備戰(zhàn)中考數(shù)學考點精講精練第二講 特殊四邊形的性質(zhì)與判定（考點精析+真題精講）（含答案與解析）

第第頁第2講特殊四邊形判定及其性質(zhì)本單元內(nèi)容是考查重點,年年都會考查,分值為15分左右,預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn),并且在選擇、填空題中考查利用特殊四邊形性質(zhì)和判定求角度、長度問題的可能性比較大.解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定,一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大.對于本單元內(nèi)容,要注重基礎(chǔ),反復(fù)練習,靈活運用.→?考點精析←→?真題精講←考向一矩形的性質(zhì)考向二矩形的判定考向三菱形的性質(zhì)考向四菱形的判定考向五正方形的性質(zhì)考向六正方形的判定第2講特殊四邊形判定及其性質(zhì)→?考點精析←一、矩形的性質(zhì)與判定1．矩形的性質(zhì)：（1）四個角都是直角；（2）對角線相等且互相平分；（3）面積=長×寬=2S△ABD=4S△AOB．（如圖）2．矩形的判定：（1）定義法：有一個角是直角的平行四邊形；（2）有三個角是直角；（3）對角線相等的平行四邊形．二、菱形的性質(zhì)與判定1．菱形的性質(zhì)：（1）四邊相等；（2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角；（3）面積=底×高=對角線乘積的一半．2．菱形的判定：（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形；（3）四條邊都相等的四邊形．三、正方形的性質(zhì)與判定1．正方形的性質(zhì)：（1）四條邊都相等，四個角都是直角；（2）對角線相等且互相垂直平分；（3）面積=邊長×邊長=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形；（2）一組鄰邊相等的矩形；（3）一個角是直角的菱形；（4）對角線相等且互相垂直、平分．四、聯(lián)系（1）兩組對邊分別平行；（2）相鄰兩邊相等；（3）有一個角是直角；（4）有一個角是直角；（5）相鄰兩邊相等；（6）有一個角是直角，相鄰兩邊相等；（7）四邊相等；（8）有三個角都是直角．五、中點四邊形（1）任意四邊形所得到的中點四邊形一定是平行四邊形.（2）對角線相等的四邊形所得到的中點四邊形是矩形.（3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點四邊形是菱形.（4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點四邊形是正方形.→?真題精講←題型三菱形的性質(zhì)及判定1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，則的長為（

）

A． B．1 C． D．3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對角線與相交于點O，E為邊的中點，連結(jié)．若，則（

）

A．2 B． C．3 D．44．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，其對角線相交于點O，．

(1)是直角三角形嗎？請說明理由；(2)求證：四邊形是菱形．5．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形中，分別是的平分線，且分別在邊上，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，的面積等于，求平行線與間的距離．題型四矩形的性質(zhì)及判定6．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）在四邊形中，．下列說法能使四邊形為矩形的是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在矩形中，，與相交于點O，下列說法正確的是（

）

A．點O為矩形的對稱中心 B．點O為線段的對稱中心C．直線為矩形的對稱軸 D．直線為線段的對稱軸8．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對角線相交于點，點分別是線段上的點．若，則的長為___________．

9．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，和相交于點，，．點、分別是、的中點．

(1)求證：；(2)當時，求證：四邊形是矩形．10．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是矩形的邊上的一點，且．

(1)尺規(guī)作圖（請用鉛筆）：作的平分線，交的延長線于點F，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)試判斷四邊形的形狀，并說明理由．11．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D是的中點，E是的中點，過點A作交的延長線于點F．

(1)求證：；(2)連接，若，求證：四邊形是矩形．12．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在的邊上，，請從以下三個選項中①；②；③，選擇一個合適的選項作為已知條件，使為矩形．

(1)你添加的條件是_________（填序號）；(2)添加條件后，請證明為矩形．題型五正方形的性質(zhì)及判定13．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對角線相交于點O，E，F(xiàn)分別為，上的一點，且，連接．若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．14．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為6的正方形中，M為對角線上的一點，連接并延長交于點P．若，則的長為（）

A． B． C． D．15．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，O為對角線的中點，E為正方形內(nèi)一點，連接，，連接并延長，與的平分線交于點F，連接，若，則的長度為（

）

A．2 B． C．1 D．16．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，對角線與相交于點O，E為上一點，，F(xiàn)為的中點，若的周長為32，則的長為___________．

17．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）如圖，正方形，G是邊上任意一點（不與B、C重合），于點E，，且交于點F．（1）求證：；（2）四邊形是否可能是平行四邊形，如果可能請指出此時點G的位置，如不可能請說明理由．

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復(fù)習備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復(fù)習第2講特殊四邊形判定及其性質(zhì)№考向解讀第2講特殊四邊形判定及其性質(zhì)№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第五章四邊形第2講特殊四邊形判定及其性質(zhì)本單元內(nèi)容是考查重點,年年都會考查,分值為15分左右,預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn),并且在選擇、填空題中考查利用特殊四邊形性質(zhì)和判定求角度、長度問題的可能性比較大.解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定,一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大.對于本單元內(nèi)容,要注重基礎(chǔ),反復(fù)練習,靈活運用.→?考點精析←→?真題精講←考向一矩形的性質(zhì)考向二矩形的判定考向三菱形的性質(zhì)考向四菱形的判定考向五正方形的性質(zhì)考向六正方形的判定第2講特殊四邊形判定及其性質(zhì)→?考點精析←一、矩形的性質(zhì)與判定1．矩形的性質(zhì)：（1）四個角都是直角；（2）對角線相等且互相平分；（3）面積=長×寬=2S△ABD=4S△AOB．（如圖）2．矩形的判定：（1）定義法：有一個角是直角的平行四邊形；（2）有三個角是直角；（3）對角線相等的平行四邊形．二、菱形的性質(zhì)與判定1．菱形的性質(zhì)：（1）四邊相等；（2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角；（3）面積=底×高=對角線乘積的一半．2．菱形的判定：（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形；（3）四條邊都相等的四邊形．三、正方形的性質(zhì)與判定1．正方形的性質(zhì)：（1）四條邊都相等，四個角都是直角；（2）對角線相等且互相垂直平分；（3）面積=邊長×邊長=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形；（2）一組鄰邊相等的矩形；（3）一個角是直角的菱形；（4）對角線相等且互相垂直、平分．四、聯(lián)系（1）兩組對邊分別平行；（2）相鄰兩邊相等；（3）有一個角是直角；（4）有一個角是直角；（5）相鄰兩邊相等；（6）有一個角是直角，相鄰兩邊相等；（7）四邊相等；（8）有三個角都是直角．五、中點四邊形（1）任意四邊形所得到的中點四邊形一定是平行四邊形.（2）對角線相等的四邊形所得到的中點四邊形是矩形.（3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點四邊形是菱形.（4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點四邊形是正方形.→?真題精講←題型三菱形的性質(zhì)及判定1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，則，進而即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形∴，∴，∵，∴,故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握是菱形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，則的長為（

）

A． B．1 C． D．【答案】D【分析】連接與交于O．先證明是等邊三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的長度，即可求得的長度．【詳解】解：連接與交于O．

∵四邊形是菱形，∴，，，，∵，且，∴是等邊三角形，∵，∴，，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角所對直角邊等于斜邊的一半，關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對角線與相交于點O，E為邊的中點，連結(jié)．若，則（

）

A．2 B． C．3 D．4【答案】B【分析】先由菱形的性質(zhì)得，，，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解．【詳解】解：∵菱形，∴，，，∴由勾股定理，得，∵E為邊的中點，∴故選：B．【點睛】本考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，其對角線相交于點O，．

(1)是直角三角形嗎？請說明理由；(2)求證：四邊形是菱形．【答案】(1)是直角三角形，理由見解析．(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可求證．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴是直角三角形．（2）證明：由（1）可得：是直角三角形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．5．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形中，分別是的平分線，且分別在邊上，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，的面積等于，求平行線與間的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先證，再證，從而四邊形是平行四邊形，又，于是四邊形是菱形；（2）連接，先求得，再證，，于是有，得，再證，從而根據(jù)面積公式即可求得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵分別是的平分線，∴，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：連接，

∵，，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，，∴，即，∴，∵，∴，∵的面積等于，∴，∴平行線與間的距離．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離，熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離等知識是解題的關(guān)鍵．題型四矩形的性質(zhì)及判定6．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）在四邊形中，．下列說法能使四邊形為矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定逐一分析即可．【詳解】A：，為平行四邊形而非矩形故A不符合題意B：，為平行四邊形而非矩形故B不符合題意C：為矩形故C符合題意D：不是平行四邊形也不是矩形故D不符合題意故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定等知識，熟練掌握以上知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在矩形中，，與相交于點O，下列說法正確的是（

）

A．點O為矩形的對稱中心 B．點O為線段的對稱中心C．直線為矩形的對稱軸 D．直線為線段的對稱軸【答案】A【分析】由矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，線段的對稱中心是線段的中點，矩形是軸對稱圖形，對稱軸是過一組對邊中點的直線，從而可得答案．【詳解】解：矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，故A符合題意；線段的對稱中心是線段的中點，故B不符合題意；矩形是軸對稱圖形，對稱軸是過一組對邊中點的直線，故C，D不符合題意；故選A【點睛】本題考查的是軸對稱圖形與中心對稱圖形的含義，矩形的性質(zhì)，熟記矩形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對角線相交于點，點分別是線段上的點．若，則的長為___________．

【答案】【分析】過點分別作的垂線，垂足分別為，等面積法證明，進而證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件求得，進而勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，

∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴設(shè)在中，∴∴，∴∴解得：∴在中，，在中，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，和相交于點，，．點、分別是、的中點．

(1)求證：；(2)當時，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）直接證明，得出，根據(jù)、分別是、的中點，即可得證；（2）證明四邊形是平行四邊形，進而根據(jù)，推導出是等邊三角形，進而可得，即可證明四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：在與中，∴，∴，又∵、分別是、的中點，∴；（2）∵，∴四邊形是平行四邊形，，∵為的中點，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴四邊形是矩形．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是矩形的邊上的一點，且．

(1)尺規(guī)作圖（請用鉛筆）：作的平分線，交的延長線于點F，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)四邊形是菱形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合角平分線的定義可得，則，然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）四邊形是菱形；理由：∵矩形中，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定以及菱形的判定等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D是的中點，E是的中點，過點A作交的延長線于點F．

(1)求證：；(2)連接，若，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析；(2)見解析；【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出，然后利用“角角邊”證明三角形全等，再由全等三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)論；（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵點E為的中點，∴，在和中，，∴；∴，∵，∴；（2）證明：，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．12．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在的邊上，，請從以下三個選項中①；②；③，選擇一個合適的選項作為已知條件，使為矩形．

(1)你添加的條件是_________（填序號）；(2)添加條件后，請證明為矩形．【答案】(1)答案不唯一，①或②；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行選?。唬?）通過證明可得，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)求得，從而得出為矩形．【詳解】（1）解：①或②（2）添加條件①，為矩形，理由如下：在中，，在和中，∴∴，又∵，∴，∴，∴為矩形；添加條件②，為矩形，理由如下：在中，，在和中，∴∴，又∵，∴，∴，∴為矩形【點睛】本題考查矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）是解題關(guān)鍵．題型五正方形的性質(zhì)及判定13．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對角線相交于點O，E，F(xiàn)分別為，上的一點，且，連接．若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，然后結(jié)合得到，然后證明出，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵四邊形是正方形∴，∵∴，∴∴又∵，∴∴∴∴故選：C．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．14．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為6的正方形中，M為對角線上的一點，連接并延長交于點P．若，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：四邊形是邊長為6的正方形，，在和中，，，，，，，又，，設(shè)，則，，，解得，，，，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，O為對角線的中點，E為正方形內(nèi)一點，連接，，連接并延長，與的平分線交于點F，連接，若，則的長度為（

）

A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)正方形得到，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求得，再證明，求得，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中點等于斜邊的一半，即可求出的長度．【詳解】解：如圖，連接，

四邊形是正方形，，，，，，，平分，，，在與,，，，，O為對角線的中點，，故