2022-2023學(xué)年河南省開封市五縣高一年級下冊期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省開封市五縣高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=3—i,則Z的虛部為（）

A.-2B.-1C.-2iD.2

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則，再結(jié)合虛部的概念即可得到答案.

【詳解】由z（l+i）=3—i,則z=*==l-2i,所以z的虛部為一2.

故選：A.

2.下列說法正確的是（）

A.三點可以確定一個平面

B.一條直線和一個點可以確定一個平面

C.四邊形是平面圖形

D.兩條相交直線可以確定一個平面

【答案】D

【分析】由平面的基本事實（公理）及其推論進行辨析即可.

【詳解】對于A,不共線的三點確定一個平面，故選項A錯誤；

對于B,經(jīng)過一條直線和這條直線外一點可以確定一個平面，故選項B錯誤；

對于C,空間四邊形不是平面圖形，故選項C錯誤；

對于D,由基本事實（公理）推論，經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面，故選項D正確.

故選：D.

3.已知向量a=（l,x）,b=（x,4）,且）〃力，貝I」x=（）

A.-2或2B.-2C.2D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示計算可得.

【詳解】因為a=（l,x）,。=（蒼4）,且。〃力，所以$-4=0,解得x=2或％=-2.

故選：A.

4.如圖，點G,H,M,N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH,MN是異面直線

的圖形是（）

G

【答案】B

【分析】根據(jù)平行直線、異面直線、相交直線的判定方法，即得解.

【詳解】①中HG//MN,

②中易知既不平行也不相交，因此是異面直線；

③中GM〃HN且GgHN,故HG,NM必相交，

④中，G,M,N三點共面，但H任平面GHN,因此GH,MN是異面直線;

②④正確.

故選：B.

5.已知復(fù)數(shù)z滿足z+iz=i,則同=()

A.!B.1C.—D.d2

22

【答案】C

【分析】求出復(fù)數(shù)和其對應(yīng)的共輾復(fù)數(shù)，即可求出刊的值.

,、ii(l-i)11

【詳解】由題意，在z+iz=i中，(l+i)z=i,即z=「二7r三"二不+彳。

'/1+1+-1)22

故選：C.

6.某車間生產(chǎn)一種圓錐型高腳杯，杯口直徑為2R,高為H,將該高腳杯裝滿水(水面與杯口齊平),

現(xiàn)將一直徑為2〃的小鐵球緩慢放入杯中，待小鐵球完全沉入(整個鐵球在水面以下)水中并靜止后,

1r

從杯口溢出水的體積為高腳杯容積的三，則6=()

8A

【答案】B

【分析】求出圓錐型高腳杯的體積、小鐵球的體積，由從杯口溢出水的體積為高腳杯容積的）可得

O

答案.

【詳解】由題可得圓錐型高腳杯的體積丫=,兀/?2/=或，

33

小鐵球的體積為g"3,由題可得：、遲=乎，即、=虛.

故選：B.

TT3

7.在“ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2c=a+6,C=—,_ABC的面積為；，那

62

么c=（）

A.V3-1B.6C.73+1D.273+1

【答案】C

【分析】根據(jù)2c=a+〃，再根據(jù)$=彳4戾in?=9可得"=6,然后利用余弦定理

262

c2=a2+h2-2abcos^,可得c?=4c?-12-6抬，即可解出c.

【詳解】因為2c=4+/人因為ABC的面積為:，C=g,

20

]兀3

所以一absin—=二，即有ab=6.

262

又/=〃2+尸-2"cosg所以C2=4/-12-6百，即c?=4+2行，

6

所以c=5/3+1.

故選：C.

8.如圖，己知正四棱椎S-ABC力的側(cè)棱長為26,側(cè)面等腰三角形的頂角為30。，則從A點出發(fā)環(huán)

繞側(cè)面一周后回到A點的最短路程為（）

A.2瓜B.2GC.yj6D.6

【答案】D

【分析】把正四棱錐的側(cè)面沿著SA剪開，得到它的側(cè)面展開圖，得到一個由四個全等的頂角為30。

的等腰三角形組成的圖象，所求的路徑即為AA，求解即可.

【詳解】把正四棱錐的側(cè)面沿著SA剪開，得到它的側(cè)面展開圖（如圖）.

要使路程最短，必須沿著線段AA前行.

在；SAA中，NASA=30°x4=120。，SA=SA,=2y[3,則/5叫=30。.

作SH1A4,于H,則SH=；S4=G,AH=3,..AA=24H=6.

故選：D.

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面展開圖是矩形

B.球面可以看成是一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180所形成的曲面

C.直角梯形繞它的一腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺

D.圓柱、圓錐、圓臺中，平行于底面的截面都是圓面

【答案】ABD

【分析】對于A,由圓柱的側(cè)面展開圖判斷；對于B,由圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)判斷；對

于C,由直角梯形繞它的直角所在的腰所在直線旋轉(zhuǎn)判斷；對于D,由圓柱、圓錐、圓臺的特征判

斷.

【詳解】對于A,圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，所以A正確；

對于B,球面可以看成是一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180所形成的曲面，所以B正確；

對于C,當(dāng)直角梯形繞它的直角所在的腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺，所以C錯誤；

對于D,圓柱、圓錐、圓臺中，平行于底面的截面都是圓面，所以D正確.

故選：ABD.

10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z=a+歷（”,%eR）是實數(shù)的充要條件是6=0

B.復(fù)數(shù)z=a+5（9eR）是純虛數(shù)的充要條件是底0

C.若4,z2互為共輾復(fù)數(shù)，則Z,是實數(shù)

D.若4/2互為共軌復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對應(yīng)的點關(guān)于y軸對稱

【答案】AC

【分析】AB選項，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和分類作出判斷；CD選項，利用共舸復(fù)數(shù)的概念，乘法法則和

幾何意義判斷出CD.

【詳解】對于A：當(dāng)復(fù)數(shù)z=“+加(a,)eR)是實數(shù)時，b=0,若匕=0,貝丫="為實數(shù)，

故名=。+歷(a,beR)是實數(shù)的充要條件是匕=0,顯然成立，故A正確；

對于B：若復(fù)數(shù)z=a+0i?beR)是純虛數(shù)，則。=0且〃工0,故B錯誤；

對于C：若z”Z2互為共拆復(fù)數(shù)，設(shè)4=a+〃(a,%eR),則z2=a-砥a,0wR),所以

ZK=(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2是實數(shù)，故C正確；

對于D：若4,4互為共軌復(fù)數(shù)，設(shè)4=4+砥a力eR),則z2=a—硝a,bcR),所對應(yīng)的坐標分別為

(4力)，(。,-與，這兩點關(guān)于x軸對稱，故D錯誤.

故選：AC.

11.用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為1:2,

則關(guān)于上、下兩空間圖形的說法正確的是()

A.側(cè)面積之比為1:4B.側(cè)面積之比為1:8

C.體積之比為1:27D.體積之比為1:26

【答案】BD

【分析】計算出小棱錐與原棱錐的相似比，結(jié)合兩個棱錐側(cè)面積之積為相似比的平方、體積之比為

相似比的立方可求得結(jié)果.

【詳解】依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺，

所以小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為1:3,高之比為1:3,

所以小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比為卜9,體積之比為1:27,

即小棱錐與棱臺的側(cè)面積之比為1:8,體積之比為1:26.

故選：BD.

12.在，ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列條件能判斷ABC是鈍角三角形的有

()

A.acosA-bcosBB.AB-BC=2a

「a-bsinC一,-人,

C.------=---------------D.DCQSC+ccosB=b

c+hsirtA+sinB

【答案】BC

【分析】對于A,由acosA=Acos3,利用正弦定理和二倍角正弦公式判斷；對于B,由

A8-BC=-accosB=2a判斷；對于C,利用正弦定理和余弦定理判斷；對于D,由

bcosC+ccosB^b,利用正弦定理和兩角和的正弦公式判斷.

【詳解】對于A,由acosA=bcosB及正弦定理,可得sinAcosA=sinBcosB,BPsin2A=sin2B,

TT

所以2A=25或2A+28=萬，所以A=B或4+8=,,所以ABC是等腰三角形或直角三角形，故

A不能判斷；

對于B,由=—accosB=2a,得cosBcO,則8為鈍角,故B能判斷;

對于C,由正弦定理土得力+*—點=_氏,則cosA=-1,A=M，故C能判斷；

c+ba+b23

對于D,由bcosC+ccos8=6及正弦定理化邊為角.可知sin8cosC+sinCcos8=sin8,即

sinA=sinB,因為A,8為ABC的內(nèi)角，所以A=B,所以-ABC是等腰三角形，故D不能判斷.

故選：BC.

三、填空題

…有皿9+2i

13.復(fù)數(shù)二一

2+1

【答案】4-z/-z+4

【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)除法規(guī)則進行計算即可解決.

9+2i（9+2i）（2-i）20-5i.

【詳解】

2+i-（2+i）（2-i）-5-

故答案為：4-i.

14.如圖，正方形CM'B'C'的邊長為1,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形較長的對

角線的長度為—.

【答案】2石

【分析】先利用斜二測畫法規(guī)則畫出該直觀圖對應(yīng)的原圖，進而求得原圖形中較長的對角線的長度.

【詳解】作出該直觀圖的原圖形，因為直觀圖中的線段尤軸，

所以在原圖形中對應(yīng)的線段CB平行于x軸且長度不變，

點C'和B'在原圖形中對應(yīng)的點C和B的縱坐標是的2倍，

則OB=2O7T=2，產(chǎn)+F=20,BC=ffC'=1,所以A(1,O),

C(-1,2V2),|AC|=J(-l-l)*2+(2^-O)2=2A/3,

故原圖形較長的對角線長為26.

故答案為：26

15.曲柄連桿結(jié)構(gòu)的示意圖如圖所示，當(dāng)曲柄0A在水平位置。8時，連桿端點P在。的位置，當(dāng)

。4自。8順時針旋轉(zhuǎn)角。（。>0）時，P和。之間的距離是xcm,若。4=3cm,0Q=10cm,x=5,

請寫出一個滿足題意的角。的值_______.

Q

【答案】m2IT（答案不唯一）

【分析】在AOP中，利用余弦定理求解即可.

【詳解】由題意，AP=BQ=OQ-OB=\0-?>=lcm,OP=OQ-x=5cm,

在.AOP中，由余弦定理得cosZAOP=°42+°尸--產(chǎn)=9+25T9=」

2OAxOP2x3x52

刖即cosa=一一1,

2

?>0,\a的一個值為整（答案不唯一）.

故答案為：m2兀.（答案不唯一）

16.已知q,e2是單位向量，且q,e?的夾角為凡若,+憶223［6R），則6的取值范圍為.

【答案】修,小

OO

【分析】對卜+修Rg（feR）兩邊同時平方，結(jié)合題意可得△=（2cose）2-4xlx:40,由此可得。的

取值范圍.

【詳解】對卜1+聞eR）兩邊同時平方可得：

k=e；+2te}?/+產(chǎn)弓2=產(chǎn)+2fcos9+lN；,

即r+2zcose+qZ0,所以A=（2cos6）~-4xlx1S0,

解得：-^-<cos0<^~,又。￡［。，兀］,0eF，票.

故。的取值范圍為：「［等.

66

,,.、，It571

故答案r為：—.

66

四、解答題

17.已知，正方體ABCDA/B/G。中，點E,尸分別為。。，C/B的中點,ACf}BD=P,4cmEF=Q.

求證：

（1）D,B,E,F四點共面.

（2）若4/C交平面BOEF于點R,則P,Q,R三點共線.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【分析】（1）求證EF〃BQ,再由兩條平行線可以確定平面即可求證；

（2）利用公理2說明三點在兩個平面的交線上即可.

【詳解】（1）連接劭。/,如下圖所示：

因為E,F分別為￡>/。，的中點,

所以EF〃BD,又因為

所以EF〃B￡>,

所以EF與BO共面，

所以E,F,B,。四點共面.即證.

(2)因為4CCBD=P,所以PC平面AA/C/CC平面BDEF.

同理，QG平面AA/C/Cn平面BQEF,

因為A/S平面OBFE=R,

所以Rd平面A4/C/Cn平面BDEF,

所以P,Q,R三點共線，即證.

【點睛】本題考查空間中四點共面，三點共線的問題，只需熟練掌握和應(yīng)用公理即可.

18.已知復(fù)數(shù)z=2+〃zi(〃?eR,i為虛數(shù)單位)，且(1-i)z為純虛數(shù).

⑴求復(fù)數(shù)z；

⑵設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y€R),若卜-目=1,求x、)所滿足的方程.

【答案】⑴z=2—2/

⑵(x-2『+(y-2>=l

【分析】Q)利用復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)(l-i)z,利用復(fù)數(shù)的概念求出加的值，即可得出復(fù)數(shù)z；

(2)利用復(fù)數(shù)的減法與復(fù)數(shù)的模長公式可得出X、)，所滿足的方程.

【詳解】(1)ft?：由z=2+〃zi(meR)得(I-i)z=(l-i)(2+wi)=(2+m)+(帆一2)i.

(l-i)z為純虛數(shù)，:.m+2=0BLm-2^0,:.m=-2,,-.z=2-2i.

(2)解：,=x+yi(x,yeR),1=2+2i-z|=l,

.-.|(x+ji)-(2+2i)=l|,gp|(^-2)+(y-2)i|=l,.-.(x-2)2+(y-2)2=1.

故X、所滿足的方程為(x-2)2+(y-2)2=l.

19.一個圓錐的底面半徑為2c7”，高為6c切，在其內(nèi)部有一個高為xc,”的內(nèi)接圓柱.

(1)求圓錐的側(cè)面積；

(2)當(dāng)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值.

【答案】(1)4>/i0^(cm2)(2)x=3時，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為6乃cm?

【分析】(1)先計算母線長為2J記(cm),再計算側(cè)面積得到答案.

(2)設(shè)圓柱的底面半徑為rem計算得至IJ$2=一咎](x-3尸-9],根據(jù)二次函數(shù)知識得到最值.

【詳解】(1)圓錐的母線長為病1F=2j而(cm)，

:.圓錐的側(cè)面積工=7rx2x2>/i0=4Vi0^(cm2).

(2)該幾何體的軸截面如圖所示.

設(shè)圓柱的底面半徑為廣5，由題意，知;="，.?，=￥

263

圓柱的側(cè)面積8=2萬”=,(7+6*=—?？讪D3)2-9],

...當(dāng)x=3時，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為6;rcm2.

【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，圓柱體積的最大值，意在考查學(xué)生的計算能力.

20.已知向量”，。不共線，AP=a-tb)BP=-a+2b，BQ=3a-2b.

(1)若/=一2,AP=xBP+yBQ,求x,y的值;

⑵若4,P,。三點共線，求實數(shù)/的值.

【答案】⑴x=2,y=l

(2)1

【分析】(1)由平面向量基本定理建立方程組即可得出答案.

(2)三點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，再用平面向量共線定理求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)，=一2時，A尸=a+2b,BP=-a+2i>，BQ=3a-2b,

xBP+yBQ=-xa+2xb+3ya-2yb=(3y-x)。+(2x-2y

f3y-x=l

所以c解得x=2,y=l.

[2x-2oy=2

(2)PQ=PB+BQ=a—2b+3a-2b=4a-4bfAP=a—tb，

由于A,P,Q三點共線，所以存在44x0),使PQ=/MP,

則4a-4b=Aa-Atb，

整理，得（4—/l）a+（力—4）0=0.

因為“，b不共線,

所以1f4-—4A==0。,解得（A=4

故實數(shù)？的值為1.

21.2023年的春節(jié)，人們積蓄已久的出行熱情似乎在這一刻被引爆，讓旅游業(yè)終于迎來真正意義上

的“觸底反彈''.如圖是某旅游景區(qū)中的網(wǎng)紅景點的路線圖，景點A處下山至C處有兩種路徑：一種是

從A沿直線步行到C,另一種是先從4沿索道乘纜車到8,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩

位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到8,

在2處停留Imin后，再從2勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運行的速度為130m/min,索道A3長

123

為1040m,經(jīng)測量，cosA=—,cosC=-.

C

⑴求山路AC的長；

（2）乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

【答案】（1）1260m

35

⑵當(dāng)f=F（min）時，甲、乙兩游客距離最短

123

【分析】（1）利用COSA=R,COSC=:,可得sinCsinB,后由正弦定理可得答案；

（2）假設(shè)乙出發(fā)，分鐘后，甲在。點，乙在E點.由圖，題意，余弦定理可得

DE2=200（37產(chǎn)-70t+50）,即可得答案.

12354

【詳解】（1）在中，因為cosA二百,cosC=《，所以sinA=R,sinC=《.

qa19A.AQ

從而sinB=sin「兀一（A+C）］=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=—x—+一x—=一.

L」13513565

什士mABACz?AC=-xsinB=^x—=1260（m）

由正弦定理得sinC465v.

smCsine-

所以山路AC的長為1260m；

(2)假設(shè)乙出發(fā)r分鐘后，甲在。點，乙在E點.

此時，A￡>=(100+50。m,AE=130/m,

12

所以由余弦定理得。爐=(100+50r)2+(130r)2-2xl30fx(100+50r)x—=200(37r-707+50)

/35x、2125000m不八1040口口八,廣。

=7400t——+------.因為0-~,即0MfM8,

I37J37130

故當(dāng)f=!|(min)時，甲、乙兩游客距離最短.

TTSjT

22.已知四邊形ABC。是由與一A8拼接而成，如圖所示，NBAD=NB==,ZADC=—.

⑴求證：AC<y/3BC；

(2)若AD=1,BC=2,求CO的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵6

【分析】(1)求出Z84C的范圍，利用正弦定理即可證明結(jié)論；

(2)寫出AC與NCA5的關(guān)系，進而求出NC4B的正弦值和余弦值，求出AC的長，利用余弦定理

即可求出CD的長.

【詳解】(1)由題意證明如下，

57r

在「AC。中，ZADC=—,

6

兀

:.ZD