bǔ)集運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：z=-1-i(l-i)=2i-(i-i2)=2i-i-1=-1+i,

則|z|=J(_1)2+#=^2.

故選:B.

先對(duì)z化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析1解：根據(jù)題意，f(x)是R上的奇函數(shù)，則/(%)恒過原點(diǎn)，

將的圖象向左平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，可得函數(shù)g(x)=/。+1)-2的圖象,

則函數(shù)g(x)=f(x+1)-2的圖象恒過點(diǎn)(一1,-2).

故選：D.

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)恒過原點(diǎn)，由函數(shù)圖象平移的規(guī)律分析可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，涉及函數(shù)圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：由頻率分布直方圖可知，(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)x10=1,

解得a=0.01,

v0.1+0.15=0.25<0.4,0.1+0.15+0.25=0.5>0.4,

???第40百分位數(shù)落在區(qū)間[60,70)內(nèi)，設(shè)其為小，

則0.25+(m-60)x0.025=0.4,

解得m=66,

即第40百分位數(shù)估計(jì)為66.

故選：c.

先根據(jù)頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和為1求出a的值，再利用百分位數(shù)的定義求解.

本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了百分位數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：由題可得：AF^^OC,AE=^(OD-OA)=^0D-^OA=^OD+^0C,

所以前=公-荏=|次—6前+;元)=而一2彷，

因?yàn)榍?xOC+yOD.

所以&二1

=_1,

一~2

所以x-2y=l-2x(-》=2.

故選：B.

由平面向量的線性運(yùn)算前=次-：而，結(jié)合題意及平面向量基本定理可求得x,y的值，從而可

求x-2y的值.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,3a),

由|CA|=|CB|,得J(a—1)2+(3a—1尸=(a-3)2+(3a-3)2.

解得a=1,.,.圓心(1,3),半徑r=2,

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-I)2+(y-3)2=4,

令x=0,貝ijl+(y—3/=4,解得y=V3+3或y=—+3,

|PQ|=2A/-3.

故選：C.

設(shè)圓心坐標(biāo)C為(a,3a),由|C4|=|CB|列式求得a,進(jìn)而可求|PQ|.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意可得當(dāng)x=瑞時(shí)，函數(shù)fQ)取得最大值，

且函數(shù)周期7=—>^—0,則七^—^=2kn+1，kEZ,且3<警，解得3=gk+2,kEZ,

o)6123255

又3>0,則3=2,

所以/'(x)=sin(2x所以g(x)=sin[2(x+R)-§=sin(2x+2(p一引為偶函數(shù),

則2q一(=2+k匹kez,解得9=居+:kez,又0＜?。冀?/p>

所以0=浮

故選：D.

由題意可得當(dāng)％=招時(shí)，函數(shù)取得最大值，且函數(shù)周期7=穿2葛-0,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)

即可求出3的值，然后根據(jù)圖象變換求出g(x)的關(guān)系式,再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性即可求出3的值.

本題考查了三角函數(shù)的圖象變換，涉及到函數(shù)的奇偶性，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔

題.

8.【答案】C

【解析】解：設(shè)直線BQ的斜率為k,則直線BP的斜率為4k,

又易知APIBP,.?.直線4P的斜率為一上，

即直線4Q的斜率為-三,

設(shè)Q(m,7i),則%++=1,二聲=,(a2—巾2),

又4(—Q,0),B(Q,0),

n_n2_b2

X.%=品m-arn7-a2a2

小b2

2

,,,-b-=一i,

a24

二橢圓c的離心率為;=J1-^=J1-1=￡3.

故選：c.

設(shè)直線BQ的斜率為k,則直線BP的斜率為4k,從而可得直線4P的斜率為-4，即直線4Q的斜率

為-吃，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)易得姮/卜神=_《，從而建立方程，最后再化歸轉(zhuǎn)化，即可求

解.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：。3=%—4，

則2d=—4,解得d=—2,故A正確;

S7=154,

則7(即;。7)=]54,即7a4=154,解得=22,

故％=—3d=28,故B錯(cuò)誤；

an=a1+(n-1)Xd=28+(n-1)x(—2)———2n+30,

令一320=—2n+30,解得n=175,

故320是數(shù)列｛冊(cè)｝中的項(xiàng)，故C正確；

a14=2,a15=0,a16<0,d=-2<0,

故土取得最大值時(shí)，n=14或15,故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，依次求出首項(xiàng)與公差，即可

求出其通項(xiàng)公式，即可依次判斷.

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：由題意可得上底面半徑為n=1,下底面圓半徑為上=2,母線，=2,

則圓臺(tái)的側(cè)面積為S=兀(6+r2)-Z=TT(1+2)x2=6n,故A正確；

作圓臺(tái)的軸截面如圖所示，作CM,4B,DN1AB,

則直線AC與下底面所成角為NC4B,且CD=MN=2,

則力M=BN=1,且4C=2,

貝UCOSNSB=怨=；,二"AB=*故8正確；

AC23

22

??,上底面圓的面積Si=7T*=7T,S2=Tivl-4TT,圓臺(tái)的高九=CM=V2-l=\/~39

則圓臺(tái)的體積為V=；(S]+S?+JSI?Sz)/i=g(7T+4TT+Vn-4TT)X3=V兀，故C錯(cuò)誤;

取AB中點(diǎn)0,連接0D,OE,DE,由E為弧4B的中點(diǎn)，可得0E1AB,

過點(diǎn)D,作DH14B,連接E/7,

則。H=^0B=1,且04=CD=2,OA//CD,

則四邊形49DC為平行四邊形，.?.AC〃OD,

???異面直線AC和DE所成角NODE即為0D與DE所成角，

DH=h=>J~3,EH=VOE2+OH2=V22+I2=<5,

DE=VDH2+EH2=V3+5=2c，

在^ODE中，OD=DE=2,DE=2V-2?

ODE為直角三角形，則NODE=%故力正確.

故選：ABD.

由圓臺(tái)的側(cè)面積公式以及體積公式可判斷力C；由線面角的定義可判斷B；由異面直線所成角的定

義可判斷D.

本題考查圓臺(tái)側(cè)面積、體積、線面角定義、異面直線所成角定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是中等題.

11.【答案】AD

【解析】解：已知/(%)=xlnx—ax+1,函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

可得尸(x)=Inx+1—a,

對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)a=0時(shí)，f'(x)=Inx+1,

當(dāng)xe(0,；)時(shí)，/z(x)<0,f(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(},+8)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)/(x)取得極小值也是最小值，最小值fd)=l-5故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)a=1時(shí)，/'(x)="x,

當(dāng)x6(0,1)時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x6(1,+8)時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=1時(shí)，函數(shù)/(X)取得極小值,

則％=1為極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)G假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)/(x)在定義域上單調(diào)遞增，

此時(shí)廣(乃>0在xe(0,+8)上恒成立，

即"x+1-a>。在xe(0,+8)上恒成立，

所以a<(Inx+l)min在％6(0,+8)上恒成立，

易知函數(shù)y=)x在xG(0,+8)上單調(diào)遞增且值域?yàn)镽,

所以函數(shù)y=Inx+1無最小值，

則不存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)/Xx)在定義域上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。：若/'(X)20恒成立，

即a<Inx+(在％6(0,+8)上恒成立，

不妨設(shè)g(x)=Inx+函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

可得g'(x)=，-壹=9

當(dāng)x6(0,1)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=1時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值也是最小值，最小值g(l)=1,

所以故選項(xiàng)。正確.

故選：AD.

由題意，對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，將a=0代入導(dǎo)函數(shù)中，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)門x)的單調(diào)性，進(jìn)而可

判斷選項(xiàng)4；將a=1代入導(dǎo)函數(shù)中，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)8；假設(shè)

存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，將問題轉(zhuǎn)化成a<(Inx+1)向.在％e(0,+8)上恒

成立，結(jié)合函數(shù)的值域即可判斷選項(xiàng)C；將問題轉(zhuǎn)化成aWInx+：在x6(0,+8)上恒成立，構(gòu)造

函數(shù)g(x)="x+；,對(duì)函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而即可求

解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4因?yàn)閽佄锞€C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,

易知械,0),準(zhǔn)線x=—次

所以焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為d=或-(一切=P=2,故選項(xiàng)A正確:

對(duì)于選項(xiàng)8：不妨設(shè)P(O,m),

因?yàn)閽佄锞€C：y2=4%,焦點(diǎn)F(1,O),

所以線段PF的中點(diǎn)坐標(biāo)為&表，

當(dāng)線段PF的中點(diǎn)在拋物線C上時(shí)，

可得《)2=4x

解得m=+2y/~2<

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2/工)或(0,-2C),故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：不妨設(shè)P(0,m),

此時(shí)切線PQ的方程為x-0=t(y-m)(tK0),

聯(lián)立｛；2：?一陶，消去x并整理得y2—4ty+4tm=0,

易知/=(-4t)2-4x1x(4tm)=0,

因?yàn)閠H0,

解得t=m,

則切線PQ的斜率kpQ=；=，

又P(0,m),F(l,0),

則直線PF的斜率/尸=^T=-m,

易知kpQ-kpp=-1,

所以PFJ.PQ,故選項(xiàng)。正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C可知y2-4ty+4tm=0,

又t=m,

所以(y—2m)2=0,

解得y=2m,

代入切線PQ的方程中，

解得％=m2,

則切點(diǎn)Q(m2,2m),

又P(0,7n),F(l,0),0(0,0),

所以|PQ|=7(Tn2—O)2+(2m—m)2=|m|Vm2+1，|。用=1>

|OP|=|m|,|F)F|=J(0-1)2+(m-OJ=V1+m2,

則|PQ|?\0F\-\0P\■\PF\=|m|Vm2+l-|m|Vm2+1=0-

即|PQ|?|0F|=|0P|?|PF|,故選項(xiàng)。正確.

故選:ACD.

由題意，根據(jù)焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離公式即可判斷選項(xiàng)4設(shè)P(0,m),結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及線段PF

的中點(diǎn)在拋物線C上，列出等式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)B；將兩直線垂直問題轉(zhuǎn)化成兩

直線斜率之積為-1,進(jìn)而可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合選項(xiàng)C中所得信息得到線段的表達(dá)式，再進(jìn)行驗(yàn)證

即可判斷選項(xiàng)￡>.

本題考查拋物線的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

13.【答案】吉

【解析】解：利用“捆綁法”，男生站在一起，且女生站在一起的概率P=圖坐=糕=白.

故答案為:宗

利用“捆綁法”，結(jié)合排列組合知識(shí)以及古典概型的概率公式求解.

本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】y=0和x+y=0

【解析】解：設(shè)過原點(diǎn)的直線與曲線/(x)=x3-2/切于?,百-2t2),

由/(x)=x3—2x2,得=3x2—4x,

可得過切點(diǎn)的切線方程為y=(3t2-4t)(x-t)+t3-2t2,

把0(0,0)代入，可得一3t3+4t2+t3-2t2=0,

即2t③—2t2=0?解得t-0或t-1.

當(dāng)t=0時(shí)，切線方程為：y=0,

當(dāng)t=l時(shí)，切線方程為x+y=O.

曲線/'(x)=x3-2M過原點(diǎn)的切線方程為y=o和x+y=0.

故答案為：了=0和刀+丫=0.

設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)寫出過切點(diǎn)的切線方程，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求得切

線方程.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，設(shè)切點(diǎn)是關(guān)鍵，是中檔題.

15?【答案】q

【解析】解：3sin2a=1+cos2a,

??6sinacosa=2cos2a,且cosa豐0,

:.tana=g,

2

c2tana53

???tan2a—-------丁—-^r=T

1-tan%1-14-

故答案為:

j4.

根據(jù)條件得出3sin2a=l+cos2a,然后根據(jù)二倍角公式可求出tcma的值，再根據(jù)二倍角公式即

可求出tan2a的值.

本題考查了二倍角公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，是中檔題.

16.【答案】267r

【解析】解：如圖，連接AC、BD,設(shè)4CnBD=。，EFnAC=

連接MG,

過點(diǎn)。作。H〃MG交PC于點(diǎn)H,連接BH、DH,

因?yàn)镋、尸分別為4。、AB的中點(diǎn)，所以EF〃BD,

又EFu平面EFG,BDC平面EFG,所以BO〃平面EFG,

同理可得0H〃平面EFG,

因?yàn)?。HCBD=。，OH,BOu平面BOH,

所以平面BDH〃平面EFG,

又BHu平面BDH,所以BH〃平面EFG,

因?yàn)镋、尸分別為4）、AB的中點(diǎn)，

則M為4。的中點(diǎn)，又。為4C的中點(diǎn)，

1

可以MO4-

所以穿=,，又OH//MG,所以黑=器另,

(?U/(zGriC/

所以G"=：GC,又G為PC的中點(diǎn)，

所以PH=PG+GH=1PC+|GC=|PC+|X|PC=|PC,

則HC=PC-PH=：PC,又PC=3,所以HC=1,

由底面ABCD為矩形，PC,平面4BCD,點(diǎn)〃在棱PC上可知,

三棱錐H-ABC的外接球即為四棱錐H-ABCC的外接球，

將四棱錐H-力BCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體，可得外接球半徑R滿足2R=V42+32+12=E，

所以三棱錐"-4BD的外接球的表面積S=4兀/?2=47rx(手下=267r.

故答案為：267r.

連接AC、BO,^.ACnBD=0,EFAC=M,連接MG,過點(diǎn)。作OH〃MG交PC于點(diǎn)H,連接BH、

DH,即可證明平面BDH〃平面EFG,從而得到平面EFG,再根據(jù)線段平行得到線段的關(guān)系,

得出HC=1,再利用補(bǔ)形法即可得出外接圓半徑，求出外接圓表面積.

本題考查直線與平面平行的判定，考查棱錐的外接球等知識(shí)，屬于中檔題.

17.【答案】解:(1)因?yàn)?Q-C)(Q+c)sinC=c(b-c)sinB,

所以由正弦定理可得(a-c)(a+c)c=bc(b-c),整理可得b?+c2-a2=be,

因?yàn)?e(O,TT),

所以

(2)因?yàn)榱?^,△ABC的面積為=ibesinA=—be，

JL4

所以be=4,

又sinBsinC=p-Ar=

4sinAsinBsine

所以_"一=(，-)2,g|j|=(善)2,

nsinBsinC^sinAJ14胃

解得a=2V3-

【解析】(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得爐+c2-a2=bc,利用余弦定理可求cos4=；,結(jié)合

Ae(0,7T),可求4的值；

(2)由題意利用三角形的面積公式可求be=4,進(jìn)而利用正弦定理即可求解a的值.

本題考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和

轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛廝｝的公比為q,%=2,S3=3a2+2,

可得2+2q+2q2=6q+2,解得q=2,

n

則an=2;

n

(2)由%=2log2CLn_1=2n-1,an=2f

可得數(shù)列｛%｝的前50項(xiàng)包括｛an｝中的前44項(xiàng)與也｝中的前6項(xiàng),

所以數(shù)列｛%｝的前50項(xiàng)的和為工x44x(1+87)+2(1-2，)=2062.

21—2

【解析】(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比，進(jìn)而得到所求；

(2)首先推得數(shù)列｛crt｝的前50項(xiàng)包括｛an｝中的前44項(xiàng)與｛%｝中的前6項(xiàng)，再由等差數(shù)列和等比數(shù)列的

求和公式，計(jì)算可得所求和.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式分別得：

〃=擊x(10x1.1+25x1.3+30x1.5+25x1.7+10x1.9)=1.5,

尸=擊x［10x(1.1-1.5)2+25x(1.3-1.5)2+30x(1.5-1.5)2+25x(1.7-1.5)2+10x

(1.9-1.5)2］=0.052,

故〃=1.5,a2=0.052.

(2)設(shè)f表示零件直徑,則。?N(1.5,0.2282),

P(1.5-0.228<f<1.5+0.228)=P(〃-cWfW〃+(r)“0.6827,

由對(duì)稱性得，2P(1.5WfS1.728)=0.6827,即P(1.5SfS1.728)=0.34135,

同理，P(1.5-2x0.228<^<1.5+2x0.228)=P(/z-2a<f</z+2a)*0.9545,

2P(1.044<f<1.5)=0.9545,即P(1.044<f<1.5)=0.47725,

P(1.044<f<1.728)=P(1.5<f<1.728)+P(1.044<f<1.5)=0.34135+0.47725=

0.8186,

故這批零件直徑在［1.044,1.728］的概率為0.8186,

(3)由(2)知,PQ.044<f<1.5)=0.8186,

所以在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在［1.044,1.728］的有2000x0.8186=1637個(gè).

【解析】(1)根據(jù)平均數(shù)與方差的公式即可求解；

(2)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合正態(tài)分布在三個(gè)常見的區(qū)間上取值的概率進(jìn)行求解；

(3)根據(jù)區(qū)間［1.044,1.728］上的概率計(jì)算即可.

本題考查正態(tài)分布的概率，考查3。原則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：取48的中點(diǎn)0,連接P4,過點(diǎn)。作力。的平行線，Oy,

因?yàn)镻4=PB,

X

因?yàn)槠矫鍼AB_L平面4BCD,平面H4BC平面4BCD=AB,POu平面P4B,

所以P01平面ABC。，

以。為原點(diǎn)，OB,OG,0P所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系:

所以4(-1,0,0),6(1,0,0).C(l,l,0),。(一P(0,0,l)，

因?yàn)榉?4而(0<A<1).

所以(%E，YE，ZE-1)=4(-1,7^,-1)，

所以=—A,yE=V_3A,ZE=—A+1,

所以E(-A,V3A,—A+1)，

(1)CE=(-A-1,<3A-1,-A+1)，

根據(jù)題意可得面P4B的法向量就=(0,1,0).

因?yàn)镃E〃平面P4B,

所以在BC=(-A-1,V~3A-1,-A+1)-(0,1,0)=-1=0，

解得/=?.

(2)當(dāng)4="時(shí),由上可得E(-2,[3,^),

南=(2,0,0),荏=(：,?;),

設(shè)平面ABE的法向量元=(%,y,z),

(AB-n=2%=0

所以-1,1二

[AE-n=-%+—y+-z=0

令y=1,得z=—V"3，%=0,

所以云=(0,1,-C)，

PC=(1,1,-1).RD=

設(shè)平面PCD的法向量沅=(a,b,c),

^^P￡.m=a+b-c_=0,

(PD-m=—a+v3fe—c=0

令Q=1,則匕=「+1,c=2+C，

所以記=(l,/3+1,24-，3),

-mn_(1,口+1,2+口)(0,1,一口)_3+<3

所以cos(記=麗=不高蒜編可常石=一、.

【解析】取4B的中點(diǎn)0,連接P4過點(diǎn)。作0G〃4D的平行線，根據(jù)題意可得P。148,由平面P4B1

平面ABCD,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得P。，平面4BCD,以。為原點(diǎn)，OB,OG,0P所在直線

分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由而=2PD(0<A<1)，可得E(-尢1工,一71+1),

(1)CE=(-A—1,732—1,—A+1)?

根據(jù)題意可得面P4B的法向量就=(0,1,0),由CE〃平面PAB,得謂.前=0，解得;I.

(2)當(dāng)；I=:時(shí)，由上可得求出平面4BE的法向量元=(x,y,z),平面PCD的法向量訪=

(a,b,c),計(jì)算cosV沆，n>,即可得出答案.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴已知f(x)E/%—3a〃+2a2%,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得f'(%)=e2x—3aex+2a2=(ex—a)(ex—2a),

若此時(shí)/'(%)>0,/(%)在R上單調(diào)遞增;

若Q>0,

當(dāng)XV伉。時(shí),f(x)>0,/(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)"Q<%2a時(shí)，/'(%)V0,/(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)%〉》2Q時(shí)，f(x)>0,f(%)單調(diào)遞增,

綜上，當(dāng)a40時(shí)，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在("Q,仇2a)上單調(diào)遞減，在(一8,"a)和(仇2。,+8)上單調(diào)遞增;

(2)若函數(shù)/(嗎有且僅有3個(gè)零點(diǎn),

由(1)知只有當(dāng)Q>0時(shí)符合題意,

易知當(dāng)x=易a時(shí),函數(shù)f(%)取得極大值,當(dāng)％="2Q時(shí),函數(shù)/(%)取得極小值,

/(/na)>0

此時(shí)

/(伍2Q)<0'

解得el<a<e2j

易知當(dāng)XT-oo時(shí)，<3a.

即/Q)<0；

x

當(dāng)XT+8時(shí)，|e>3a,

即/(x)>0；

所以函數(shù)/(x)的三個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(-8,Ina),(Ina,仇2a)和(，n2a,+8)上，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(力,e2).

【解析】⑴由題意，對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，分別討論當(dāng)a<0和a>0這兩種情況，進(jìn)而即可求解;

(2)結(jié)合(1)中所得結(jié)論以及零點(diǎn)存在性定理列出不等式進(jìn)行求解即可.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理、分類討論和運(yùn)算能力.

但_2=1

22.【答案】解：⑴由題意可得自51'解得。2=4,b2=4,

所以雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為弓—/=I；