5.相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題解析人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊

相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、例題解析知識(shí)點(diǎn)1【相交線】在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交1、相交線相交線的定義：兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線相交．相對(duì)的，我們稱這兩條直線為相交線．

知識(shí)點(diǎn)2【對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角】兩條相交線在形成的角中有對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角兩類，它們具有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。1、鄰補(bǔ)角（1）鄰補(bǔ)角的概念：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．如圖，∠1與∠2有一條公共邊OD，它們的另一條邊OA、OB互為反向延長線，則∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角（2）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°。例如：若∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角，則∠1+∠2=180°注意：①互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角；②相交的兩條直線會(huì)產(chǎn)生4對(duì)鄰補(bǔ)角。2、對(duì)頂角（1）對(duì)頂角的概念：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．

如圖，∠3與∠4有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，并且∠3的兩邊OB、OC分別是∠4的兩邊OA、OD的反向延長線，則∠1與∠2互為對(duì)頂角．對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．注意：兩條相交的直線，會(huì)產(chǎn)生2對(duì)對(duì)頂角。3、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角對(duì)頂角只有一個(gè)，但鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．注意：如果多條直線相交于同一點(diǎn)，那么產(chǎn)生的鄰補(bǔ)角的數(shù)量是對(duì)頂角的2倍?！纠}1】如圖所示,∠1的鄰補(bǔ)角是()A、∠BOCB、∠BOE和∠AOFC、∠AOFD、∠BOC和∠AOF【解析】】據(jù)相鄰且互補(bǔ)的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角進(jìn)行判斷，∠1是直線AB、EF相交于點(diǎn)O形成的角,所以它的鄰補(bǔ)角與直線CD無關(guān),即它的鄰補(bǔ)角是∠BOE和∠AOF，故選B【答案】B【例題2】下面四個(gè)圖形中,∠1與∠2是鄰補(bǔ)角的是()【答案】D【例題3】如圖所示,∠1和∠2是對(duì)頂角的圖形有(

)

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)【解析】考察對(duì)頂角的概念【答案】A【例題4】下列說法中:①因?yàn)椤?與∠2是對(duì)頂角,所以∠1=∠2;②因?yàn)椤?與∠2是鄰補(bǔ)角,所以∠1=∠2;③因?yàn)椤?與∠2不是對(duì)頂角,所以∠1≠∠2;④因?yàn)椤?與∠2不是鄰補(bǔ)角,所以∠1+∠2≠180，其中正確的有________(填序號(hào))【解析】對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角【答案】①【例題5】如圖1，直線AB、CD、EF都經(jīng)過點(diǎn)O，圖中有幾對(duì)對(duì)頂角？

幾對(duì)鄰補(bǔ)角？【解析】考察對(duì)頂角的概念。AB和CD可以形成2對(duì)對(duì)頂角，CD和EF可以形成2對(duì)對(duì)頂角，AB和EF可以形成2對(duì)對(duì)頂角，共6對(duì)對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角的個(gè)數(shù)是對(duì)頂角的2倍，鄰補(bǔ)角為12對(duì)【答案】6對(duì)；12對(duì)【例題6】（1）已知∠1與∠2是對(duì)頂角,∠1與∠3是鄰補(bǔ)角,則∠2+∠3=______（2）若∠α與∠β是對(duì)頂角，∠α的補(bǔ)角是35°,則∠β的度數(shù)為_____（3）若∠1的對(duì)頂角是∠2，∠2的鄰補(bǔ)角是∠3，∠3=45°，則∠1的度數(shù)為___【解析】根據(jù)對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)求解?！敬鸢浮浚?）180（2）135°（3）135°【例題7】如圖,直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠BOD分成兩部分(1)直接寫出圖中∠AOC的對(duì)頂角為______,∠BOE的鄰補(bǔ)角為________(2)若∠AOC=70°,且∠BOE:∠EOD=2:3,求∠AOE的度數(shù)。【答案】(1)∠BOD;∠AOE(2)152°【例題8】如圖12，若∠AOB與∠BOC是一對(duì)鄰補(bǔ)角，

OD平分∠AOB，OE在∠BOC內(nèi)部，

并且∠BOE=12∠COE，∠DOE=72°。

求∠COE的度數(shù)【解析】設(shè)∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知數(shù)表示出來，建立x的方程，用代數(shù)方法解幾何問題是一種常用的方法。設(shè)∠EOB=x，則∠EOC=2x，根據(jù)∠AOB+∠BOC=180°（等量關(guān)系），∠AOB=2∠BOD=2（72x），∠BOC=∠BOE+∠EOC=3x，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．

【答案】72°．【例題9】回答下列問題：

（1）三條直線AB，CD，EF相交于一點(diǎn)O（如圖1），圖形中共有幾對(duì)對(duì)頂角（平角除外）？幾對(duì)鄰補(bǔ)角？

（2）四條直線AB，CD，EF，GH相交于點(diǎn)O（如圖2），圖形中共有幾對(duì)對(duì)頂角（平角除外）？幾對(duì)鄰補(bǔ)角？

（3）m條直線a1，a2，a3，…am1，am相交于點(diǎn)O，則圖中一共有幾對(duì)對(duì)頂角（平角除外）？幾對(duì)鄰補(bǔ)角？【解析】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義。（1）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義得到3×2=6對(duì)對(duì)項(xiàng)角，12對(duì)鄰補(bǔ)角；

（2）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義得到4×3=12對(duì)對(duì)項(xiàng)角，24對(duì)鄰補(bǔ)角；

（3）根據(jù)前面的規(guī)律得到：有n條不同直線相交于一點(diǎn)，可以得到n（n1）對(duì)對(duì)頂角，2n（n1）對(duì)鄰補(bǔ)角．【答案】（1）有6對(duì)對(duì)頂角，12對(duì)鄰補(bǔ)角；

（2）有12對(duì)對(duì)頂角，24對(duì)鄰補(bǔ)角；

（3）由m條直線時(shí)，有m（m1）對(duì)對(duì)頂角，2n（n1）對(duì)鄰補(bǔ)角；知識(shí)點(diǎn)3【垂線】1、垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。如圖：AB⊥CD，垂足為O。垂直的符號(hào)記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：AB⊥CD，讀作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．2、垂線的畫法(工具:三角板或量角器)步驟：(1)一靠:用三角尺一條直角邊靠在已知直線上(2)二移:移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上(3)三畫:沿著這條直角邊畫線,不要畫成給人的印象是線段的線2、垂線的性質(zhì)

在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．

注意：“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．

3、垂線段

（1）垂線段：從直線l外一點(diǎn)P向直線l作垂線,垂足記為O,則線段PO叫做點(diǎn)P到直線l的垂線段。ll（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．

連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。注意：實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．

現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。4、點(diǎn)到直線的距離

（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。（2）點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形．

【例題10】①兩點(diǎn)之間,直線最短；②直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短;③連接兩點(diǎn)的線段,叫做兩點(diǎn)的距離；④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離;⑤若AC=BC，則點(diǎn)C必定是線段AB的中點(diǎn)。其中正確的序號(hào)是_________【解析】①兩點(diǎn)之間,直線最短,說法錯(cuò)誤,應(yīng)是線段最短;③連接兩點(diǎn)的線段,叫做兩點(diǎn)的距離,說法錯(cuò)誤,應(yīng)是連接兩點(diǎn)的線段的長度,叫做兩點(diǎn)的距離。【答案】②④【例題11】下列判斷正確的是（）.

A、從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段叫做這點(diǎn)到已知直線的距離；

B、過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，垂線的長度就是這點(diǎn)到已知直線的距離；

C、畫出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的距離；

D、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中垂線段最短.【解析】A垂線段的長度；B垂線無限長；C距離只能測量或求出，不能說畫出，畫出的是圖形，比如線段、直線?！敬鸢浮緿【例題12】如圖所示,在這些圖形中,分別過點(diǎn)C畫直線AB的垂線,垂足為O【答案】解如圖所示【例題13】如圖,BC⊥AC,CB=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么點(diǎn)A到BC的距離是________，點(diǎn)B到AC的距離是_______,d點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的距離是________,點(diǎn)C到AB的距離是_________.【解析】點(diǎn)C到AB的距離可以利用等面積法求解【答案】6cm；8cm；10cm；4cm【例題14】如圖,已知AB、CD、EF相交于點(diǎn)O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠COE、∠AOE、∠AOG的度數(shù)。【答案】∠COE=28°，∠AOE=118°，∠AOG=59°【例題15】如圖,OA是北偏東30方向的一條射線,若射線OB與射線OA垂直,則OB的方向是__________【答案】北偏西50°【例題16】如圖,∠AOC與∠BOC是鄰補(bǔ)角,OD、OE分別是∠AOC與∠BOC的平分線,試判斷OD與OE的位置關(guān)系,并說明理由。【答案】射線OD與OE互相垂直．理由如下：∵OD是∠AOC的平分線，OE是∠BOC的平分線∴∠COD=12∠AOC，∠COE=1∵∠AOC+∠BOC=180°，12∠AOC+1∴∠COD+∠COE=90°，∴∠DOE=90°．∴OD⊥OE．【例題17】如圖所示,小剛準(zhǔn)備在C處牽牛到河邊AB飲水(1)請用三角板作出小剛的最短路線(不考慮其他因素)(2)如圖乙,若小剛在C處牽牛到河邊AB飲水,并且必須到河邊D處觀察河水的水質(zhì)情況,請作出小剛行走的最短路線(不寫作法,保留作圖痕跡)【答案】（1）過C作AB的垂線，垂足與C點(diǎn)之間的線段為最短路線，垂線段最短．連結(jié)CD得線段CD就是最短線段，兩點(diǎn)之間線段最短。【例題18】如圖,計(jì)劃把河水引到水池A中,先作AB⊥CD,垂足為B,然后沿AB開渠,能使所開的渠道最短,這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是_______________【答案】垂線段最短【例題19】如下圖所示,公路1邊上有兩個(gè)工廠B,C,公路外有工廠A,要在公路邊上修建貨運(yùn)站P,使P到三個(gè)工廠的路程和最短,貨運(yùn)站P應(yīng)建在何處?請?jiān)趫D中畫出來，并說明理由?！敬鸢浮坑捎谪涍\(yùn)站P修建在公路邊上,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”這一性質(zhì),可知點(diǎn)P應(yīng)在線段BC上，再根據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì),可知需要過點(diǎn)A作1的垂線,垂足就是點(diǎn)P的位置,如圖所示。知識(shí)點(diǎn)4【同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角】1、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角（三線八角）,它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角。如下圖,直線a,b被直線l所截。（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同一方，并且在第三條直線（截線）的同側(cè)，則這樣一對(duì)角叫做同位角．例如：∠1與∠5都在截線l的右側(cè)，且在被截直線a,b的上方，叫做同位角(位置相同)（2）內(nèi)錯(cuò)角

：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．

例如：∠5與∠3在截線l的兩旁(交錯(cuò)),在被截直線a,b之間(內(nèi)),叫做內(nèi)錯(cuò)角(位置在內(nèi)且交錯(cuò)）（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．

例如：∠5與∠4在截線l的同側(cè)（同旁）,在被截直線a,b之間(內(nèi)),叫做同旁內(nèi)角。2、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別判斷兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，應(yīng)從角的兩邊入手，同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．

3、區(qū)分截線與被截線“三線八角”中沒有公共頂點(diǎn)的兩角，共線的一邊是截線,兩角的另一邊即為被截的兩條直線。注：(1)同位角,內(nèi)錯(cuò)角,同旁內(nèi)角是指具有特殊位置關(guān)系的兩角,是成對(duì)出現(xiàn)的(2)“三線八角”中共有4對(duì)同位角,2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角,2對(duì)同旁內(nèi)角【例題20】如圖,描述同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角關(guān)系正確的是（）A、∠1與∠4內(nèi)錯(cuò)角B、∠2與∠3是同位角C、∠3與∠4是同旁內(nèi)角D、∠2與∠4是同旁內(nèi)角【答案】C【例題21】下圖中，∠1和∠2是同位角的是（）【答案】D【例題22】如圖所示,圖中能與∠1構(gòu)成同位角的角的個(gè)數(shù)有()個(gè)?！敬鸢浮?【例題23】如圖1，圖2中,∠1和∠2,∠3和∠4各是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的?它們各是什么位置關(guān)系的角?【解析】此題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角以及截線的概念。找到2個(gè)角共線的線，此為截線。找到角的兩邊，通過判斷邊組成的形狀判斷是什么角。【答案】圖1中:∠1和∠2是直線AB和CD被直線BD所截而成的,是內(nèi)錯(cuò)角；∠3和∠4是直線AD和BC被直線BD所截而成的,是內(nèi)錯(cuò)角；圖2中:∠1和∠2是直線AB和CD被直線BC所截而成的,是同旁內(nèi)角;∠3和∠4是直線AD和BC被直線AB所截而成的,是同位角?！纠}24】如圖所示,有下列五種說法:①∠1和∠4是同位角;②∠3和∠5是內(nèi)錯(cuò)角;③∠2和∠6是同旁內(nèi)角;④∠5和∠2是同位角;⑤∠1和∠3是同旁內(nèi)角;其中正確的序號(hào)有_______【答案】①②④⑤【例題25】如圖所示,∠1與∠2是(）同位角B、內(nèi)錯(cuò)角C、互為補(bǔ)角D、同旁內(nèi)角【答案】D【例題26】如圖，在∠1,∠2,∠3.∠4中,哪些角是同位角?哪些角是內(nèi)錯(cuò)角?哪些角是同旁內(nèi)角?它們分別是哪兩條直線被哪條直線所截形成的?【答案】解:∠1和∠3是DE和BC被AB所截而成的同位角,∠2和∠4是DE和BC被DC所截而成的內(nèi)錯(cuò)角,∠3和∠4是DB和DC被BC所截而成的同旁