江西省南昌市南昌縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

南昌縣2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

九年級數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

1.下列圖案中不是中心對稱圖形的是（）

A.?B.S△D.

2.一元二次方程2f—3x+5=0的一次項系數(shù)是（)

A.3xB.-3xC.3D.-3

3.拋物線y=2（x+3）2+4的頂點坐標是（).

A.(3,4)B.(-3,4)c（3T）D.(-3T)

4.已知三角形兩邊長分別為5和9,第三邊長是方程9x+8=O的根，第三邊長（）

A.1B.6C.8D.9

5.若“，方是方程f+2x—2023=0的兩個實數(shù)根，則/+3a+b的值是（）.

A.2021B.2022C.2023D.2024

6.如圖，一段拋物線,=一爐+4x（04x44）,記為拋物線G，它與x軸交于點O,A,；將拋物線G繞點

A旋轉(zhuǎn)180。得拋物線交X軸于點將拋物線G繞點4旋轉(zhuǎn)180。得拋物線交X軸于點4.…

如此進行下去，得到一條“波浪線”，若點M（2023,㈤在此“波浪線”上，則〃，的值為（）.

二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

7.若點A（l,2）與點8（m2）關(guān)于原點對稱，貝.

8.如果將拋物線y=Y+2向左平移1個單位，再向下平移1個單位，那么所得到的新拋物線的表達式是

9.已知點A（X］，M）,3（%2，%）在拋物線y=/-3上，且0＜石＜彳2，貝Uyy2.（填“＜”或

“>”或“=

10.一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了人.

11.若二次函數(shù)｝^=/-2%+&的圖象與尢軸只有一個公共點，則女=.

12.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，四邊形Q4BC是矩形，點A,C的坐標分別為A（9,0）,

C（0,3）,點。以2個單位長度/s的速度從4出發(fā)沿A至。方向向終點。運動，點P以1個單位長度/s的速

度從C出發(fā)沿C至5方向向終點8運動，當是以O(shè)P為一腰的等腰三角形時，點P的坐標為

三、解答題（共5小題，滿分30分，每小題6分）

13.解下列方程：

(1)x—3x—0；(2)x+8x+15=0.

14.如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=l,若其與x軸一交點為

4（3,0）,則由圖象直接回答：：

（1）方程依2+法+。=0的解是；：A/、

（2）當x時，y隨x的增大而減??；Lj^/5

（3）當x滿足時，函數(shù)值大于0.'；

15.如圖，在正方形ABCQ中，點M是邊上任意一點，請你僅用無刻度直尺、用連線的方法，分別在

圖（1）、圖（2）中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）

（1）在圖（1）中，在邊上求作一點M連接CN,使CN=A〃；

（2）在圖（2）中，在4）邊上求作一點Q,連接CQ,使CQ〃AM.

n/絲出火?,見?0

16.《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”.書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長

短.橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出.問戶高、廣、邪各兒何？”譯文：今有門，不知其高寬；有

竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等.問

門高、門寬、對角線的長各是多少（如圖）？

17.如圖所示，點。是等邊ZVLBC內(nèi)一點，DA=13,03=19,0c=21,將△A3。繞點A逆時針旋

轉(zhuǎn)到△人（?￡的位置，求△DEC的周長.

四、解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）

18.某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間存

在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利

潤是多少？

19.已知：，A8CO的兩邊AB,AO的長是關(guān)于x的方程V—g+'—1=0的兩個實數(shù)根.

24

（1）當〃2為何值時，四邊形ABC。是菱形？求出這時菱形的邊長；

（2）若A3的長為2,那么一ABCD的周長是多少？

20.將兩個全等的Rt^ABC和R3DBE按圖1方式擺放，其中NACB=NOEB=90°,點E落在A3

上，OE所在直線交直線AC于點尺

（1）求證：CF—EF；

（2）若將圖1中繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2位置，其他條件不變（如圖2）,請寫出此時

AF.斯與。E之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

DB

五、解答題(共2小題，滿分18分，每小題9分)

21.如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a,b,c是和RtaBE。邊長，易

知AE=0c,這時我們把關(guān)于x的形如辦展次+匕二。的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”.

請解決下列問題：

(1)寫出一個“勾系一元二次方程”；

(2)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”。^+夜5+力:。必有實數(shù)根；

(3)若x=—l是"勾系一元二次方程”ax2+J〃：x+b=o的一個根，且四邊形ACDE的周長是6及，求

△ABC面積.

22.通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整.

原題：如圖①，點E,尸分別在正方形ABCD的邊BC,CO上，ZE4F=45°,連接￡7"試猜想石尸,

BE,0b之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)【思路梳理】把AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使A3與A。重合，由

ZADG=NB=90°,得NFDG=180°,即點F,D,G共線，易證四,故EF,

BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)【類比引申】

如圖②，點E,尸分別在正方形AB8的邊CB,。。的延長線上，ZE4F=45°.連接EE,試猜想

EF,BE,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

El

田①圖②

六、解答題(共1小題，滿分12分，每小題12分)

23.如圖，拋物線)=—'/+區(qū)+。與％軸交于A(—2,0)、8(8,0)兩點，與y軸交于點C.點尸是第一象

4

限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作直線軸于點。，交直線BC于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求線段PE的最大值；

(3)當CP=CE時，求點P的坐標.

南昌縣2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

九年級數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標準

說明：1.除本參考答案外，其它正確解法可根據(jù)評分標準相應(yīng)給分。

2.涉及計算或證明的題，允許合理省略非關(guān)鍵步驟。

3.以下解答中右端所注的分數(shù)，表示考生正確做到這步應(yīng)得的累計分。

一、選擇題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

1.C2,D3.B4.C5.A6.A

二、填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

7.-18.y=(x+l)2+l9.<10.1111.1

12.(寫對一個2分，對兩個3分，錯寫酯情扣分).

三、解答題(共5小題，滿分30分，每小題6分)

13.(1)解：3)=0(2)(x+3)(x+5)=0

x=0或x-3=0x+3=0或x+5=0

玉=0,X)=3；%——3，X]=-5?

14.(1)Xj=-1,x2=3

(2)<1

(3)x<-l或x>3

15.解：(1)如圖1,CN即為所作;

(2)如圖2,則CQ即為所作.

圖（2）

16.解：設(shè)對角線的長度為x尺，則門高為（x—2）尺，門寬為（x—4）尺.

則有％2=（%-2）2+0—4）2

解得玉=2（舍去），x2=10

則x—2=8,x-4=6

答：門高、門寬、對角線的長各是8尺、6尺、10尺.

17.「△ABC為等邊三角形，

ABAC=60,AB^AC.

「△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，

:.AD^AE,CE=BD=19,NDAE=NBAC=6。.

.,.△ADE為等邊三角形，

：.DE=AD=13.

.,.△DEC的周長=OE+DC+CE=13+21+19=53.

四、解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）

18.解：⑴設(shè)丁=Ax+b,

40k+6=300

將（40,300）、（55,150）代入，得：＜

55k+b=150

>=-10

解得:

工=700

則y=-10x+700；

(2)設(shè)每天獲取的利潤為W,

則W=(X-30)(-10X+700)

=-10X2+1000%-21000

=-10(X-50)2+4000,

又?.-10x+7(X)>240,

:.x<46.

x<50時，W隨x的增大而增大，

,當x=46時，W取得最大值，最大值為一10xl6+4(XX)=3840.

答：當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元.

19.解：(1)四邊形ABC。是菱形，

：.AB^AD.

.-.A=0,即病一4(+;)=0.

整理得：(加-1)2=0,

解得m=1.

當/〃=1時，原方程為/一%+?!=o,

4

解得：xt=x2=0.5.

故當〃?=1時，四邊形ABC。是菱形，菱形的邊長是0.5；

(2)把AB=2代入原方程得，〃z=2.5.

把機=2.5代入原方程得%2-2.5%+1=(),則48+AO=2.5,

?r

ABCD=2x2.5=5.

20.解：(1)如圖1,連接3斤.

RtAABC^RtADBE

BC-BE.圖

ZACB=NDEB=90=NBEF,BF=BF

RtABCF/RtABEF

:.CF=EF

(2)AF=DE+EF.理由如下:

如圖，連接BE.

由(1)知

:.EF=FC

圖2。

RtAABC^RtADfiE

AC=DE

：.AF=AC+CF=DE+EF

五、解答題（共2小題，滿分18分，每小題9分）

21.（1）解：當a=3,b=4,c=5時（提示：直接找一組勾股數(shù)代入方程即可）

勾系一元二次方程為3/+5岳+4=0；

（2）證明：根據(jù)題意，得

△=（缶尸-4ab=2c2-4ab

cr+b2=c2

2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2>0

即A?0

二勾系一元二次方程a?+力=0必有實數(shù)根；

(3)解：當》=一1時，有a—=0,即a+b=>/^c

,2a+2b+y/2c=6y[2,即2(。+匕)+岳=6拒

/.3億=6上

:.c=2

:.a2+h2=c2=4,a+b=2y/l

■：(a+b)2=a2+b2+2ab

：.ab=2

SfBC=50。=1，

22.(1)AAFE,EF=BE+DF

(2)DF=EF+BE,理由如下：

在正方形ABC。中，AB=AD,

二如圖，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至△A￡)G,可使AB與A0重合.

:.ZADG=ZABE=90,AE^AG,NEAB=NGAD,BE=GD.

二點C、D、G在一條直線上，

由旋轉(zhuǎn)知，ZEAG=ZBAD=90.

ZEAF=45,

ZFAG=ZEAG-ZEAF=45.

：.ZEAF=ZGAF.

-.AF=AF,

.,△EAF也△GAP

：.EF=FG

DF=FG+DG,

:.DF=EF+BE.

五、解答題(共1小題，滿分12分，每小題12分)

23.解：⑴由題知。=-；，且拋物線與x軸交于4(—2,0),8(8,0)兩點.

11,3

則拋物線解析式為y=--(x+2)(x-8)=~-X2+-X+4,

(2)當x=0時，y=4,

/.C(0,4),

設(shè)6C的解析式為：y^kx+b,

又.3(8,0),

%=4

"'sk+b=Q'

4=4

解得：，1

k=——

I2

即的解析式為：y=--x+4,

2

,直線PD_Lx軸，

.?.點P、E的橫坐標相等，

設(shè)為加，且0＜機＜8,