備考中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)精講精練第8講 拋物線與幾何綜合題（題型突破+專題精練）（含答案與解析）

第第頁→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一拋物線與三角形有關(guān)問題1．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接．(1)求線段AC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)Р為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．3.如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，且．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖2，過點(diǎn)C作軸交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)D，P是二次函數(shù)圖象上異于點(diǎn)D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖3，若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上位于BC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP交BC于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，試用含t的代數(shù)式表示的值，并求的最大值．4.如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，．（1）求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線，的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交線段于點(diǎn)．①試探究：在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．5.如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且，，，拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）D為CO的中點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E，再走到拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)F，最后返回到點(diǎn)C．要使動(dòng)點(diǎn)G走過的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)E、F的位置，寫出坐標(biāo)，并求出最短路程．（4）點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

6.如圖，已知拋物線交軸于、兩點(diǎn)，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象”，圖象交軸于點(diǎn)．(1)寫出圖象位于線段上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出的值；(3)為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型二拋物線與線段有關(guān)問題7.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．8.拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的左邊）．（1）的頂點(diǎn)在軸的正半軸上，頂點(diǎn)在軸右側(cè)的拋物線上．①如圖（1），若點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；②如圖（2），若點(diǎn)在拋物線上，且的面積是12，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（3），是原點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證的值是定值．9.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交于點(diǎn)F，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．題型三拋物線與角度有關(guān)問題10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），直線將的面積分成2：1兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，求的值．11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)，，且時(shí)，①求點(diǎn)M的坐標(biāo)：②若點(diǎn)在該拋物線上，連接OM，BM，C是線段BM上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)M，B不重合），過點(diǎn)C作，交x軸于點(diǎn)D，線段OD與MC是否相等？請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，該拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，當(dāng)，，且直線EM交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)F時(shí)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線EM于點(diǎn)N，G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為，連接GF．若，求證：射線FE平分．題型四拋物線與四邊形有關(guān)問題12.已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交點(diǎn)．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；②若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)如圖②，直線與軸交于點(diǎn)，同時(shí)與拋物線交于點(diǎn)，以線段為邊作菱形，使點(diǎn)落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，求的取值范圍．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）將線段繞著點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，求的最小值．（3）為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；14.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型五拋物線與圓有關(guān)問題15.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋EP的值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．16.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；（3）判斷的形狀，試說明理由；（4）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且的半徑為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．題型六拋物線與面積有關(guān)問題17.已知二次函數(shù)，其中．(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值．18.已知拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）若拋物線過點(diǎn)，求的最小值；（2）已知點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線上，且，過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B，C．求證：與的面積相等．

→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一拋物線與三角形有關(guān)問題1．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），即可得到關(guān)于a、b的方程，從而可以求得a、b的值，然后即可寫出拋物線的解析式；（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再根據(jù)是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分類討論，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），∴解得∴此拋物線的解析式為：（2）當(dāng)時(shí)，，所以，OB=OC=3，∴是等腰直角三角形，以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)BC的解析式為，將B（﹣3，0），C（0，3）代入得，，解得，，故BC的解析式為，把代入得，，則E點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，，解得，，（舍去），把代入得，，則P點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，則P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），則P點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法和設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接．(1)求線段AC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)Р為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)解析式求出A，B，C的坐標(biāo)，然后用勾股定理求得AC的長(zhǎng)；（2）求出對(duì)稱軸為x=1，設(shè)P（1，t），用t表示出PA2和PC2的長(zhǎng)度，列出等式求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)M（m,m2-2m-3），分情況討論，當(dāng)，，分別列出等式求解即可．(1)與x軸交點(diǎn)：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），與y軸交點(diǎn)：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴;(2)拋物線的對(duì)稱軸為：x=1，設(shè)P（1，t），∴，，∴∴t=-1，∴P（1，-1）；(3)設(shè)點(diǎn)M（m,m2-2m-3），，，,①當(dāng)時(shí)，，解得，（舍），，∴M（1，-4）；②當(dāng)時(shí)，，解得，，（舍），∴M（-2，5）；③當(dāng)時(shí)，，解得，，∴M或；綜上所述：滿足條件的M為或或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、線段求值、存在直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論的思想，屬于中考?jí)狠S題．3.如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，且．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖2，過點(diǎn)C作軸交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)D，P是二次函數(shù)圖象上異于點(diǎn)D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖3，若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上位于BC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP交BC于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，試用含t的代數(shù)式表示的值，并求的最大值．【答案】(1)；(2)P（1+）或（1-）；(3)【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的長(zhǎng)，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，將二次函數(shù)設(shè)為交點(diǎn)式，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，進(jìn)一步求得結(jié)果；（2）可分為點(diǎn)P在第三象限和第一象限兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（a，），可表示出△BCD的面積，作PE∥AB交BC于E，先求出直線BC，從而得到E點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出△PBC的面積，根據(jù)S△PBC=S△BCD，列出方程，進(jìn)一步求得結(jié)果，當(dāng)P在第一象限，同樣的方法求得結(jié)果；（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根據(jù)P（t，），M（t，），表示出PM的長(zhǎng)，根據(jù)PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，從而得出，從而得出的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步求得結(jié)果．(1)∵A（-1，0），∴OA=1，又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，∴OC=2OA=2即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-2），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：a=1，∴y=（x+1）（x-2）=；(2)設(shè)點(diǎn)P（a，），如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直線BC的解析式為：y=x-2，∴當(dāng)時(shí)，x=y+2=，∴PE==，∴S△PBC=PE·OC，∵拋物線的對(duì)稱軸為y=，CD∥x軸，C（0，-2），∴點(diǎn)D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=CD·OC，∴PE·OC=CD·OC，∴a2-2a=1，解得a1=1+（舍去），a2=1-；當(dāng)x=1-時(shí)，y==a-1=-，∴P（1-，-），如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于F，∴F（a，a-2），∴PF=（）-（a-2）=，∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，∴=1，解得a1=1+，a2=1-（舍去）；當(dāng)a=1+時(shí)，y==，∴P（1+，），綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+）或（1-）；(3)如圖，作PN⊥AB于N，交BC于M，由題意可知，P（t，），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（）=-，又∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴+，∴當(dāng)t=1時(shí)，()最大=．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的解析式、相似三角形的綜合和配方法求最值等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵．4.如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，．（1）求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線，的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交線段于點(diǎn)．①試探究：在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）①存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②．【分析】（1）分別令和時(shí)即可求解，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行求解直線，的函數(shù)表達(dá)式即可；（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由題意易得，，，當(dāng)時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可根據(jù)菱形的性質(zhì)分當(dāng)時(shí)，是菱形，當(dāng)時(shí)，是菱形，然后分別求解即可；②由題意可作圖，則由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，由（1）可得直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得，設(shè)點(diǎn)，然后可求得直線l的解析式為，則可求得點(diǎn)，所以就有，最后根據(jù)面積公式及兩點(diǎn)距離公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，，∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得：，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：．同理可得直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）①存在．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，∵點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，∴，，，∵，∴當(dāng)時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，是菱形，如圖所示：∴，解得，（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，是菱形，如圖所示：∴，解，得，（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，且點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②由題意可得如圖所示：由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，由（1）可得直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)，，∴，設(shè)點(diǎn)，∵，∴設(shè)直線l的解析式為，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線l的解析式為，∴聯(lián)立直線l與直線AC的解析式得：，解得：，∴，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，∴點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方才有可能，∴，∴，解得：（不符合題意，舍去），∴，∴由兩點(diǎn)距離公式可得．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且，，，拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）D為CO的中點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E，再走到拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)F，最后返回到點(diǎn)C．要使動(dòng)點(diǎn)G走過的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)E、F的位置，寫出坐標(biāo)，并求出最短路程．（4）點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）存在，或；（3）點(diǎn)，最短路程為，理由見詳解；（4）存在，當(dāng)以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰時(shí)，點(diǎn)或，理由見詳解．【分析】（1）由題意易得，然后設(shè)二次函數(shù)的解析式為，進(jìn)而代入求解即可；（2）由題意易得，要使以點(diǎn)P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似，則可分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，進(jìn)而分類求解即可；（3）由題意可得作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)I，然后連接HI，分別與x軸、拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E、F，此時(shí)的點(diǎn)E、F即為所求，HI即為動(dòng)點(diǎn)G所走過的最短路程，最后求解即可；（4）由題意可分①當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí)，存在等腰，②當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)，存在等腰，然后利用“k型”進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵，，，∴，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)可得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，即為；（2）存在以點(diǎn)P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似，理由如下：由（1）可得拋物線的解析式為，則有對(duì)稱軸為直線，設(shè)直線BC的解析式為，代入點(diǎn)B、C坐標(biāo)可得：，解得：，∴直線BC的解析式為，∴點(diǎn)，，∴由兩點(diǎn)距離公式可得，若使以點(diǎn)P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似，則有，①當(dāng)時(shí)，則有軸，如圖所示：∴點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴，∴，∴點(diǎn)；（3）由題意得：動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E，再走到拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)F，最后返回到點(diǎn)C．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短可知要使點(diǎn)G走過的路程最短則有作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)I，然后連接HI，分別與x軸、拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E、F，此時(shí)的點(diǎn)E、F即為所求，HI即為動(dòng)點(diǎn)G所走過的最短路程，如圖所示：∵OC=8，點(diǎn)D為CO的中點(diǎn)，∴OD=4，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，設(shè)直線HI的解析式為，則把點(diǎn)H、I坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線HI的解析式為，當(dāng)y=0時(shí)，則有，解得：，當(dāng)x=1時(shí)，則有，∴點(diǎn)，∴點(diǎn)G走過的最短路程為；（4）存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰，理由如下：設(shè)點(diǎn)，則有：①當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí)，存在等腰時(shí)，如圖所示：過點(diǎn)Q作QL⊥x軸于點(diǎn)L，過點(diǎn)C作CK⊥QL，交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，如圖所示，∴，∴四邊形COLK是矩形，∴CK=OL，∵等腰，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)，∴，解得：（不符合題意，舍去），∴；②當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)，存在等腰時(shí)，如圖所示：同理①可得，解得：（不符合題意，舍去），∴；綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰時(shí)，點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，已知拋物線交軸于、兩點(diǎn)，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象”，圖象交軸于點(diǎn)．(1)寫出圖象位于線段上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出的值；(3)為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或或【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式即可；（2）聯(lián)立方程組，由判別式△=0求得b值，結(jié)合圖象即可求解；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分∠CNM=90°和∠NCM=90°討論求解即可．(1)解：由翻折可知：.令，解得：，，∴，，設(shè)圖象的解析式為，代入，解得，∴對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為=．(2)解：聯(lián)立方程組，整理，得：，由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由圖象可知，當(dāng)b=2或b=3時(shí)，直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)；(3)解：存在．如圖1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，N與C關(guān)于直線x=對(duì)稱，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1，∴；如圖2，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，由，解得，（舍），∴N的橫坐標(biāo)為，所以；如圖3，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線的解析式為，聯(lián)立方程組：，解得，（舍），∴N的橫坐標(biāo)為，所以，因此，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及翻折性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，綜合體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運(yùn)用，屬于綜合題型，有點(diǎn)難度．題型二拋物線與線段有關(guān)問題7.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，將點(diǎn)代入拋物線的解析式求出的值，由此即可得；（3）先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律求出點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，從而可得與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，由此即可得出答案．(1)解：將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的解析式為．(2)解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，將點(diǎn)代入得：，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．(3)解：拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則將其先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在原點(diǎn)，這時(shí)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且，，即，恰好在對(duì)稱軸直線上，如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，此時(shí)的值最小，即的值最小，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，故在軸上存在點(diǎn)，使得的值最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8.拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的左邊）．（1）的頂點(diǎn)在軸的正半軸上，頂點(diǎn)在軸右側(cè)的拋物線上．①如圖（1），若點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；②如圖（2），若點(diǎn)在拋物線上，且的面積是12，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（3），是原點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點(diǎn)）于，兩點(diǎn)，若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證的值是定值．【答案】（1）①，；②點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）見解析【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，令y=0，求出，點(diǎn)E在拋物線上，求出縱坐標(biāo)為，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出；②連，過點(diǎn)作軸垂線，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，與點(diǎn)在拋物線上，得到，再由則，列出方程求解；（2）方法一：先求出G、H兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用求解即可；方法二：先用待定系數(shù)法求出直線與直線l的表達(dá)式，根據(jù)直線l與拋物線有唯一的交點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，再求出結(jié)果．【詳解】（1）解：①∵拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的左邊），∴令=0，解得：，，∴，∵點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，∴，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴∴；②設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．∵四邊形是平行四邊形，∴將沿平移可與重合，點(diǎn)坐標(biāo)為．∵點(diǎn)在拋物線上，∴．解得，，所以．連，過點(diǎn)作軸垂線，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為．則，∵，，∴．∴，解得，（不合題意，舍去）．∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）方法一：證明：依題意，得，，∴設(shè)直線解析式為，則，解得．∴直線的解析式為．同理，直線的解析式為．設(shè)直線的解析式為．聯(lián)立，消去得．∵直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，．聯(lián)立，且，解得，，同理，得．∵，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴．∴．∴的值為．方法二：證明：同方法一得直線的解析式為．設(shè)直線的解析式為，與拋物線唯一公共點(diǎn)為．聯(lián)立，消去得，∴．解得．∴直線的解析式為．聯(lián)立，且，解得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．同理，點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，∴．∴的值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形面積、方程組等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，學(xué)會(huì)用方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會(huì)把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于壓軸題．9.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交于點(diǎn)F，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，根據(jù)比例式列出方程，即可求解；（3）先推出四邊形NCFE是平行四邊形，再推出FE=FC，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，從而得CN=EF=，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】解：（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，∴B(3，0)，C(0，3)，∵二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，∴，解得：，∴二次函數(shù)解析式為：；（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y軸，∴OB=OC，∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，∴以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，∴EF=-(-m+3)=，CF=，∴或，∴或（舍去）或或（舍去），∴EF==或；（3）∵l∥y軸，點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，∴∠EFC=∠NCG，∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，∴∠CNE=∠EFC，∴∠CNE=∠NCG，∴NE∥FC，∴四邊形NCFE是平行四邊形，∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，∴∠NCE=∠FCE，∵l∥y軸，∴∠NCE=∠FEC，∴∠FCE=∠FEC，∴FE=FC，∴=，解得：或（舍去），∴CN=EF=，∴ON=+3=，∴N(0，)．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合，相似三角形的判定，掌握函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．題型三拋物線與角度有關(guān)問題10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），直線將的面積分成2：1兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）點(diǎn)（6，-8）；（3）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸正方向移動(dòng)時(shí)，秒；沿CO方向在軸移動(dòng)時(shí)，秒．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法將AB兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；（2）在的AB邊上找到將AB分成2：1兩部分的點(diǎn)Q，此時(shí)CQ將的面積分成2：1兩部分，求出直線CQ與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)即是點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）先利用圖形在內(nèi)構(gòu)造，求出，在中由，，求出OM長(zhǎng)即可解答，【詳解】解：（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，得：，解得：即：條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）由（1）可知點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,4）∵點(diǎn)和點(diǎn)．∴，∴將AB分成2：1兩部分的點(diǎn)有原點(diǎn)和Q（2,0），此時(shí)CQ將的面積分成2：1兩部分，如解（2）圖，∵點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），∴直線CP經(jīng)過Q點(diǎn)，設(shè)直線CP解析式為：，經(jīng)過C（0,4），Q（2,0）兩點(diǎn)，得：，∴，即可設(shè)直線CP解析式為：，聯(lián)立函數(shù)解析式為：，解得：，，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，-8），（3）如解（3）圖取點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為H，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知：，，∴，∵，即，∴∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度遠(yuǎn)動(dòng)：當(dāng)沿軸正方向移動(dòng)時(shí)，，則秒，當(dāng)沿軸CO方向移動(dòng)時(shí)，，則秒，綜上所述：當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸正方向移動(dòng)時(shí)，秒；沿CO方向在軸移動(dòng)時(shí)，秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合，問題（1）關(guān)鍵是在三角形邊上找到將的面積分成2：1兩部分直線CP經(jīng)過的點(diǎn)，問題（3）關(guān)鍵是通過對(duì)稱構(gòu)造，再通過解三角形求解OM長(zhǎng)．11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)，，且時(shí)，①求點(diǎn)M的坐標(biāo)：②若點(diǎn)在該拋物線上，連接OM，BM，C是線段BM上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)M，B不重合），過點(diǎn)C作，交x軸于點(diǎn)D，線段OD與MC是否相等？請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，該拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，當(dāng)，，且直線EM交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)F時(shí)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線EM于點(diǎn)N，G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為，連接GF．若，求證：射線FE平分．【答案】（1）①；②，見解析；（2）見解析【分析】（1）①直接將點(diǎn)代入解析式，又有，即可解出坐標(biāo)；②相等，先求出點(diǎn)，由兩點(diǎn)求出直線的方程，添加輔助線構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，證明三角形是等腰三角形即可；（2）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出所在直線的解析式，求出直線與軸的交點(diǎn)，添加輔助線，利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，找到邊與邊之間的關(guān)系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩條線之間的距離相等，即可判斷出為角平分線．【詳解】解：（1）如答案圖6.①點(diǎn)在拋物線上，且，，解得，（舍去），，．②，點(diǎn)在該拋物線上，，．設(shè)直線MB交x軸于點(diǎn)H，解析式為，解得當(dāng)時(shí)，，，．過點(diǎn)M作軸，垂足為R，，，，根據(jù)勾股定理得，，．，，，，，．（2）如答案圖7.證明：對(duì)稱軸，，，，．過點(diǎn)M作軸，垂足為Q，，，．當(dāng)時(shí)，解得，，．，，，．，．設(shè)直線EM的解析式為，解得．設(shè)直線EM交y軸于點(diǎn)S，過點(diǎn)S作，垂足為P．當(dāng)時(shí)，．．當(dāng)時(shí)，，，，．，，．，，，，．設(shè)，則．在中，，．（負(fù)值舍去），，，．，，射線FE平分．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，還涉及等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定，題目綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)點(diǎn)多、難度較大，解題的關(guān)鍵是：掌握以上相關(guān)知識(shí)點(diǎn)后，需要做到靈活運(yùn)用，同時(shí)考查了添加輔助線的能力．題型四拋物線與四邊形有關(guān)問題12.已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交點(diǎn)．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；②若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)如圖②，直線與軸交于點(diǎn)，同時(shí)與拋物線交于點(diǎn)，以線段為邊作菱形，使點(diǎn)落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)①，②存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-），理由見解析(2)b<或b>【分析】（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)點(diǎn)P（m，m2-2m-3）若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)為5，因?yàn)樗倪呅蜟DFE是菱形，由此得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．再根據(jù)該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進(jìn)行討論，求出b的取值范圍．(1)①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y=x-3，設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)、點(diǎn)P（m，m2-2m-3）若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，即或，解得：m=2或m=或m=3，經(jīng)檢驗(yàn)，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-）(2)解：把點(diǎn)D（-3，0）代入直線，解得n=4，∴直線，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即點(diǎn)C（0，4）∴CD==5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點(diǎn)E（5，4）∵點(diǎn)在拋物線上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，分情況討論當(dāng)CE在拋物線內(nèi)時(shí)52+5b+3b-9<4解得：b<當(dāng)CE在拋物線右側(cè)時(shí)，3b-9>4解得：b>綜上所述，b<或b>【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）將線段繞著點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，求的最小值．（3）為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2，，或．【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，設(shè)解析式為將，兩點(diǎn)代入求得，c的值即可；（2）胡不歸問題，要求的值，將折線化為直線，構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)化為，再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得最值；（3）分2種情形討論：①AB為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質(zhì)可以求得N點(diǎn)的坐標(biāo);②AB為矩形的對(duì)角線，設(shè)R為AB的中點(diǎn),RN=AB,利用兩點(diǎn)距離公式求解方程可得N點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵過，∴∴，∴拋物線的解析式為：（2）在上取一點(diǎn)，使得，連接，∵對(duì)稱軸．∴，，∴，∴∴∴當(dāng)，，三點(diǎn)在同一點(diǎn)直線上時(shí)，最小為．在中，，∴即最小值為．（3）情形①如圖，AB為矩形的一條邊時(shí)，聯(lián)立得是等腰，分別過兩點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，過作軸，軸,,也是等腰直角三角形設(shè)，則，所以代入，解得,（不符題意，舍）同理，設(shè)，則，所以代入，解得,（不符題意，舍）②AB為矩形的對(duì)角線，設(shè)R為AB的中點(diǎn),則，設(shè)，則整理得：解得：（不符題意，舍），（不符題意，舍），，綜上所述：點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2，，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離計(jì)算等知識(shí)，能正確做出輔助線，找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．14.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)最大為(3)存在，的坐標(biāo)為或（3，-16）或【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出c的值即可；（2）過作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，得，當(dāng)最大時(shí)，最大，，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式為，設(shè)，，則，求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊，②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊，③當(dāng)AC為對(duì)角線三種情況討論求解即可．(1)（1）∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，∴∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)過作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，設(shè)直線解析式為，將代入得，∴，∴直線解析式為，設(shè)，，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大為，∴此時(shí)最大為，即點(diǎn)到直線的距離值最大；(3)存在．∵∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，m），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，）分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊時(shí)，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-16）②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊長(zhǎng)時(shí)，如圖，方法同①可得，，∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-7，-16）；③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴線段AC的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為，即H（）∴，解得，?！唷帱c(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，8）綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或（3，-16）或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型五拋物線與圓有關(guān)問題15.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋EP的值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，見解析；（3）存在，【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）分別求出三角形三邊的平方，然后運(yùn)用勾股定理逆定理即可證明；（3）在CE上截取CF=（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點(diǎn)P，連接EP，則BF的長(zhǎng)即為所求．【詳解】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），∴設(shè)該拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）2+8，∵與y軸交于點(diǎn)C（0，6），∴把點(diǎn)C（0，6）代入得：a=，∴該拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴當(dāng)y=0時(shí)，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，∴A（-2，0），B（6，0），∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；（3）如圖，在CE上截取CF=（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點(diǎn)P，連接EP，

則BF的長(zhǎng)即為所求．連接CP，∵CP為半徑，∴，又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴，F(xiàn)P=EP，∴BF=BP+EP，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：BF的長(zhǎng)即BP+EP為最小值．∵CF=CE，E（2，8），∴F（，），∴BF=【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，題目綜合性較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．16.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；（3）判斷的形狀，試說明理由；（4）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且的半徑為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由見解析；（4）【分析】（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；（2）